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Vea también:Libros de Matemática Activa
para un aprendizaje sistemático según los principios expuestos en este artículo. |
Matemática aplicada y matemática pura
En el artículo anterior hemos visto que la vida diaria está llena de matemática. Los quehaceres del hogar brindan muchas oportunidades para enseñar y aplicar principios matemáticos. Solamente hay que tener los ojos abiertos y la mente despierta para reconocer y aprovechar estas oportunidades.
Los ejemplos del artículo anterior pertenecen al campo de la «matemática aplicada»: Se usa la matemática para describir y analizar situaciones de la vida real, o para hacer predicciones acerca de tales situaciones. Para la mayoría de las personas, éste es probablemente el único uso que hacen de la matemática en su vida diaria. Pero la mayoría de los matemáticos profesionales dirían que esta no es la matemática «verdadera», o por lo menos que esta no es la esencia de la matemática. La matemática «en sí» («matemática pura») es una abstracción que lleva una vida propia, independiente del mundo material. (Por ejemplo, se pueden investigar las propiedades de los números primos, independientemente de si en el mundo real existen números primos o no.) La matemática pura se caracteriza no por llevar a cabo determinadas operaciones y procedimientos, sino por un modo de pensar particular. Algunos aspectos de esta forma de «pensar matemáticamente» son:
– Encontrar y describir regularidades, patrones, principios, leyes generales de «cómo se comportan» los objetos matemáticos (números, figuras geométricas, etc.)
– Aplicar estos principios y leyes de manera consistente a situaciones nuevas.
– Fundamentar nuevas propiedades, leyes y reglas a base de leyes y principios ya conocidos.
– Explicar el «por qué» de las propiedades y resultados matemáticos.
Para poder aplicar la matemática de manera sensata a situaciones de la vida real, es necesario desarrollar esta capacidad de pensar matemáticamente. Al usar situaciones de la vida diaria para enseñar matemática, se deben señalar también los principios en los que se basan las operaciones matemáticas: ¿Qué significa sumar? (Básicamente significa juntar dos cantidades o magnitudes.) ¿Qué significa restar? (Al nivel más sencillo, restar significa «quitar». Al nivel de los principios matemáticos, la resta es la operación inversa de la suma.) ¿Qué significa una fracción? (Matemáticamente, una fracción es lo mismo como una división, solamente escrita de otra forma.) ¿Por qué puedo intercambiar los números en una suma, pero no en una resta? – o sea, ¿por qué es 3+7 = 7+3, pero 3-7 no es lo mismo como 7-3? (Esta pregunta ya lleva a consideraciones bastante profundas, que son difíciles de entender aun para muchos adultos. – Un alumno entrenado en los caminos del sistema escolar con su memorización de definiciones, tal vez diría: «Porque la suma es conmutativa, pero la resta no.» Pero en realidad eso no responde a la pregunta ¿Por qué?; es solamente volver a enunciar el problema con otras palabras. – Para poder dar una respuesta apropiada, es necesario entender cómo «funcionan» los números negativos.)
¿Cómo podemos entonces ayudar a los niños a desarrollar la capacidad de pensar matemáticamente?
El juego como abstracción matemática, y como vía de acceso a la matemática pura
– Los razonamientos al nivel de principios matemáticos son bastante abstractos; entonces no podemos esperar que un niño promedio en edad de primaria pueda realizarlos de manera consciente. Pero existe una forma de abstracción matemática que es accesible aun para niños bastante pequeños, y es el juego. No cualquier juego, por supuesto; pero aquellos juegos que son determinados por reglas fijas y movimientos claramente definidos. El matemático Paul Lockhart hace la siguiente sugerencia para las clases de matemática en los primeros grados:
«¡Déjenlos jugar! Enséñenles ajedrez y go, hex y chaquete, nim, o cualquier otro. Inventen sus juegos propios. Resuelvan rompecabezas y adivinanzas. Confróntenlos con situaciones donde tienen que razonar de manera deductiva. No se preocupen por las técnicas y notaciones. Ayúdenles a convertirse en pensadores matemáticos activos y creativos.»
(Paul Lockhart, «Lamento de un matemático»)
Efectivamente, esta clase de juegos cumplen los requisitos de la matemática pura:
– Son abstracciones, independientes del mundo real. Aunque normalmente se juegan con figuras, tableros etc. concretos (lo que satisface la necesidad de los niños), el juego en sí es independiente de estas figuras concretas. Un buen ajedrecista puede jugar ajedrez en su mente, sin teniendo un tablero verdadero ni figuras verdaderas delante de sí.
– Se rigen según reglas fijas y consecuentes. Aunque las reglas son en cierto sentido arbitrarias (se han inventado variaciones del ajedrez donde algunas reglas son distintas), no pueden cambiar durante el juego, una vez que han sido definidas. Estas reglas corresponden a los principios y leyes en la matemática. La matemática pura puede considerarse un «juego» donde se establecen ciertas reglas fundamentales, y después se analiza lo que sucede cuando se «juega» de acuerdo a estas reglas.
– Dentro del marco establecido por las reglas, se pueden teoréticamente describir, clasificar y analizar todos los «partidos» posibles. (En un juego complejo como el ajedrez, esto es imposible en la práctica porque el número de partidos posibles es tan inmenso; pero teoréticamente la posibilidad existe. En juegos simples como p.ej. michi, es también factible en la práctica, elaborar una tabla de todos los partidos posibles.) Aun en aquellos juegos que contienen un elemento de azar, como p.ej. los juegos con dados, los sucesos «al azar» suceden según probabilidades matemáticas, y por tanto es posible analizar el juego matemáticamente.
Por tanto, los juegos de tablero, de dados, etc, son un buen entrenamiento en el pensamiento matemático. Requieren razonar, aplicar reglas de manera consecuente, y sacar conclusiones lógicas. Los juegos de estrategia, tales como ajedrez, requieren también hacer predicciones fundamentadas de movimientos futuros («si yo hago esto, él puede hacer eso»), y elaborar estrategias a base de estas predicciones. Y a los niños ¡les gusta jugar!
«Un nuevo estudio descubrió que los expertos en juegos de mesa, como el ajedrez, utilizan una región del cerebro que el resto no solemos usar. La investigación, publicada en ‘Science’, realizó escáneres cerebrales de jugadores, tanto profesionales como aficionados, del juego japonés shogi. Expertos del Instituto de Ciencia Cerebral Riken, en Japón, descubrieron que las jugadas intuitivas que realizan estos jugadores no son naturales, sino que surgen del entrenamiento cerebral. (…) El hallazgo fue una sorpresa, porque al volverse expertos los maestros shogi comienzan a usar todas las regiones del cerebro.»
(Diario «El Comercio», Lima, 30 de enero de 2011)
Por tanto, jugar no es tiempo perdido. Al contrario, es una actividad importante del niño que desarrolla su inteligencia y su personalidad. Además, el niño aprende a ser honesto cuando tiene que jugar según las reglas; y se prepara para obedecer las «reglas» de Dios. Para que una sociedad funcione bien, sus integrantes tienen que «jugar según las reglas»; de otro modo habrá toda clase de conflictos. Un niño que no aprendió a obedecer las reglas de un juego, experimentará conflictos en sus relaciones con otras personas; y también dificultará en entender la matemática.
En un artículo siguiente deseo describir algunos juegos que ayudan a los niños a pensar matemáticamente y estratégicamente.