Matemática basada en principios
Ahora ya debe estar claro el contraste entre una enseñanza burocrática y una enseñanza basada en principios. Sin embargo, deseo añadir unos puntos más acerca de los principios.
Hemos visto que los principios de la matemática son universales y eternos. Además, no son arbitrarios ni caprichosos. Las leyes de la matemática están inseparablemente ligadas a la realidad tal como es (creada por Dios, añado como cristiano). Por eso, las leyes matemáticas no son meras construcciones mentales. Las leyes de la matemática nos enseñan algo acerca de la estructura del universo tal como es. Esta es una razón más para hacer el esfuerzo de entenderlas.
Un principio universal tiene muchas aplicaciones. No como un procedimiento burocrático, que tiene aplicación solamente en los casos especiales para los que fue creado. Por ejemplo, un alumno que ha entendido el principio de la conmutabilidad, lo puede aplicar a toda clase de operaciones. Pero un alumno que es enseñado burocráticamente, tiene que aprender la ley conmutativa por lo menos diez veces: Primero para la suma horizontal, después para la suma vertical. (Pueden pasar varios años hasta que se dé cuenta de que la suma horizontal y vertical son exactamente lo mismo.) Después, cuando aprende fracciones, tiene que aprender también «la propiedad conmutativa de la suma de fracciones». Después tiene que aprenderla nuevamente para los números irracionales, y finalmente (si no se desanima antes de llegar a este nivel) para los números complejos. Y además, todo lo mencionado también para la multiplicación.
En cambio, el alumno que entiende principios, puede aplicar por sí mismo la ley conmutativa a toda clase de sumas y multiplicaciones. También puede entender la conmutación de sumas y restas mixtas (p.ej. 13 + 9 – 3 = 13 – 3 + 9), y de multiplicaciones y divisiones mixtas (p.ej. 60 x 13 : 5 = 60 : 5 x 13), y lo aprenderá sin dificultad, porque podrá ver estos casos como variaciones de un mismo principio que ya entiende. Si es inteligente, podrá incluso descubrir por sí mismo por qué la potencia no es conmutativa.
Los principios matemáticos permiten también comprender las relaciones y conexiones entre temas distintos, no como en la enseñanza burocrática donde cada tema queda como un trozo suelto y aislado. Como hemos mencionado arriba, una enseñanza basada en principios hace entender p.ej. que la multiplicación y división larga se basa en la ley distributiva; que la simplificación de fracciones se basa en el MCD; y que el denominador común de varias fracciones es el MCM.
Los principios matemáticos enseñan cualidades del carácter, como p.ej. el orden. Pero no un orden que se impone por un mandamiento autoritario del profesor; mas bien un orden que permite relacionar y dominar las materias más distintas, entendiéndolas desde sus principios correspondientes.
Los principios matemáticos enseñan obediencia. Pero no una obediencia ciega hacia órdenes arbitrarias; mas bien una obediencia hacia principios superiores, comprendiendo también por qué es bueno obedecer. Y esta clase de obediencia, al final de cuentas trae libertad.
La libertad de la matemática consiste en que es universal. La matemática no depende de autoridades científicas, ni tiene que someterse a los caprichos de algún gobernante. La matemática es de dominio público; cada uno está en la libertad de practicarla y de descubrir cosas nuevas. (Así fue posible por ejemplo, que el inglés Newton y el alemán Leibniz, trabajando cada uno por su cuenta y separados por miles de kilómetros, descubrieran ambos, independientemente el uno del otro, el cálculo infinitesimal.)
De esta manera, la matemática en sí es una protesta fuerte contra dos corrientes dominantes de nuestro tiempo: el relativismo (que enseña que no existen verdades absolutas), y el totalitarismo (que enseña que el estado debe controlar todos los aspectos de la vida).
Los principios matemáticos permiten al alumno aplicarlos por su cuenta y aun desarrollar sus propios procedimientos. Así podrán incluso desarrollar su creatividad en la matemática. Acerca de esto también un ejemplo histórico:
Cierto profesor exigía a sus alumnos de primaria, que sumaran todos los números de 1 a 100. Posiblemente quería pasar un rato tranquilo sin ser interrumpido por los alumnos. Pero su tranquilidad no duró mucho tiempo, porque al cabo de pocos minutos se le acercó un alumno con el resultado correcto escrito en su hoja. «¿Cómo lo has podido calcular tan rápidamente?», preguntó el profesor. – «Fácil», respondió el alumno. «Cuando sumo 1+100, da 101. Sumo 2+99 y también da 101. 3+98 también es 101. Continúo así hasta 50+51, son 50 pares de números, entonces la suma es 50 x 101 = 5050.» – Más tarde, este alumno se convirtió en uno de los matemáticos más famosos de todos los tiempos. Su nombre fue Carl Friedrich Gauss.
¿Qué hubiera dicho un profesor burocrático de nuestros tiempos al pequeño Gauss? – «No, no puedes hacerlo así, tienes que sumar los números uno por uno.» – «No puedes usar este procedimiento, esto viene más tarde en el currículo.» – ¿Cuántos jóvenes Gausses de nuestros tiempos se habrán echado a perder por culpa del sistema escolar actual?
Los principios matemáticos pueden incluso enseñarnos a admirar la belleza en las matemáticas. Como un pequeño ejemplo, vea estas dos tablas:
| Pinta los múltiplos de 9 con verde, los múltiplos de 10 con amarillo, los múltiplos de 11 con rojo.
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Pinta los números que terminan en 0 con amarillo, los que terminan en 5 con anaranjado, los que terminan en 3 con azul, los que terminan en 7 con verde.
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Cuando un alumno completa correctamente una tarea como esta, es premiado con un dibujo armonioso y se da cuenta de que la matemática tiene también un valor estético. El patrón de colores que surge en estas tareas, no es uno que el profesor tuviera que inventar de manera arbitraria: Este patrón ya está dentro de la estructura de la tabla de multiplicación (por ejemplo); los colores solamente ayudan a hacerlo visible.
Existen muchos principios matemáticos que se pueden visualizar de una manera parecida. Muchas figuras geométricas se prestan para formar dibujos que son armoniosas, estéticas, y a la vez expresiones de verdades matemáticas. Mis hijos todavía no han estudiado las propiedades de las secciones cónicas, pero observaron fascinados un programa de computadora que construye elipses e hipérbolas paso por paso. Observaciones como estas invitan a seguir investigando y a descubrir propiedades matemáticas por uno mismo. Me imagino el asombro y deleite que debe haber experimentado Gauss al descubrir que las raíces de la ecuación xn = a, en el plano complejo, están ubicadas en los vértices de un polígono regular de n lados. (Y desde allí dedujo cómo se puede construir un polígono regular de 17 lados, un heptadecágono, solamente con compás y regla. Gauss hizo este descubrimiento a los 19 años de edad, siendo todavía estudiante.) Aunque este tema ya no está dentro del currículo escolar; pero ilustra que la armonía de las verdades matemáticas se manifiesta en todos los niveles, desde el más elemental hasta el más avanzado.
Encontramos tales patrones matemáticos armoniosos aun en la naturaleza. ¿Quién no admira la estructura hexagonal de un panal de abejas? No solamente es estética; también expresa la verdad matemática de que el hexágono es uno de los pocos polígonos regulares que pueden llenar un plano perfectamente; y de entre estos polígonos, es aquel que tiene la relación más favorable entre perímetro y área. – Se ha descubierto que las semillas de girasol dentro de la flor forman un patrón de dos conjuntos de espirales, en sentido contrario; y que el número de espirales que giran hacia la derecha resp. a la izquierda, forma siempre un par de números de la secuencia de Fibonacci (p.ej. 21:34, 34:55, ó 55:89.) – Ya mencionamos brevemente el descubrimiento de Kepler acerca de las órbitas de los planetas. Las leyes de Kepler revelan una armonía asombrosa en las leyes matemáticas que rigen aun el movimiento de los cuerpos celestiales.
Existen unos pocos temas matemáticos que desafían esta impresión general de armonía. Uno de ellos es el de los números primos, que al parecer no siguen ningún orden. Es muy fácil encontrar un algoritmo que produce con seguridad un número compuesto. (P.ej. se toman dos números naturales cualesquieras, excepto el 1, y se multiplican.) Pero hasta hoy no se ha descubierto ningún algoritmo que produce con seguridad un número primo; aunque algunos matemáticos han dedicado grandes esfuerzos a encontrar uno. Los números primos están en el núcleo de algunos de los problemas matemáticos más fascinantes que quedan hasta la fecha sin resolver. ¿Por qué se esfuerzan tanto los matemáticos por encontrar un orden en los números primos? Es que alguien que ha entendido los principios de la matemática, no puede aceptar que algún objeto matemático sea «arbitrario» o «desordenado». Tiene que existir alguna clase de «orden», aunque quizás no es la clase de orden que los matemáticos están buscando hasta ahora. De hecho, se han encontrado algunas propiedades sorprendentemente regulares en cuanto a la distribución estadística promedia de los números primos; solamente hace falta encontrar alguna que permita hallar números primos particulares. Probablemente este es uno de estos problemas donde la ciencia espera todavía la llegada de algún genio que se atreve a romper las limitaciones de las «respuestas de selección múltiple» que las generaciones anteriores han propuesto.
Al mismo tiempo, los problemas relacionados con los números primos nos señalan lo que ya dijimos antes: que la matemática es más grande que nuestras propias mentes y nuestro mundo visible. La matemática viene de Dios quien no se deja controlar por el hombre. Por tanto, siempre quedarán problemas matemáticos sin resolver. Nunca podremos dominar la matemática completa con nuestra mente limitada – y mucho menos con nuestros procedimientos burocráticos. Siempre habrá un «más allá» a descubrir.
¿Cómo escapar de la enseñanza burocrática?
He dibujado dos cuadros en contraste: la enseñanza burocrática y la enseñanza por principios. Queda la pregunta: ¿Cómo llegamos desde «aquí» hasta «allá»? La enseñanza burocrática es la «realidad» que domina gran parte del mundo en la actualidad. Pero ésta no corresponde a la «Realidad» (la voluntad del Rey) de la matemática y del universo. ¿Cómo llegamos desde esta «realidad» (con minúscula) a aquella «Realidad» (con mayúscula)?
Primeramente, tenemos que entender que la «realidad» de aquí es incompatible con la verdadera «Realidad». Con palabras más claras: Dentro del marco del sistema escolar dominante de la actualidad, es imposible enseñar y comprender la matemática desde sus principios. La única solución verdadera consistiría en salir de este sistema escolar, y comenzar con un nuevo sistema escolar fundamentado en principios. Para los valientes, esto es posible, aunque sea solamente en el marco de una pequeña escuela privada independiente, o del propio hogar.
Pero aun aquellos que se lanzan a un nuevo experimento educativo, han sido educados ellos mismos (en su mayoría) dentro del sistema actual, y necesitan sacudirse de muchas costumbres y de muchos prejuicios que han adquirido allí. Y por el otro lado, hay profesores, padres y alumnos que están dentro del sistema actual, pero están viendo las debilidades de este sistema y tienen la esperanza de hacer por lo menos algunas cosas de manera diferente, hasta donde tengan la libertad de hacerlo. Para ambos grupos, los de afuera y los de adentro del sistema, se plantea la misma pregunta: ¿Qué puedo hacer, en la labor diaria, para volver a los principios?
Daré solamente algunas pequeñas ideas, y cada uno que esté interesado en ellas, podrá ampliarlas.
El lector atento ya se habrá dado cuenta de que me gusta la pregunta «¿Por qué?». Esta pregunta es una muy buena herramienta para golpear las paredes de una cárcel burocrática, y para abrir mentes cerradas (hasta donde lo permiten). Como profesor, exija explicaciones de sus estudiantes, explicaciones basadas en principios. El alumno dice p.ej: «Este número es divisible entre 5.» – Pregunte: «¿Por qué? ¿De dónde lo deduces?» (Y hay que hacer esta pregunta, independientemente de si la respuesta del alumno es correcta o equivocada. Si la respuesta es correcta, ayudamos al alumno a ver más claramente en qué principios se basa la respuesta. Si es equivocada, podemos guiar al alumno a reconocer él mismo su error, aplicando principios de manera correcta.) – Algunos alumnos se molestan cuando les hago muchas preguntas de este tipo, pero yo les digo: «¿Cómo puedes saber que has entendido algo? Solamente cuando puedes explicarlo a otra persona. Por eso te hago preguntas, hasta que tú mismo puedas explicarme lo que haces.» – Puesto que no trabajo dentro del sistema escolar, tengo la libertad de seguir con este proceso hasta su conclusión, o sea, hasta que el alumno sea capaz de explicar no solamente lo que hace, sino también el por qué. Y en este momento, los procedimientos incomprensibles y misteriosos que ha aprendido, empiezan a adquirir sentido.
También como estudiante, no se contente con las exposiciones del profesor. Pídale explicaciones. «Este número va allí.» – «¿Por qué?» – O: «Aquí hay que multiplicar.» – «¿Por qué no sumar? ¿o dividir?». Un buen profesor se alegrará de esta clase de preguntas y las tomará como una ocasión para enseñar principios. Si el profesor se molesta con esta clase de preguntas, entonces no espere de él que sea capaz de enseñarle matemática. Los burócratas no nos permiten preguntar ¿Por qué?: «Porque así se hace, y punto.» Si no haces caso, el burócrata no atiende tu trámite. El burócrata solo desea demostrar que él es la autoridad y que él puede hostigarte de cualquier manera que desea. Pero un verdadero educador, un pedagogo, te ayudará a llegar hasta el fondo de los asuntos, y a aplicar tú mismo los principios que descubres.
Como padre de familia interesado, haga esta pregunta ¿Por qué? a ambas partes: a sus hijos, y a los profesores de sus hijos. Ayúdeles a ambos a razonar: Al niño, para que pueda ver más allá del cerco de los procedimientos prescritos. Y al profesor, para que se atreva a abrir la cárcel en la que el sistema escolar lo encerró a él y a sus alumnos.
La estrategia del ¿Por qué? requiere tiempo. Una enseñanza basada en principios tomará mucho más tiempo para sentar bien los fundamentos más elementales de la matemática. No se contentará con que el alumno pueda reproducir algo; profundizará hasta que el alumno llegue a la comprensión de lo que hace. Algunos alumnos que entraron a la escuela demasiado temprano, demorarán varios años hasta que puedan explicar por sí mismos cómo desplazarse por la recta numérica, y por qué en una situación hay que sumar y en otra restar. Pero si invertimos tiempo y paciencia hasta que comprendan esto, entonces estos alumnos ya no cometerán errores de signos más adelante en ecuaciones y en operaciones complicadas. – Por el otro lado, aquellos alumnos que son apresurados a temprana edad a sumar mecánicamente números de tres cifras, a multiplicar y a calcular con fracciones, nunca tendrán el tiempo necesario para llegar a la comprensión de los principios fundamentales, y por tanto tendrán dificultades mayores más adelante.
– Otra estrategia buena es demostrar a los alumnos las conexiones entre temas aparentemente distintos, pero que se basan en los mismos principios. Ya mencioné algunos ejemplos al hablar de la ley distributiva, y de las fracciones. Daré otro ejemplo:
| Unos alumnos dificultaban en resolver problemas con áreas, tales como este:»Calcula el área sombreada (en el dibujo a la derecha), si el lado del cuadrado mide 6 cm.»Ahora, estos alumnos estaban familiarizados con representaciones gráficas de fracciones, como en los dibujos abajo: |  |
Cuando se les enseñaba estos dibujos en el contexto de las fracciones, no tenían ninguna dificultad para reconocer que el área sombreada en el dibujo izquierdo era 3/8 del círculo, y en el dibujo a la derecha 5/8 del cuadrado. Solamente que nunca se les había ocurrido la idea de interpretar tales dibujos en el contexto de «áreas». Una vez que reconocieron la similitud entre estos dibujos y el problema planteado arriba, fácilmente entendieron que allí el área sombreada es 2/8, o sea 1/4, del cuadrado. Los dos temas se basan en un principio común: la división de un área en partes iguales.
Entonces, no se limite a seguir los procedimientos presentados en el libro escolar. Identifique los principios en los que se basa el procedimiento (preguntando¿Por qué?). Y tan pronto como haya avistado un principio matemático, aplíquelo a las situaciones más variadas. Al inicio, a los alumnos les parecerá como un salto inexplicable de un tema al otro. Pero si les podemos hacer entender el principio común de estos temas variados, su comprensión se ensancha, y pueden dar el paso desde una matemática basada en «técnicas», hacia una matemática basada en principios.
Un ejemplo más: Los problemas de longitudes de segmentos en una misma recta (que actualmente se encuentran en libros escolares de cuarto y quinto grado), se basan en los mismos principios como la suma y resta en la recta numérica (que se trata desde el primer grado). Estos principios a su vez son los mismos como los que rigen los problemas con el equilibrio de fuerzas en física, y la geometría vectorial (que se tratan en los grados más avanzados de la secundaria); solamente que allí se amplían a un espacio de dos y de tres dimensiones, en vez del espacio unidimensional de la recta numérica. Así vemos que temas muy «elementales» son conectados por principios comunes con temas muy «avanzados». Entonces, si el alumno de primer grado comprende los principios de la representación gráfica de sumas y restas, ya tiene una primera base para poder comprender más adelante la geometría vectorial y el equilibrio de fuerzas – a diferencia de un alumno que aprendió solamente un procedimiento mecánico y nunca verá alguna conexión entre lo uno y lo otro.
– Otra buena estrategia es relacionar los principios matemáticos con la vida diaria. Ahora, esto es algo que la escuela nunca podrá hacer de verdad. A lo máximo puede brindar una representación diluida y artificial del mundo real. Aun «jugar a la tienda» en el salón de clases, no tiene el mismo efecto de aprendizaje como atender en una tienda verdadera. (Aunque todavía es mejor que resolver «cálculos con dinero» abstractos en un libro escolar.) Muchos principios matemáticos se entienden mejor «haciendo algo juntos». Por ejemplo, hacer compras en el mercado y comparar precios. O preparar una torta de cumpleaños y calcular las medidas indicadas en la receta (incluso calcular las proporciones correctas si la receta es para 6 personas y tenemos 15 invitados.) O medir todas las habitaciones de la casa y calcular su área.
Este es el campo de acción para los padres de familia, en primer lugar. Dentro del sistema escolar no hay mucho lugar para la vida real. Allí, a lo máximo se pueden usar imitaciones o ejemplos de la vida real, para demostrar como se aplican ciertos principios. A veces, esto ya es una ayuda. Por ejemplo, cuando un alumno quiere incluir el número 5 en el conjunto de «números mayores que 5», en vez de decirle simplemente «Esto es equivocado», puedo preguntarle (suponiendo que el alumno se llama Pedro): «A ver, ¿tú eres mayor que Pedro?» – Si el alumno es por lo menos medianamente inteligente, responderá: «No, si yo mismo soy Pedro.» – Así tiene un ejemplo menos abstracto, para entender que si dos cosas son «iguales», no puede a la vez uno de ellos ser «mayor». Y esto le puede ayudar (quizás) a ver que los conceptos de «mayor» y «menor» no son simplemente inventos del libro de matemática, sino que tienen un significado real en la vida real.
– Animar los descubrimientos propios y la creatividad.
Ningún conocimiento se recuerda tanto como el que uno mismo ha descubierto. Para que esto suceda, es necesario dar al alumno la oportunidad y el tiempo necesario para observar y crear, en vez de solamente reproducir. Por ejemplo, una tarea como la mencionada anteriormente, de colorear la tabla de multiplicación con distintos colores, puede dar lugar a una serie de observaciones y descubrimientos sucesivos: ¿Por qué la tabla del 5 es distinta de las demás, considerando su último dígito? ¿Dónde se ubican los números pares en la tabla de multiplicación, y dónde los impares? ¿Qué sucede si me desplazo horizontalmente o verticalmente de un número a otro? ¿y qué, si me desplazo diagonalmente? ¿Por qué en el centro de la tabla de multiplicación no se encuentra el 50 (la mitad de 100), sino el 25? Etc. – Una vez que un niño desarrolla cierta «curiosidad matemática», ya no es necesario hacerle tantas preguntas para guiarlo. Hará sus propios descubrimientos (aunque no siempre aquellos que el padre o profesor espera – pero esto no debe preocuparnos. Recordemos al pequeño Gauss.)
| A menudo se desarrolla la mayor creatividad al hacer lo que es «prohibido» por el libro escolar (pero no por los principios de la matemática). Hay un viejo problemita que dice: «Une estos 9 puntos por medio de un mímino de rectas sucesivas que se puedan dibujar en un solo trazo.» |  |
La solución «clásica» ya es un poco difícil de encontrar para la mayoría de los niños (y adultos), porque no se les ocurre la idea de que las rectas podrían sobrepasar los límites del cuadrado encerrado por los nueve puntos. Esta solución usa 4 rectas:
Pero existen soluciones más creativas, que logran unir los 9 puntos con una sola recta. ¿Alguien dijo que el papel debe quedarse en una sola pieza? Puedo cortarlo en tres tiras, con tres puntos en cada una, formar una tira larga con ellas, y entonces puedo trazar una sola recta a través de todos los nueve puntos. – ¿Alguien dijo algo acerca del grosor de la recta? Puedo agarrar una brocha y trazar una recta gruesa (del grosor del cuadrado entero), que cubre todos los nueve puntos. – ¿Alguien dijo que el problema tiene que limitarse a un plano de dos dimensiones? Puedo doblar el papel de tal manera que los nueve puntos se quedan uno sobre otro, y punzarlo en el medio con un lápiz o lapicero puntiagudo. Esta es una recta vertical (en la tercera dimensión) que atraviesa todos los nueve puntos.
(Confieso que esta «travesura» no es mi propio invento; pero ya no me acuerdo de la fuente donde la encontré.)
Una educación «burocrática» no permite esta clase de soluciones. Pero esto es exactamente lo que trunca la creatividad de los alumnos. Mientras no estoy violando ningún principio de la matemática, puedo crear mis propios procedimientos. Existen muchas formas diferentes de aplicar un principio en la práctica. Una enseñanza basada en principios da al alumno la libertad de usar diferentes formas – mientras los principios se mantienen intactos. Esta variación y creatividad ayuda al alumno a diferenciar entre un principio (que no puede cambiar), y un procedimiento arbitrario (que se puede hacer también de otra forma).
– Ser una PERSONA con principios.
Esto es lo más importante. Las mejores estrategias no sirven, si con nuestra propia vida contradecimos lo que enseñamos. Y con esto vuelvo a lo que dije al inicio: Muchas personas no entienden los principios de la matemática, porque no tienen principios en su propia vida. Así como la matemática se basa en principios eternos que no se pueden quebrantar, Dios nos ha dado principios eternos para nuestra vida, y nos hacemos un daño serio a nosotros mismos y a nuestros prójimos, si no vivimos según estos principios.
Por tanto, enseñar y aprender matemática es una cuestión de principios y de fe.
Para familias educadoras y escuelas alternativas, los libros de la serie «Matemática activa» proveen un método de proveer a los niños un aprendizaje según las ideas esbozadas en este artículo.