En la primera parte de este artículo expliqué por qué las «olimpiadas de matemática» no incentivan mucho el pensamiento matemático. En cambio, incentivan otras capacidades que no tienen mucho que ver con pensar matemáticamente: Memorizar una gran cantidad de fórmulas y datos matemáticos; y resolver ejercicios prescritos en un mínimo de tiempo (lo cual induce una forma de pensar superficial).
El verdadero pensamiento matemático consiste en encontrar soluciones nuevas y creativas para un problema que uno nunca antes ha encontrado. Y como vimos en la parte anterior, esto requiere tiempo. Entonces, una olimpiada matemática que realmente incentive el pensamiento matemático, no puede consistir en un examen que debe resolverse dentro de un tiempo muy limitado. Consistiría en un problema novedoso, y se debe dar mucho tiempo para resolverlo. Además, no se calificaría simplemente la solución final. Se calificaría el razonamiento que el estudiante empleó para llegar a la solución. O sea, el estudiante debe ser capaz de explicar de manera lógica y coherente, cómo llegó a la solución.
Esto es lo que se hace también en la matemática profesional. No es suficiente que un matemático presente una solución a un problema, o que establezca un nuevo teorema. El matemático tiene que explicar lógicamente cómo llegó a la solución, y tiene que demostrar de manera convincente que su solución o teorema es correcto. Y los matemáticos profesionales no hacen esto en sesiones con límite de tiempo, donde tienen que entregar su respuesta dentro de noventa minutos. No, ellos demoran semanas, meses, a veces hasta años reflexionando acerca del mismo problema, intentando las más diversas maneras de resolverlo, hasta que finalmente encuentren una solución.
Ahora, yo no sé si alguna vez estaré en la situación de organizar un concurso de matemática. Pero quién sabe si algún día algún lector de este blog tenga esta oportunidad. Para este caso, presento aquí mi sugerencia.
Una olimpiada de matemática que realmente incentive el pensamiento matemático, requerirá la entrega de un trabajo escrito acerca de un problema matemático novedoso, inusual, de una clase que no figure dentro de los currículos escolares; de preferencia un problema que permita una multitud de soluciones posibles. Para la elaboración de este trabajo se debe dar suficiente tiempo – por lo menos un mes a partir del momento en que se conoce el tema. Como tema se pueden dar varios problemas para elegir entre ellos, o se puede dar libertad para que el estudiante proponga un tema propio. En su trabajo escrito, el estudiante presentará no solamente su solución del problema. Explicará también detalladamente los pasos que lo llevaron a su solución, y dará una demostración lógica de que su solución es correcta. Este trabajo escrito tendrá entonces un formato comparable con un ensayo o una tesis académica.
Entre los trabajos entregados, se seleccionarán los mejores para que participen en una sustentación pública. Los autores de estos trabajos expondrán ante un jurado el contenido de su trabajo y responderán a preguntas del jurado (y puede que aun del público), para demostrar su dominio del tema. Serán premiados los estudiantes que presenten el razonamiento más lógico y coherente, y las soluciones más ingeniosas y novedosas, tomando en cuenta también la dificultad del problema.
Hasta se podría publicar un libro con los mejores trabajos de un tal concurso.
Por supuesto que esta forma de concurso de matemática impone mayores exigencias al jurado. El jurado tiene que integrarse por personas que sepan pensar matemáticamente ellos mismos – y muchos profesores de matemática no cumplen con este requisito. (¿Será por eso que no se organizan olimpiadas matemáticas de esta forma?) También tendrán que invertir más tiempo en la calificación, y en la preparación de preguntas para la sustentación. No podrán maquinalmente asignar puntos a un examen de selección múltiple. Pero la recompensa consistirá en un nivel más elevado de pensamiento matemático por parte de los participantes.
Y, de paso sea dicho: No se generaría el trabajo administrativo excesivo de tener que calificar miles de trabajos de estudiantes que sacarán «cero puntos» como en las olimpiadas convencionales; porque estos estudiantes de «cero puntos», si no entienden el tema, ya se darán cuenta de ello en el proceso de escribir su trabajo, y se retirarán del concurso. Pero quizás ¿esta es otra razón por la cual no se organizan olimpiadas matemáticas de esta forma – porque los muchos participantes con «cero puntos» generan ingresos adicionales para los organizadores? De ser cierto, esto comprobaría que el dinero les importa más que el incentivar el pensamiento matemático…
Uno podría decir que la calificación de tales trabajos y sustentaciones puede ser subjetiva. Sí, existe cierto elemento subjetivo en esto. Al igual como en las calificaciones de tesis y sustentaciones en toda universidad. Y en una universidad, esto tiene aun mayores consecuencias: El participante de una olimpiada de matemática recibe solamente un premio para esta única oportunidad; pero el estudiante que sustenta su tesis en la universidad, gana o pierde la aprobación de su carrera entera. Sin embargo, ninguna universidad renunciaría por ello a este proceso «subjetivo» de calificar tesis y sustentaciones. Mas bien se esfuerzan por hacer el proceso lo más objetivo posible. Es que los educadores universitarios saben que esta es una de las mejores maneras de incentivar el pensamiento independiente del estudiante, y su capacidad de investigación. Entonces no hay razón para no hacer lo mismo con estudiantes de niveles inferiores que quieren destacar en el pensamiento matemático. Si las universidades logran calificar a sus estudiantes de manera justa con este sistema, los organizadores de una olimpiada de matemática lo pueden lograr también.
Daré unos ejemplos de problemas apropiados para esta clase de olimpiadas matemáticas:
1. Investiga las propiedades de sucesiones aritméticas de números primos, tales como:
11, 41, 71, 101, 131
(131 es el último miembro de esta sucesión, porque 161 ya no es primo.)
En particular:
– Investiga y describe cómo se pueden encontrar tales sucesiones de longitud máxima con valores numéricos mínimos.
– Demuestra o refuta la hipótesis: Existen sucesiones aritméticas de números primos de longitudes arbitrariamente largas.
– Describe y fundamenta cualquier otra propiedad de tales sucesiones que encuentres.
2. Investiga diversas clases de ecuaciones diofantinas* de segundo grado, tales como:
ax + b = y2
ax + by = xy
x2 + y2 = z2
etc. (donde a, b representan números conocidos; x, y, z son incógnitas.)
Analiza casos especiales; busca también soluciones generalizadas donde fuera posible. Toma en cuenta que una ecuación diofantina por lo general tiene múltiples soluciones.
* «Ecuaciones diofantinas» son ecuaciones que deben resolverse de tal manera que las incógnitas representen números naturales.
(Note que la tarea anterior es intencionalmente formulada de manera abierta: Se dan algunos ejemplos de formas que puede asumir una ecuación diofantina de segundo grado, pero el «etc.» incentiva al estudiante a ampliar el tema con formas adicionales de su propia creación.)
3. Propón una forma de construir un reloj solar que indique no solamente las horas del día, sino también los días del año; y que pueda funcionar en distintas latitudes geográficas. Presenta un diseño, y fundamenta tu solución geométricamente.
4. (Para alumnos de grados inferiores):
Investiga el juego de «Michi»:
– ¿Cuál es la mejor jugada para el primer jugador?
– Para cada jugada posible del primer jugador, ¿cuál es la mejor jugada para el segundo jugador?
– ¿Cómo terminará un juego de «Michi» donde ambos jugadores juegan de manera óptima, o sea, eligiendo siempre la mejor jugada posible?
Fundamenta tus respuestas lógicamente. Describe cualquier otra propiedad interesante que descubras acerca de este juego.
Problemas como estos no figuran en los libros escolares, ni en las olimpiadas matemáticas convencionales. Son problemas que requieren una investigación profunda y prolongada, y que no tienen una «única solución» que se podría marcar en un cuadro de selección múltiple. Y es exactamente por estas características, que tales problemas incentivan el pensamiento matemático mucho más que las tareas convencionales.