Educación cristiana alternativa

Matemática basada en principios

Ahora ya debe estar claro el contraste entre una enseñanza burocrática y una enseñanza basada en principios. Sin embargo, deseo añadir unos puntos más acerca de los principios.

Hemos visto que los principios de la matemática son universales y eternos. Además, no son arbitrarios ni caprichosos. Las leyes de la matemática están inseparablemente ligadas a la realidad tal como es (creada por Dios, añado como cristiano). Por eso, las leyes matemáticas no son meras construcciones mentales. Las leyes de la matemática nos enseñan algo acerca de la estructura del universo tal como es. Esta es una razón más para hacer el esfuerzo de entenderlas.

Un principio universal tiene muchas aplicaciones. No como un procedimiento burocrático, que tiene aplicación solamente en los casos especiales para los que fue creado. Por ejemplo, un alumno que ha entendido el principio de la conmutabilidad, lo puede aplicar a toda clase de operaciones. Pero un alumno que es enseñado burocráticamente, tiene que aprender la ley conmutativa por lo menos diez veces: Primero para la suma horizontal, después para la suma vertical. (Pueden pasar varios años hasta que se dé cuenta de que la suma horizontal y vertical son exactamente lo mismo.) Después, cuando aprende fracciones, tiene que aprender también «la propiedad conmutativa de la suma de fracciones». Después tiene que aprenderla nuevamente para los números irracionales, y finalmente (si no se desanima antes de llegar a este nivel) para los números complejos. Y además, todo lo mencionado también para la multiplicación.

En cambio, el alumno que entiende principios, puede aplicar por sí mismo la ley conmutativa a toda clase de sumas y multiplicaciones. También puede entender la conmutación de sumas y restas mixtas (p.ej. 13 + 9 – 3 = 13 – 3 + 9), y de multiplicaciones y divisiones mixtas (p.ej. 60 x 13 : 5 = 60 : 5 x 13), y lo aprenderá sin dificultad, porque podrá ver estos casos como variaciones de un mismo principio que ya entiende. Si es inteligente, podrá incluso descubrir por sí mismo por qué la potencia no es conmutativa.

Los principios matemáticos permiten también comprender las relaciones y conexiones entre temas distintos, no como en la enseñanza burocrática donde cada tema queda como un trozo suelto y aislado. Como hemos mencionado arriba, una enseñanza basada en principios hace entender p.ej. que la multiplicación y división larga se basa en la ley distributiva; que la simplificación de fracciones se basa en el MCD; y que el denominador común de varias fracciones es el MCM.

Los principios matemáticos enseñan cualidades del carácter, como p.ej. el orden. Pero no un orden que se impone por un mandamiento autoritario del profesor; mas bien un orden que permite relacionar y dominar las materias más distintas, entendiéndolas desde sus principios correspondientes.
Los principios matemáticos enseñan obediencia. Pero no una obediencia ciega hacia órdenes arbitrarias; mas bien una obediencia hacia principios superiores, comprendiendo también por qué es bueno obedecer. Y esta clase de obediencia, al final de cuentas trae libertad.

La libertad de la matemática consiste en que es universal. La matemática no depende de autoridades científicas, ni tiene que someterse a los caprichos de algún gobernante. La matemática es de dominio público; cada uno está en la libertad de practicarla y de descubrir cosas nuevas. (Así fue posible por ejemplo, que el inglés Newton y el alemán Leibniz, trabajando cada uno por su cuenta y separados por miles de kilómetros, descubrieran ambos, independientemente el uno del otro, el cálculo infinitesimal.)
De esta manera, la matemática en sí es una protesta fuerte contra dos corrientes dominantes de nuestro tiempo: el relativismo (que enseña que no existen verdades absolutas), y el totalitarismo (que enseña que el estado debe controlar todos los aspectos de la vida).

Los principios matemáticos permiten al alumno aplicarlos por su cuenta y aun desarrollar sus propios procedimientos. Así podrán incluso desarrollar su creatividad en la matemática. Acerca de esto también un ejemplo histórico:

Cierto profesor exigía a sus alumnos de primaria, que sumaran todos los números de 1 a 100. Posiblemente quería pasar un rato tranquilo sin ser interrumpido por los alumnos. Pero su tranquilidad no duró mucho tiempo, porque al cabo de pocos minutos se le acercó un alumno con el resultado correcto escrito en su hoja. «¿Cómo lo has podido calcular tan rápidamente?», preguntó el profesor. – «Fácil», respondió el alumno. «Cuando sumo 1+100, da 101. Sumo 2+99 y también da 101. 3+98 también es 101. Continúo así hasta 50+51, son 50 pares de números, entonces la suma es 50 x 101 = 5050.» – Más tarde, este alumno se convirtió en uno de los matemáticos más famosos de todos los tiempos. Su nombre fue Carl Friedrich Gauss.

¿Qué hubiera dicho un profesor burocrático de nuestros tiempos al pequeño Gauss? – «No, no puedes hacerlo así, tienes que sumar los números uno por uno.» – «No puedes usar este procedimiento, esto viene más tarde en el currículo.» – ¿Cuántos jóvenes Gausses de nuestros tiempos se habrán echado a perder por culpa del sistema escolar actual?

Los principios matemáticos pueden incluso enseñarnos a admirar la belleza en las matemáticas. Como un pequeño ejemplo, vea estas dos tablas:

Cuando un alumno completa correctamente una tarea como esta, es premiado con un dibujo armonioso y se da cuenta de que la matemática tiene también un valor estético. El patrón de colores que surge en estas tareas, no es uno que el profesor tuviera que inventar de manera arbitraria: Este patrón ya está dentro de la estructura de la tabla de multiplicación (por ejemplo); los colores solamente ayudan a hacerlo visible.
Existen muchos principios matemáticos que se pueden visualizar de una manera parecida. Muchas figuras geométricas se prestan para formar dibujos que son armoniosas, estéticas, y a la vez expresiones de verdades matemáticas. Mis hijos todavía no han estudiado las propiedades de las secciones cónicas, pero observaron fascinados un programa de computadora que construye elipses e hipérbolas paso por paso. Observaciones como estas invitan a seguir investigando y a descubrir propiedades matemáticas por uno mismo. Me imagino el asombro y deleite que debe haber experimentado Gauss al descubrir que las raíces de la ecuación xⁿ = a, en el plano complejo, están ubicadas en los vértices de un polígono regular de n lados. (Y desde allí dedujo cómo se puede construir un polígono regular de 17 lados, un heptadecágono, solamente con compás y regla. Gauss hizo este descubrimiento a los 19 años de edad, siendo todavía estudiante.) Aunque este tema ya no está dentro del currículo escolar; pero ilustra que la armonía de las verdades matemáticas se manifiesta en todos los niveles, desde el más elemental hasta el más avanzado.

Encontramos tales patrones matemáticos armoniosos aun en la naturaleza. ¿Quién no admira la estructura hexagonal de un panal de abejas? No solamente es estética; también expresa la verdad matemática de que el hexágono es uno de los pocos polígonos regulares que pueden llenar un plano perfectamente; y de entre estos polígonos, es aquel que tiene la relación más favorable entre perímetro y área. – Se ha descubierto que las semillas de girasol dentro de la flor forman un patrón de dos conjuntos de espirales, en sentido contrario; y que el número de espirales que giran hacia la derecha resp. a la izquierda, forma siempre un par de números de la secuencia de Fibonacci (p.ej. 21:34, 34:55, ó 55:89.) – Ya mencionamos brevemente el descubrimiento de Kepler acerca de las órbitas de los planetas. Las leyes de Kepler revelan una armonía asombrosa en las leyes matemáticas que rigen aun el movimiento de los cuerpos celestiales.

Existen unos pocos temas matemáticos que desafían esta impresión general de armonía. Uno de ellos es el de los números primos, que al parecer no siguen ningún orden. Es muy fácil encontrar un algoritmo que produce con seguridad un número compuesto. (P.ej. se toman dos números naturales cualesquieras, excepto el 1, y se multiplican.) Pero hasta hoy no se ha descubierto ningún algoritmo que produce con seguridad un número primo; aunque algunos matemáticos han dedicado grandes esfuerzos a encontrar uno. Los números primos están en el núcleo de algunos de los problemas matemáticos más fascinantes que quedan hasta la fecha sin resolver. ¿Por qué se esfuerzan tanto los matemáticos por encontrar un orden en los números primos? Es que alguien que ha entendido los principios de la matemática, no puede aceptar que algún objeto matemático sea «arbitrario» o «desordenado». Tiene que existir alguna clase de «orden», aunque quizás no es la clase de orden que los matemáticos están buscando hasta ahora. De hecho, se han encontrado algunas propiedades sorprendentemente regulares en cuanto a la distribución estadística promedia de los números primos; solamente hace falta encontrar alguna que permita hallar números primos particulares. Probablemente este es uno de estos problemas donde la ciencia espera todavía la llegada de algún genio que se atreve a romper las limitaciones de las «respuestas de selección múltiple» que las generaciones anteriores han propuesto.

Al mismo tiempo, los problemas relacionados con los números primos nos señalan lo que ya dijimos antes: que la matemática es más grande que nuestras propias mentes y nuestro mundo visible. La matemática viene de Dios quien no se deja controlar por el hombre. Por tanto, siempre quedarán problemas matemáticos sin resolver. Nunca podremos dominar la matemática completa con nuestra mente limitada – y mucho menos con nuestros procedimientos burocráticos. Siempre habrá un «más allá» a descubrir.

¿Cómo escapar de la enseñanza burocrática?

He dibujado dos cuadros en contraste: la enseñanza burocrática y la enseñanza por principios. Queda la pregunta: ¿Cómo llegamos desde «aquí» hasta «allá»? La enseñanza burocrática es la «realidad» que domina gran parte del mundo en la actualidad. Pero ésta no corresponde a la «Realidad» (la voluntad del Rey) de la matemática y del universo. ¿Cómo llegamos desde esta «realidad» (con minúscula) a aquella «Realidad» (con mayúscula)?

Primeramente, tenemos que entender que la «realidad» de aquí es incompatible con la verdadera «Realidad». Con palabras más claras: Dentro del marco del sistema escolar dominante de la actualidad, es imposible enseñar y comprender la matemática desde sus principios. La única solución verdadera consistiría en salir de este sistema escolar, y comenzar con un nuevo sistema escolar fundamentado en principios. Para los valientes, esto es posible, aunque sea solamente en el marco de una pequeña escuela privada independiente, o del propio hogar.

Pero aun aquellos que se lanzan a un nuevo experimento educativo, han sido educados ellos mismos (en su mayoría) dentro del sistema actual, y necesitan sacudirse de muchas costumbres y de muchos prejuicios que han adquirido allí. Y por el otro lado, hay profesores, padres y alumnos que están dentro del sistema actual, pero están viendo las debilidades de este sistema y tienen la esperanza de hacer por lo menos algunas cosas de manera diferente, hasta donde tengan la libertad de hacerlo. Para ambos grupos, los de afuera y los de adentro del sistema, se plantea la misma pregunta: ¿Qué puedo hacer, en la labor diaria, para volver a los principios?

Daré solamente algunas pequeñas ideas, y cada uno que esté interesado en ellas, podrá ampliarlas.

El lector atento ya se habrá dado cuenta de que me gusta la pregunta «¿Por qué?». Esta pregunta es una muy buena herramienta para golpear las paredes de una cárcel burocrática, y para abrir mentes cerradas (hasta donde lo permiten). Como profesor, exija explicaciones de sus estudiantes, explicaciones basadas en principios. El alumno dice p.ej: «Este número es divisible entre 5.» – Pregunte: «¿Por qué? ¿De dónde lo deduces?» (Y hay que hacer esta pregunta, independientemente de si la respuesta del alumno es correcta o equivocada. Si la respuesta es correcta, ayudamos al alumno a ver más claramente en qué principios se basa la respuesta. Si es equivocada, podemos guiar al alumno a reconocer él mismo su error, aplicando principios de manera correcta.) – Algunos alumnos se molestan cuando les hago muchas preguntas de este tipo, pero yo les digo: «¿Cómo puedes saber que has entendido algo? Solamente cuando puedes explicarlo a otra persona. Por eso te hago preguntas, hasta que tú mismo puedas explicarme lo que haces.» – Puesto que no trabajo dentro del sistema escolar, tengo la libertad de seguir con este proceso hasta su conclusión, o sea, hasta que el alumno sea capaz de explicar no solamente lo que hace, sino también el por qué. Y en este momento, los procedimientos incomprensibles y misteriosos que ha aprendido, empiezan a adquirir sentido.

También como estudiante, no se contente con las exposiciones del profesor. Pídale explicaciones. «Este número va allí.» – «¿Por qué?» – O: «Aquí hay que multiplicar.» – «¿Por qué no sumar? ¿o dividir?». Un buen profesor se alegrará de esta clase de preguntas y las tomará como una ocasión para enseñar principios. Si el profesor se molesta con esta clase de preguntas, entonces no espere de él que sea capaz de enseñarle matemática. Los burócratas no nos permiten preguntar ¿Por qué?: «Porque así se hace, y punto.» Si no haces caso, el burócrata no atiende tu trámite. El burócrata solo desea demostrar que él es la autoridad y que él puede hostigarte de cualquier manera que desea. Pero un verdadero educador, un pedagogo, te ayudará a llegar hasta el fondo de los asuntos, y a aplicar tú mismo los principios que descubres.

Como padre de familia interesado, haga esta pregunta ¿Por qué? a ambas partes: a sus hijos, y a los profesores de sus hijos. Ayúdeles a ambos a razonar: Al niño, para que pueda ver más allá del cerco de los procedimientos prescritos. Y al profesor, para que se atreva a abrir la cárcel en la que el sistema escolar lo encerró a él y a sus alumnos.

La estrategia del ¿Por qué? requiere tiempo. Una enseñanza basada en principios tomará mucho más tiempo para sentar bien los fundamentos más elementales de la matemática. No se contentará con que el alumno pueda reproducir algo; profundizará hasta que el alumno llegue a la comprensión de lo que hace. Algunos alumnos que entraron a la escuela demasiado temprano, demorarán varios años hasta que puedan explicar por sí mismos cómo desplazarse por la recta numérica, y por qué en una situación hay que sumar y en otra restar. Pero si invertimos tiempo y paciencia hasta que comprendan esto, entonces estos alumnos ya no cometerán errores de signos más adelante en ecuaciones y en operaciones complicadas. – Por el otro lado, aquellos alumnos que son apresurados a temprana edad a sumar mecánicamente números de tres cifras, a multiplicar y a calcular con fracciones, nunca tendrán el tiempo necesario para llegar a la comprensión de los principios fundamentales, y por tanto tendrán dificultades mayores más adelante.

– Otra estrategia buena es demostrar a los alumnos las conexiones entre temas aparentemente distintos, pero que se basan en los mismos principios. Ya mencioné algunos ejemplos al hablar de la ley distributiva, y de las fracciones. Daré otro ejemplo:

Unos alumnos dificultaban en resolver problemas con áreas, tales como este:»Calcula el área sombreada (en el dibujo a la derecha), si el lado del cuadrado mide 6 cm.»Ahora, estos alumnos estaban familiarizados con representaciones gráficas de fracciones, como en los dibujos abajo:

Cuando se les enseñaba estos dibujos en el contexto de las fracciones, no tenían ninguna dificultad para reconocer que el área sombreada en el dibujo izquierdo era 3/8 del círculo, y en el dibujo a la derecha 5/8 del cuadrado. Solamente que nunca se les había ocurrido la idea de interpretar tales dibujos en el contexto de «áreas». Una vez que reconocieron la similitud entre estos dibujos y el problema planteado arriba, fácilmente entendieron que allí el área sombreada es 2/8, o sea 1/4, del cuadrado. Los dos temas se basan en un principio común: la división de un área en partes iguales.

Entonces, no se limite a seguir los procedimientos presentados en el libro escolar. Identifique los principios en los que se basa el procedimiento (preguntando¿Por qué?). Y tan pronto como haya avistado un principio matemático, aplíquelo a las situaciones más variadas. Al inicio, a los alumnos les parecerá como un salto inexplicable de un tema al otro. Pero si les podemos hacer entender el principio común de estos temas variados, su comprensión se ensancha, y pueden dar el paso desde una matemática basada en «técnicas», hacia una matemática basada en principios.

Un ejemplo más: Los problemas de longitudes de segmentos en una misma recta (que actualmente se encuentran en libros escolares de cuarto y quinto grado), se basan en los mismos principios como la suma y resta en la recta numérica (que se trata desde el primer grado). Estos principios a su vez son los mismos como los que rigen los problemas con el equilibrio de fuerzas en física, y la geometría vectorial (que se tratan en los grados más avanzados de la secundaria); solamente que allí se amplían a un espacio de dos y de tres dimensiones, en vez del espacio unidimensional de la recta numérica. Así vemos que temas muy «elementales» son conectados por principios comunes con temas muy «avanzados». Entonces, si el alumno de primer grado comprende los principios de la representación gráfica de sumas y restas, ya tiene una primera base para poder comprender más adelante la geometría vectorial y el equilibrio de fuerzas – a diferencia de un alumno que aprendió solamente un procedimiento mecánico y nunca verá alguna conexión entre lo uno y lo otro.

– Otra buena estrategia es relacionar los principios matemáticos con la vida diaria. Ahora, esto es algo que la escuela nunca podrá hacer de verdad. A lo máximo puede brindar una representación diluida y artificial del mundo real. Aun «jugar a la tienda» en el salón de clases, no tiene el mismo efecto de aprendizaje como atender en una tienda verdadera. (Aunque todavía es mejor que resolver «cálculos con dinero» abstractos en un libro escolar.) Muchos principios matemáticos se entienden mejor «haciendo algo juntos». Por ejemplo, hacer compras en el mercado y comparar precios. O preparar una torta de cumpleaños y calcular las medidas indicadas en la receta (incluso calcular las proporciones correctas si la receta es para 6 personas y tenemos 15 invitados.) O medir todas las habitaciones de la casa y calcular su área.
Este es el campo de acción para los padres de familia, en primer lugar. Dentro del sistema escolar no hay mucho lugar para la vida real. Allí, a lo máximo se pueden usar imitaciones o ejemplos de la vida real, para demostrar como se aplican ciertos principios. A veces, esto ya es una ayuda. Por ejemplo, cuando un alumno quiere incluir el número 5 en el conjunto de «números mayores que 5», en vez de decirle simplemente «Esto es equivocado», puedo preguntarle (suponiendo que el alumno se llama Pedro): «A ver, ¿tú eres mayor que Pedro?» – Si el alumno es por lo menos medianamente inteligente, responderá: «No, si yo mismo soy Pedro.» – Así tiene un ejemplo menos abstracto, para entender que si dos cosas son «iguales», no puede a la vez uno de ellos ser «mayor». Y esto le puede ayudar (quizás) a ver que los conceptos de «mayor» y «menor» no son simplemente inventos del libro de matemática, sino que tienen un significado real en la vida real.

– Animar los descubrimientos propios y la creatividad.
Ningún conocimiento se recuerda tanto como el que uno mismo ha descubierto. Para que esto suceda, es necesario dar al alumno la oportunidad y el tiempo necesario para observar y crear, en vez de solamente reproducir. Por ejemplo, una tarea como la mencionada anteriormente, de colorear la tabla de multiplicación con distintos colores, puede dar lugar a una serie de observaciones y descubrimientos sucesivos: ¿Por qué la tabla del 5 es distinta de las demás, considerando su último dígito? ¿Dónde se ubican los números pares en la tabla de multiplicación, y dónde los impares? ¿Qué sucede si me desplazo horizontalmente o verticalmente de un número a otro? ¿y qué, si me desplazo diagonalmente? ¿Por qué en el centro de la tabla de multiplicación no se encuentra el 50 (la mitad de 100), sino el 25? Etc. – Una vez que un niño desarrolla cierta «curiosidad matemática», ya no es necesario hacerle tantas preguntas para guiarlo. Hará sus propios descubrimientos (aunque no siempre aquellos que el padre o profesor espera – pero esto no debe preocuparnos. Recordemos al pequeño Gauss.)

A menudo se desarrolla la mayor creatividad al hacer lo que es «prohibido» por el libro escolar (pero no por los principios de la matemática). Hay un viejo problemita que dice: «Une estos 9 puntos por medio de un mímino de rectas sucesivas que se puedan dibujar en un solo trazo.»

La solución «clásica» ya es un poco difícil de encontrar para la mayoría de los niños (y adultos), porque no se les ocurre la idea de que las rectas podrían sobrepasar los límites del cuadrado encerrado por los nueve puntos. Esta solución usa 4 rectas:

Pero existen soluciones más creativas, que logran unir los 9 puntos con una sola recta. ¿Alguien dijo que el papel debe quedarse en una sola pieza? Puedo cortarlo en tres tiras, con tres puntos en cada una, formar una tira larga con ellas, y entonces puedo trazar una sola recta a través de todos los nueve puntos. – ¿Alguien dijo algo acerca del grosor de la recta? Puedo agarrar una brocha y trazar una recta gruesa (del grosor del cuadrado entero), que cubre todos los nueve puntos. – ¿Alguien dijo que el problema tiene que limitarse a un plano de dos dimensiones? Puedo doblar el papel de tal manera que los nueve puntos se quedan uno sobre otro, y punzarlo en el medio con un lápiz o lapicero puntiagudo. Esta es una recta vertical (en la tercera dimensión) que atraviesa todos los nueve puntos.
(Confieso que esta «travesura» no es mi propio invento; pero ya no me acuerdo de la fuente donde la encontré.)

Una educación «burocrática» no permite esta clase de soluciones. Pero esto es exactamente lo que trunca la creatividad de los alumnos. Mientras no estoy violando ningún principio de la matemática, puedo crear mis propios procedimientos. Existen muchas formas diferentes de aplicar un principio en la práctica. Una enseñanza basada en principios da al alumno la libertad de usar diferentes formas – mientras los principios se mantienen intactos. Esta variación y creatividad ayuda al alumno a diferenciar entre un principio (que no puede cambiar), y un procedimiento arbitrario (que se puede hacer también de otra forma).

– Ser una PERSONA con principios.
Esto es lo más importante. Las mejores estrategias no sirven, si con nuestra propia vida contradecimos lo que enseñamos. Y con esto vuelvo a lo que dije al inicio: Muchas personas no entienden los principios de la matemática, porque no tienen principios en su propia vida. Así como la matemática se basa en principios eternos que no se pueden quebrantar, Dios nos ha dado principios eternos para nuestra vida, y nos hacemos un daño serio a nosotros mismos y a nuestros prójimos, si no vivimos según estos principios.

Por tanto, enseñar y aprender matemática es una cuestión de principios y de fe.

Para familias educadoras y escuelas alternativas, los libros de la serie «Matemática activa» proveen un método de proveer a los niños un aprendizaje según las ideas esbozadas en este artículo.

La enseñanza burocrática sigue las exigencias del estado, pero no los principios de una buena pedagogía.

En la actualidad, los profesores ya no son educadores. Son funcionarios del gobierno que tienen que implementar las políticas del gobierno en el aula. Y aun si han entendido lo que es una buena pedagogía – no pueden aplicarla, porque las exigencias del currículo estatal tienen que cumplirse primero.

Aquí en el Perú por lo menos, este currículo no toma en cuenta ni lo que se sabe acerca del desarrollo del niño, ni los principios didácticos más elementales – especialmente para las matemáticas. En particular deseo resaltar los siguientes puntos:

– Según el desarrollo cerebral del niño promedio, la enseñanza escolar formal no es provechosa antes de los 8 a 10 años de edad. Estos niños están recién entrando a la etapa de las operaciones concretas, y por tanto las operaciones matemáticas todavía no les parecen lógicas, ni pueden formarse un concepto de ellas en su mente. (Vea más detalles sobre esto en «Mejor tarde que temprano».) Por tanto, antes de esta edad, la enseñanza de la matemática debería centrarse en los principios fundamentales y en las operaciones básicas con números pequeños, de tal manera que el alumno puede reproducirlos manipulando objetos concretos. Lo que va más allá de esto, a una edad temprana, les hace más daño que bien a los niños.

– Cada niño tiene su propio ritmo de desarrollo y debe ser enseñado según el estado de desarrollo que alcanzó, no según su edad cronológica. Si intentamos hacer caminar a la fuerza a un bebé de tres meses, le hacemos daño. De la misma manera le hacemos daño a un niño cuando lo forzamos a resolver tareas que según su estado de desarrollo no puede entender todavía.
(Siempre se podrá encontrar a uno u otro niño precoz que llega a entender operaciones abstractas a una edad temprana. Pero estas son excepciones y no deben tomarse como norma para un sistema escolar generalizado. A estos niños precoces se les debería permitir saltar grados escolares o recibir cursos especiales según sus intereses, pero sin obligar a los otros niños a seguir el paso acelerado de ellos.)

– Cada nuevo conocimiento debe basarse sobre un conocimiento previo con el cual el niño ya está familiarizado. Esto es de particular importancia para la matemática, porque cada principio más avanzado se basa sobre una multitud de otros principios más sencillos. Por tanto, es necesario que el niño entienda bien los principios sencillos, antes de enseñarle principios más difíciles. (Por ejemplo, un niño no puede entender las potencias si no ha entendido primero la suma y después la multiplicación.)

– Cantidad no es calidad. Cuánto más conocimientos un niño tiene que absorber en un tiempo dado, tanto más es la cantidad de conocimientos anteriores que olvida. Por tanto, aumentar las horas académicas y acelerar el paso no hace que los niños aprendan más. Al contrario, cuando se sobrepasa cierto límite, los niños olvidan más de lo que aprenden. Una buena pedagogía le da al niño el tiempo que necesita para asimilar un nuevo conocimiento, y lo profundiza hasta que el niño esté seguro en ello. Y una buena pedagogía mantiene un equilibrio sano entre estudio intelectual, actividad física, trabajo manual, juego y descanso.

En completa contradicción contra todos estos principios, dice el Proyecto Educativo Nacional (PEN) del Perú:

«Prevenir la deserción y la repetición en la educación primaria
La repetición de grado agrava la extraedad -superación de la edad normada para el grado- desalentando a los niños e incrementando el riesgo de fracaso o abandono. Pero la promoción de grado con bajo rendimiento acumula el déficit y habitúa a la mediocridad. Las escuelas no tienen mecanismos que prevengan estas situaciones o las corrijan con rapidez, dejando a cada niño librado a su suerte. Esta política busca disminuir y suprimir los índices de abandono y repetición escolar, en especial en zonas urbanas y rurales con mayor riesgo de fracaso, mediante la creación de sistemas de apoyo y acompañamiento educativo.

PRINCIPALES MEDIDAS
a) Sistemas de detección oportuna de niños y niñas en riesgo de repetición y abandono escolar, bajo la responsabilidad de los docentes en cada grado y sección.
b) Institucionalización de estrategias pedagógicas diferenciadas de recuperación, atención educativa y tutoría a estudiantes en riesgo de repetir y abandonar el año, que incluya el empleo de horas adicionales.
(…)»

(Proyecto Educativo Nacional al 2021, Ministerio de Educación del Perú, 2007)

Esto significa, hablando claramente: Todos los niños son forzados a comenzar la escuela primaria a los seis (o cinco) años y terminarla a los once años, sin considerar su desarrollo individual. Un niño que no alcanza las metas del año, es obligado a pasar horas extra en la escuela hasta ya no poder más, porque obligatoriamente tiene que pasar de grado a la «edad normada», dictada por la burocracia. (La situación actual es que gracias a esta política, muchos niños ya no tienen fines de semana libres ni vacaciones.) El Ministerio de Educación no considera el hecho de que algunos niños se desarrollan más tarde que otros, ni el hecho de que el exceso de horas académicas les hace un daño serio. En vez de dejar que los niños sean niños, son obligados a convertirse en «calculadoras humanas», a una edad en la que deberían disfrutar del calor de un hogar y jugar sin preocupaciones. La mayoría de los niños no pueden cumplir con estas exigencias que se les imponen de manera burocrática, sin ninguna consideración pedagógica. Esta es una situatión muy trágica: Estos mismos niños podrían rendir muy bien, y con mucho menos horas académicas y mucho menos sufrimiento, si tan solamente les fuera permitido ser niños por dos o tres años más. Existen cientas de evidencias para ello, de investigaciones realizadas alrededor del mundo entero. El Dr.Raymond Moore recopiló muchas de ellas en su libro «Mejor tarde que temprano». Pero los planificadores de la educación simplemente no toman en cuenta lo que es lo mejor para los niños.

Aun los mejores profesores tienen que fracasar con una tal política, porque no se les permite enseñar a los niños de acuerdo a su propio desarrollo. Niños de cinco, seis, siete años están siendo sofocados bajo una tal avalancha de conocimientos y tareas que nunca pueden asimilarla. No les queda otra salida que «aparentar» y «adivinar». Para cuando llegan a cuarto o quinto grado, la mayoría ya está completamente desconectada de los conocimientos matemáticos que se exigen de ellos. Su «matemática» es un castillo en el aire sin fundamento, porque se les exige entender fracciones, potencias y raíces, cuando todavía no han asimilado ni los principios fundamentales de la suma, resta y multiplicación. Por ejemplo, son muy, muy escasos los alumnos de primaria que son capaces de solucionar correctamente un problema como este:

«Un cocodrilo mide 3,50 m (con cola). Su cuerpo mide un metro más que su cola. ¿Cuánto mide la cola del cocodrilo?»

Sin embargo, este problema no requiere nada más que las operaciones básicas, y un poco de razonamiento lógico. Pero los mismos niños que todavía no pueden entender esto, tienen que aprender a calcular con decimales y a sacar raíces cuadradas. Puesto que no tienen fundamento, todo esto no hace sentido para ellos, y tan pronto como lo aprenden, lo vuelven a olvidar. Entran a la escuela secundaria sin siquiera haber tenido tiempo para aprender bien la tabla de multiplicación; y en la secundaria tienen que volver a aprender lo que ya se les enseñó en la primaria. (Esto no es ningún chiste. Un día tuve en la mañana una alumna de refuerzo que estaba en tercer grado de primaria, y en la tarde otra que estaba en tercero de secundaria. Sus tareas que habían recibido en la escuela, eran casi idénticas.)

Tanto profesores como alumnos están bajo tal presión de «alcanzar las metas educativas» (ilusorias), que tienen que cubrir una multitud de temas, pero no tienen tiempo para aprender bien ninguno de ellos. Entonces los alumnos lo olvidan, y en el año siguiente tienen que volver a aprender lo mismo de nuevo.

Mencionaré solamente dos temas matemáticos que los alumnos están obligados a aprender mucho antes de que puedan realmente comprenderlos:

– Sumar llevando y restar prestando, con números de tres cifras. Esto se enseña ahora en primer grado, cuando muchos todavía no saben ni sumar números menores de 10. Como procedimiento mecánico, un niño de esta edad puede hacerlo – pero de ninguna manera entiende lo que hace. Para poder entenderlo, tendría que entender cómo funciona el sistema decimal – y esto a su vez presupone entender la multiplicación. Además tendría que ser capaz de relacionar un número de tres cifras con un concepto concreto; pero la imaginación de un niño de esta edad todavía no puede distinguir entre «cincuenta» y «quinientos».

– Fracciones. Imaginarse algo más pequeño que una unidad, es algo muy difícil para un niño de ocho años (a esta edad se enseñan actualmente las fracciones). Se le puede mostrar un círculo dividido en partes, y el niño puede contar las partes; pero si tiene muchas partes, entonces ¿cómo pueden todas estas partes juntas ser «1»? Esta es una paradoja irresoluble para la mayoría de los niños de esta edad. – Por supuesto, las fracciones presuponen entender las leyes de la multiplicación y división. Y no solo esto: simplificar, sumar y restar fracciones se basa sobre los conceptos del máximo común divisor (MCD) y mínimo común múltiplo (MCM). Esto a su vez presupone el concepto de múltiplos, divisores, números compuestos y números primos, y factores primos. Todo esto debería enseñarse antes – y no solo enseñar; habría que asegurarse de que los niños lo entiendan. Y habría que relacionar estos conceptos al nivel de principios. Pero la enseñanza burocrática exige que los niños calculen con fracciones sin tener nada de este fundamento. No es de extrañar que los alumnos no entiendan nada.

La enseñanza burocrática es incapaz ante los desafíos de la vida real y del sentido común.

Quedémonos un poco más con las fracciones. Los alumnos aprenden un procedimiento que llaman «CC» o «C doble» para tratar con fracciones dobles:

Mientras este procedimiento rinde el resultado correcto, no enseña nada acerca de los principios que rigen las fracciones. Los alumnos saben aplicarlo mecánicamente, pero se quedan perplejos ante expresiones como las siguientes:

En el caso a), a algunos todavía se les ocurre que 3 es igual a tres enteros, entonces lo escriben así y aplican su acostumbrada «CC» (aunque es un exceso innecesario de trabajo):

Pero el caso b) ya no permite esto. La enseñanza burocrática no puede preparar al alumno para una situación como esta, porque tendría que prescribir un nuevo procedimiento para cada caso especial que se podría presentar.

Pero un alumno que ha aprendido los principios de la matemática, no tendrá muchos problemas aquí. Para él, los mismos principios que rigen una fracción doble, se pueden aplicar también a una fracción triple, cuadruple o más complicada. Primeramente, para este alumno será claro como el agua que una fracción es solamente otra forma de escribir una división. Entonces, la expresión b) es equivalente a: 4 : 3 : (5 : ((7 : 8) : 11)). Y este alumno entenderá también qué efecto tiene un signo de división : ante un paréntesis. (Incluso entenderá que estos principos son equivalentes a las leyes de signos en la suma y resta.) Aplicando estos principios, y un poco de sentido común, resolverá el problema de la misma manera como resolvería una fracción doble – sabiendo lo que hace.

Pero «sentido común» es incompatible con «burocracia». El sencillo problema del cocodrilo, que cité más arriba, se puede resolver con un poco de sentido común y con muy poco de matemáticas (incluso sin recurrir a una ecuación). La mayoría de los alumnos actuales no pueden resolverlo porque la burocracia no cultiva el sentido común. Los problemas que exigen sentido común son el mayor desafío a la burocracia: no existe ningún procedimiento reglamentario para resolverlos.

Este es otro ejemplo, de la vida diaria y ordinaria:

«Mamá compró papas por S/.1.80, un queso por seis soles, y un coliflor. Pagó con un billete de diez soles y recibió 60 centavos de vuelto. ¿Cuánto costó el coliflor?»

Ante un problema como este, la mayoría de los niños (aun en sexto grado) no saben si deben sumar, restar, multiplicar o dividir. Esto indica ¡que todavía no comprendieron ni aun los principios de la suma y resta! – Cierto, saben sumar y restar mecánicamente números de siete y más cifras. Pero esto todavía no es «comprender» la suma y la resta. Estos conceptos son «comprendidos» solamente cuando el alumno es capaz de relacionarlos con los sucesos de la vida diaria. Pero esto es algo que la escuela no les puede enseñar, porque la escuela es burocrática y por tanto es desconectada de la vida real y del sentido común.

Una muy buena alumna en matemática que conocí, pasaba muchas horas ayudando a sus padres en atender su negocio. Esta fue la mejor preparación en matemática que podía recibir. Se acostumbraba a calcular los precios y dar el cambio correcto, y a pagar facturas correctamente. Esto es aplicar principios en la vida diaria, y esto le ayudó más que cualquier enseñanza que podía recibir en la escuela.

La enseñanza burocrática tiene que capitular ante esta clase de problemas. Algunos profesores se esfuerzan por sistematizarlos y mecanizarlos y proveer alguna «pauta de burro» a sus alumnos: «Si son varias compras juntas, hay que sumar. Si es dar cambio, hay que restar. Si son tres de la misma cosa, hay que multiplicar por tres …» – Estos son esfuerzos vanos. La vida real no se deja mecanizar de esta forma; siempre aparecerá un caso que no encaja en ninguna de las categorías preformuladas por el profesor. Pero la vida real puede comprenderse a base de principios. Y el que ha comprendido los principios, ya no necesita las «pautas de burro».

Rebeca Wild explica ante el trasfondo de las investigaciones de Jean Piaget, como se destruye el verdadero aprendizaje cuando la enseñanza consiste en tales memorizaciones de reglas. Dice acerca de la «etapa de las operaciones concretas» (que dura en la mayoría de los niños aproximadamente desde los siete u ocho años hasta los trece a quince años de edad):

«La comprensión solo está asegurada si el niño tiene los objetos en la mano o si los conoce muy bien de experiencias anteriores. … Si en esta etapa … se intenta utilizar símbolos, por mucho que se los haya simplificado, el niño se ve obligado a tomar una especie de medida de defensa: tendrá que utilizar su memoria para poder repetir, cuando se lo pidan, el saber requerido. (…) Claparède formuló la siguiente ley: todo lo que en su día fue aprendido de memoria, más tarde es mucho más difícil de entender. No es extraño que observemos con tanta frecuencia lo mucho que esta práctica del aprender reglas dificulta una aplicación inteligente.»
(Rebeca Wild, «Educar para ser», Barcelona 1999)

(Para los curiosos: La aplicación correcta de suma y resta es concisamente resumida en este axioma, formulado asi por Euclides: «El entero es más grande que su parte.» El que ha comprendido esto (¡no digo «memorizado»!), ya no tendrá el problema de si debe sumar o restar. Pero hallé que es asombrosamente difícil para alumnos educados en un sistema burocrático, comprender un axioma tan sencillo como este.)

Entre los problemas un poco más «escolares», unos que también desafían la enseñanza burocrática son los criptogramas. Es imposible prescribir un procedimiento mecanizado para la solución de criptogramas. Cada criptograma se basa en una propiedad distinta que debe ser descubierta – a base de principios. Por eso, los criptogramas están entre los ejercicios más excelentes para entrenar la capacidad de razonar. Pero encuentro que justo este tipo de ejercicios es omitido por casi todos los cursos de (mal llamado) «razonamiento matemático». Estos cursos, por lo general, se limitan a tareas que se pueden mecanizar más fácilmente, tales como el conteo de segmentos y figuras, continuar secuencias, etc.

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Algunos procedimientos de la enseñanza burocrática son incluso contrarios a los principios matemáticos.

A la burocracia no le interesa si se respetan los principios o no. Sus procedimientos deben llevarse a cabo, aun si guían al alumno por un camino falso. Mencionaré dos procedimientos con los que me encuentro casi diariamente, que efectivamente hacen que los alumnos aprendan principios equivocados. El procedimiento en sí rinde el resultado correcto – pero lo alcanza por un camino que enseña algo equivocado:

1. Poner el signo al lado equivocado. En la mayoría de los libros de matemática para primaria, encuentro restas verticales escritas así:

Esto da la impresión de que el signo «menos» (-) estaría asociado con el número 345. Pero el número que se resta es 238 y no 345. Hablando en sentido vectorial, 345 es el número que tiene dirección positiva, y 238 es el número que tiene dirección negativa. Por tanto, el signo «-» debe estar delante de 238 y no detrás de 345.

Esto puede parecer un detalle sin mayor significado, pero no lo es. En realidad, este error «insignificante» les causa a los alumnos un dolor de cabeza que perseguirá a algunos hasta el fin de su educación secundaria. Es que más adelante tendrán que reducir expresiones algebraicas como esta:

3a + 5b – 7 + 4b – 6a

Muchos alumnos, (mal) acostumbrados durante años a escribir el signo «-» a la derecha del número, asocian instintivamente en su mente las expresiones así:

Entonces agruparán la expresión de una de las siguientes formas, que son ambas equivocadas:

A diferencia de los casos que mencioné anteriormente, poner el signo al lado correcto no es una exigencia burocrática sin sentido. Es una cuestión de principios que afecta el aprendizaje de las leyes de la matemática. Pero a la burocracia no le interesa si se aprenden principios correctos o equivocados o ningún principio. Por eso, este error parece no molestar a nadie.

En sí, poner el signo al lado derecho o izquierdo no es ningún principio; es una convención. O sea, es un acuerdo mutuo entre los matemáticos. Podríamos cambiar la convención y ponernos de acuerdo en que desde aquí en adelante pondremos el signo a la derecha del número. Pero entonces, la resta citada al inicio tendría que escribirse así (vea a la derecha):

En este ejemplo, ningún principio de la matemática nos permite asociar el signo negativo con el número 345, sea a la derecha o a la izquierda. Es simplemente un error, y uno que tiene consecuencias, como vimos arriba. No por cuestiones burocráticas, sino por una cuestión de principios.

2. «Llevar algo al otro lado» en una ecuación.
Aquí tenemos una ecuación sencilla. A veces pido a un alumno que me explique cómo resolverla:

x + 5 = 18

Casi siempre recibo la siguiente explicación: «Llevo el 5 al otro lado y le cambio el signo.» – Esta explicación es técnicamente correcta, pero contradice completamente los principios matemáticos.

El principio general de las ecuaciones es el principio de la igualdad. La mejor ilustración visual de una ecuación es la imagen de una balanza en equilibrio:

Para resolver una ecuación, es necesario mantener este equilibro durante el proceso entero. Solamente así puedo asegurar que al final, cuando tengamos despejada la incógnita «x», el signo de igualdad «=» siga siendo verdadero.
Ahora, si «llevo algo al otro lado», la balanza obviamente ya no está en equilibrio:

Entonces, este no puede ser el camino correcto para resolver una ecuación. – Igualmente, si «cambio de signo» a algo en la ecuación, la balanza pierde su equilibro, porque -5 no es igual a 5. El que «lleva algo al otro lado y cambia su signo», está cometiendo dos graves errores a la vez (cuyos efectos felizmente se anulan).

El principio correcto para transformar y resolver una ecuación, es este:
Toda operación que se efectúa al lado izquierdo de la ecuación, debe efectuarse de igual forma al lado derecho.

Si al lado izquierdo sumo 5, también tengo que sumar 5 al lado derecho. Si el lado izquierdo lo divido entre 3, también tengo que dividir el lado derecho entre 3. Si elevo al cuadrado el lado izquierdo, también tengo que elevar al cuadrado el lado derecho. – Este es el principio correcto que lleva a resultados correctos y no causa confusiones.

(Este principio debe complementarse con el principio de que cada operación matemática se anula por la operación inversa: una suma se anula con una resta y viceversa; una multiplicación con una división, y una potencia con una raíz.)

En nuestro ejemplo del inicio, la aplicación de este principio sería: Restamos 5 a ambos lados de la ecuación.

Claro, la solución final es la misma como con el «procedimiento escolar». Entonces, ¿qué tiene de malo el «llevarlo al otro lado»?

El daño sucede, una vez más, al nivel de los principios. El «procedimiento escolar» es un manejo mecánico sin sentido, que tiene que «hacerse así porque así se hace, y punto.» Si alguien pregunta «¿por qué?», no recibirá explicación, porque matemáticamente este procedimiento no tiene explicación. Como hemos visto, es un procedimiento que contradice los principios matemáticos. Una vez más, el alumno solo aprende una técnica, pero no aprende matemática. Aun peor, aprende principios equivocados: que en una ecuación se pueda «llevar un número al otro lado» y que se pueda «cambiar de signo a un número», sin que esto afecte la veracidad de la ecuación.

Además, el «procedimiento escolar» causa confusión. Tan solamente si avanzamos a ecuaciones con multiplicación o división como estas:

El alumno dirá que en estos casos también hay que «llevar el 5 al otro lado», pero ¿hay que cambiarle el signo o no? ¿No? ¿Por qué no? – Nuevamente, esto no se puede explicar de manera lógica, porque el procedimiento en sí mismo no es lógico. Con esta clase de enseñanza, el alumno tiene que aprender un nuevo procedimiento por separado para cada nueva operación. Cuando llega a potencias y raíces, otra vez tendrá que aprender un procedimiento nuevo (mientras en algún rincón de su cerebro sigue cavilando por qué en la suma había que «cambiar de signo» al 5 y en la multiplicación no.)

Una confusión adicional ocurre en un caso como este:

x / 5 = 13 + a

El alumno «sabe» (o sea, cree equivocadamente) que tiene que «llevar el 5 al otro lado», pero ¿cómo exactamente? ¿Hay que multiplicar el 13 por 5, o la a, o ambos? – El profesor puede decirle que hay que multiplicar ambos, pero ¿por qué? Aquí tampoco hay explicación lógica.

Si nuestro alumno hubiera aprendido el principio correcto desde el principio, no tendría toda esta confusión. (La palabra «principio» por sí misma indica que con esto hay que comenzar: los principios deben ir al principio, no al final.) El principio de la balanza le dice al alumno inequívocamente que puede anular una multiplicación por medio de una división (y es obvio que al dividir, nadie cambia el signo del divisor así por así). A la luz de este principio, también es obvio que al multiplicar la ecuación (ambos lados de la ecuación), hay que multiplicar el contenido completo de los platillos de la balanza, y no solamente una parte. (De otra forma no se mantendría la igualdad.) Además, el principio es general, o sea, se aplica a cualquier operación matemática. El alumno no tiene necesidad de aprender un procedimiento nuevo para cada operación aparte. Así se evitan muchas confusiones cuando se enseña matemática basada en principios, en vez de procedimientos burocráticos.

(Continuará)

Parece que la matemática tiene mala reputación. «Matemática es difícil.» – «Yo no entiendo la matemática.» – Cuando un alumno dificulta en sus tareas y busca ayuda, casi siempre es en matemáticas. Personalmente no encuentro esta dificultad, y en la enseñanza de mis propios hijos tampoco. La matemática no es difícil. Por lo menos no al nivel de la escuela primaria y secundaria. Pero después de observar a un buen número de alumnos sometidos al sistema escolar, de los más variados niveles, tengo que lanzar las siguientes conclusiones provocativas:

– Enseñar y aprender matemática es una cuestión de principios y de la fe.

– La matemática no es difícil; pero la manera burocrática como funciona el sistema escolar, la ha hecho difícil de comprender.

Intentaré explicar como llegué a estas conclusiones.

La matemática es una cuestión de principios

Deseo explicar este punto y ya tengo una dificultad. Mucha gente no sabe qué son «principios». Supongo que es porque no los tienen. Un «principio» es una convicción tan profunda que no se deja mover por las circunstancias. Una persona con principios no se deja arrastrar por cualquier corriente. No se deja «comprometer» por sus amistades, ni acepta soborno. Un «principio» es un fundamento que sostiene la vida entera, así como el fundamento de un edificio sostiene el edificio entero.
Para dar un ejemplo: Una persona «honrada», así de comúnmente honrada, es alguien que normalmente dice la verdad, que normalmente no engaña en sus negocios, etc. – pero puede haber excepciones. Puede haber situaciones donde esta persona «honrada» miente o engaña. Cuando se encuentra bajo mucha presión, por ejemplo. O cuando piensa que tiene que hacerlo «por una causa buena y justa». – Hay muchas personas así de comúnmente honradas. Pero hay muy pocas personas honradas por principio. Una persona que vive según el principio de la honradez, siempre será honrada. Esta persona nunca va a mentir o engañar. Ni siquiera cuando es presionada. Y ni siquiera «para una causa buena y justa». El principio de la honradez es un fundamento de su personalidad. Si esta persona mentiría o engañaría, perdería una parte de su personalidad.

Ahora, la matemática se fundamenta sobre principios. La matemática no cambia según las circunstancias, ni según el gobierno de turno. La matemática no acepta sobornos. La matemática ni siquiera tiene matices culturales: un matemático asiático y un matemático sudamericano, al tratar el mismo problema, necesariamente llegarán al mismo resultado (excepto si uno de ellos comete un error). Los principios de la matemática son universales y eternos.

Por tanto, para una persona sin principios será difícil comprender la matemática. Pero no porque la matemática fuera difícil. ¡La dificultad está en la persona, no en la matemática! La persona «comúnmente honrada» no comprende por qué no debería dejar de un lado su honradez por una sola vez, cuando se trata de defender la causa de su mejor amigo. Y de la misma manera, esta persona no va a comprender por qué no puede pasar por alto una de las leyes de las potencias, por una sola vez no más.

Pero los principios son el fundamento de la matemática. No son simplemente «adornos» o «trozos de conocimiento». Son la base que sostiene el edificio entero de la matemática. Si se pasara por alto un solo principio, esto haría que la matemática ya no sería matemática. Entonces, para entender la matemática es necesario tener principios.

La matemática es una cuestión de fe

Voy todavía un paso más allá. Dije que los principios de la matemática son universales y eternos. O sea, los principios matemáticos son válidos para cada persona, en cada lugar del universo, y por todos los tiempos. A diferencia de las otras ciencias, en la matemática no puede haber distintas «corrientes» que se contradicen entre sí. En la física se disputa si la luz consiste en ondas, o en partículas, o en ambas. En la psicología se disputa si el hombre es condicionado mayormente por su herencia genética o por su medio ambiente. Cada ciencia tiene estas disputas entre distintas opiniones, y a menudo no hay manera de comprobar quien tiene la razón. Pero en la matemática no puede haber tales disputas. En la matemática se puede comprobar con toda seguridad cuál es la verdad y cuál es el error. Y una vez que una verdad matemática está comprobada, todos los matemáticos del mundo la aceptan y no puede haber disputa acerca de ella.

Aquí tocamos un asunto filosófico que no puedo tratar con la profundidad que merece: ¿Es la matemática un invento de la mente humana, o existe la matemática independientemente de nosotros? Si la matemática fuera inventada por nuestra mente, entonces podríamos manipularla y cambiarla a nuestro antojo. Cada uno podría inventar su propia matemática; o el gobierno podría decretar una «matemática oficial» y «políticamente correcta» para el país. Pero si fuera así, ¿cómo se explica el hecho de que todos los matemáticos del mundo aceptan las mismas verdades matemáticas y rechazan los mismos errores? ¿Y cómo se explica el hecho de que la matemática corresponde al universo fuera de nosotros, de manera que se puede calcular matemáticamente las órbitas de los planetas? – No, la matemática tiene que ser algo que está más allá de nosotros como humanos. La matemática nos señala que existen verdades eternas, absolutas, que no cambian con el tiempo ni con las circunstancias. La matemática nos señala que existe una gran mente más allá de nosotros que razona y que ordena el universo, y que fundamentó este universo sobre principios eternos.
Como cristiano que soy, creo que esta gran mente es el Dios de quien habla la Biblia. Así dice en el libro de los Salmos (en un lenguaje más poético que matemático):

«Los cielos cuentan la gloria de Dios, y el firmamento anuncia la obra de sus manos.
Un día emite palabra a otro día, y una noche a otra noche declara sabiduría.»
(Salmo 19:1-2)

«Por tu ordenación subsisten todas las cosas hasta hoy, pues todas ellas te sirven.»
(Salmo 119:91)

Por tanto, la matemática es una cuestión de fe. Para hacer matemática, es necesario creer que existe una realidad más allá de nosotros mismos, y que esta realidad tiene principios absolutos y eternos.

Aun si un matemático no cree en Dios, siempre tiene que «aceptar por fe» ciertas verdades para poder hacer matemática. Estas verdades se llaman axiomas. Si queremos colocar la matemática sobre un fundamento lógico y comprobar todas sus leyes con exactitud, siempre llegaremos a algunos principios fundamentales que no podemos comprobar. Por ejemplo, que los números existen y que se pueden ordenar. O que si dos cosas son iguales a una tercera cosa, estas dos son también iguales entre sí. (O sea, si A=C y B=C, entonces también A=B.) Estos axiomas no se pueden comprobar; pero son necesarios para construir un edificio lógicamente coherente de las matemáticas. En otras palabras: Es necesario aceptarlos por fe.

Por todas estas razones, digo que la matemática es un asunto de fe. Con «fe» entiendo aquí: una convicción firme, que se apoya en verdades más allá de nuestra mente y de nuestro mundo visible.
No estoy diciendo que sea necesario ser judío o cristiano para hacer matemáticas. Hubo grandes matemáticos que no creían en el Dios de la Biblia. Pero por lo menos una «fe matemática» en el sentido que acabo de mencionar, ciertamente será necesaria. Un profesor de matemática necesita despertar en sus alumnos por lo menos esta fe, de que el mundo está regido por principios firmes que son más grandes que nosotros; y que él, el alumno, puede aplicar estos principios e incluso descubrir algunos de ellos por sí mismo. Y al mismo tiempo, un profesor de matemática necesita la humildad de reconocer que él mismo tiene que someterse bajo estos principios; qué él no es «dueño» ni «amo» de la materia que enseña.

Enseñanza burocrática de matemática

No es fácil explicar lo que entiendo con una «matemática por principios». Quizás se entiende mejor si la comparamos con su contrario, la «matemática burocrática». Estoy observando que la mayoría de los niños y jóvenes hoy en día están sometidos a una enseñanza burocrática de matemática. Describiré algunos síntomas de ello, y algunos problemas causados por ello.

La enseñanza burocrática enfatiza «el procedimiento correcto», sin importar el entendimiento.

«Este número va acá, este se suma con este, y el resultado se subraya con rojo.» Y cuando el alumno usa un procedimiento diferente, o subraya el resultado con azul en vez de rojo, su trabajo es rechazado, por más que sea matemáticamente correcto. Igual como en los trámites de la burocracia estatal, donde el ciudadano es diariamente hostigado con exigencias sin sentido: «No, usted no puede entregar su expediente en un fólder así, tiene que comprar uno en nuestra oficina.» Etc, etc. Y nadie puede preguntar ¿por qué?

¿Cuál es el efecto de tal enseñanza en el alumno?
– El alumno es distraído y confundido por asuntos que no tienen nada que ver con matemática. Si por casualidad tiene solamente un lapicero negro en vez de uno rojo, ya no puede realizar su cálculo. En su mente se forma la impresión de que la forma del subrayado (o algún otro detalle insignificante) es más importante que el cálculo en sí.
– El alumno aprende a repetir mecánicamente un procedimiento, sin comprender su significado. Aprende el «cómo», pero no el «por qué». Y así, en realidad no aprende nada de matemáticas. Realizar cálculos mecánicamente, es algo que una calculadora puede hacer también; eso todavía no es matemática. La enseñanza burocrática reduce a los alumnos a meras calculadoras. Aprender matemática significaría entender los principios en los que está basada. Pero para eso no hay lugar en una enseñanza burocrática.
– Sin entender los principios, los procedimientos no tienen sentido. Pero un procedimiento sin sentido es más difícil de aprender que uno que se entiende su sentido. Por tanto, el alumno recibe la impresión de que la matemática es difícil, incomprensible; y así se desanima.

He aquí unos ejemplos de la vida real:

– Una alumna está realizando una multiplicación con varias cifras. Al escribir un número, la pregunto: «¿Por qué colocas este número acá?» – La alumna me mira con ojos grandes, confundida. Parece que nunca en su vida alguien le hizo una pregunta así. No sabe qué responder, mira su cuaderno, y por fin empieza a borrar el número que acaba de escribir. – «No necesitas borrarlo, no he dicho que está mal lo que haces. Solamente deseo que me expliques por qué lo haces así.» – Pero la alumna no tiene respuesta. Solamente ha aprendido a obedecer las órdenes mecánicamente; pero no ha aprendido a pensar. Solamente conoce el «cómo», pero no el «por qué».

– A otro alumno, un poco más pequeño, le escribí una suma en su cuaderno y le pedí que la resolviera. Su respuesta: «Solamente sé sumar en vertical, pero no en horizontal.» – Para él, el procedimiento era todo. No entendía que el principio de una suma es el mismo, sin importar de qué manera se anota. Si él hubiera aprendido principios, no hubiera tenido este problema.

– Un alumno tenía que simplificar la fracción 300/500: «Primero tomo la mitad, resulta 150/250. Puedo otra vez tomar la mitad, entonces tengo … (aquí demoró un poco más) … 75/125. Y ahora tercios…» – y después de probar unos momentos, se rindió. Le señalé la fracción original y dije: «Mira que ambos números tienen dos ceros al final. ¿No te dice esto que puedes hacerlo de una manera más fácil?» – Después de razonar con él un poco más, él fue capaz de reconocer que ambos números eran múltiplos de 100. Pero aun así, fue incapaz de hallar la solución. La gran pregunta que le inquietaba fue esta: «¿Pero se puede de frente dividir entre 100? Mi profesor me ha enseñado que siempre hay que empezar sacando mitades, después tercios…» – Sin más comentario.

Cuando se enseña una matemática sin principios, los alumnos aprenden «trozos de conocimientos» que están completamente desconectados unos de los otros. Un alumno tenía dificultad de comprender la ley distributiva. Por el otro lado, sabía bien multiplicar números con varias cifras. Pero lo hacía mecánicamente, sin entender por qué (como casi todos los alumnos). Nunca se le ocurrió que podría existir alguna conexión entre las dos cosas. Hicimos algunos ejercicios para que él pudiera comprender cómo se compone la multiplicación de un número con varias cifras:

Entonces llegó el momento cuando este alumno tuvo una gran revelación: Se dio cuenta de que todo el tiempo, cada vez que multiplicaba, ¡él ya estaba aplicando la ley distributiva sin saberlo!
Pero la mayoría de los alumnos nunca se dan cuenta de esta conexión. En algún momento aprenden la multiplicación larga, como procedimiento mecánico («este número va en esta casilla y este otro número en esta otra casilla…»), y nadie les dice por qué se hace así. Y en alguna otra lección, en algún momento muy distinto del año escolar, aprenden la ley distributiva, con unos ejercicios tontos que no tienen ningún uso práctico; simplemente porque el currículo dice que ahora hay que aprender la ley distributiva. Y muy pronto la olvidan otra vez, porque no pueden ver ningún sentido en aprenderla. Por fin, esta ley se inventó solamente para aburrir a los alumnos, y nadie nunca la utiliza, ¿verdad?

La enseñanza burocrática enfatiza la sumisión ciega bajo la autoridad, y la conformidad exterior.

Mencioné a una alumna que no podía explicar por qué efectuaba una multiplicación de la manera como lo hacía. Quizás su respuesta más sincera hubiera sido esta: «Lo hago de esta manera porque si lo hago de otra manera, el profesor me va a dar una mala nota o me va a castigar.»

En un sistema burocrático, conformidad es todo. Nadie se atreve a ser diferente, nadie se atreve a admitir que no entiende algo, nadie se atreve a ser original o creativo. Uno de mis hijos, durante algún tiempo, solía resolver sus calculos mentales de una manera bastante «creativa». Podía suceder, por ejemplo, que multiplicaba 6×14 de la siguiente manera: «6×10 es 60, la mitad de 60 es 30, 60+30=90, le resto 6 y son 84.» Lo interesante fue que sus «soluciones creativas» eran siempre correctas. Pero una enseñanza burocrática desanima esta clase de creatividad. Los alumnos que no se conforman al montón, son castigados con malas notas o con la burla de sus compañeros.

Además, esta presión por la conformidad produce algunas formas de comportamiento disfuncional y enfermizo. Mencionaré una sola: el «adivinar la respuesta». Los alumnos aprenden pronto que «la apariencia es todo». Descubren que pueden «ganar puntos» con una buena respuesta – no importa si ellos mismos entienden la respuesta que dieron o no. Y descubren que muchas veces se puede adivinar la respuesta. El profesor pregunta: «¿Cómo se resuelve este problema?» – Por lo general hay solamente cuatro respuestas posibles: «Hay que sumar», «Hay que restar», «Hay que multiplicar», «Hay que dividir». (En los grados avanzados las posibilidades se reducen a una sola: «Hay que hacer una ecuación.») Entonces, si digo al azar cualquiera de éstas, tengo una probabilidad bastante buena de acertar (y si fallo, por lo menos he dado la impresión de haber pensado algo).
Una vez me encontré con un alumno de primer grado que tenía en la mano una lámina con el dibujo de un dedo con su uña, y debajo en letras grandes la palabra «uña«. Le pregunté: «¿Ya sabes leer?» – «Sí, claro.» – «A ver, ¿qué dice aquí?» – Enseguida respondió el chiquillo: «Dedo.» – Pero no lo dijo así no más; hizo un «show» perfecto: Pasó con su dedo por debajo de las letras y dijo pausadamente, como deletreando: «De- do.» A su corta edad ya había aprendido la lección más importante para un alumno de la burocracia: como impresionar a su profesor con apariencias.

Desgraciadamente, esta actitud no ayuda para nada a aprender matemática. Al contrario, puede obstaculizar el aprendizaje por toda la vida. Primeramente, los alumnos adquieren una noción completamente equivocada de lo que es la matemática. No entienden lo más fundamental: que hacer matemática es aplicar principios. En lugar de ello, empiezan a pensar que la matemática es realmente algo como un juego al azar, y que el «adivinar» es el método correcto. Así como se hizo costumbre entre algunos alumnos, rezar en el camino a su examen: «Santa María, dame puntería» …

Y estos «adivinadores» pueden pasar sus exámenes asombrosamente bien. No solo por copiar de sus compañeros. También porque hoy en día, casi todos los ejercicios y exámenes son de selección múltiple. Claro, esto facilita la tarea del profesor de revisar las respuestas (hasta una computadora puede hacerlo). Pero invita a «adivinar». A ver, ¿qué tal esta tarea?

Yo sé, estoy siendo un poco sarcástico. Pero en serio, no se puede exagerar el efecto entontecedor de los ejercicios de selección múltiple. Los alumnos ya se están acostumbrando, en vez de razonar lógicamente, a buscar simplemente «la alternativa correcta». Esta es una muy mala preparación para la vida, porque los problemas de la vida real nunca son de selección múltiple. Y especialmente en la matemática: el conjunto de las alternativas posibles para la solución de un problema matemático, ¡es normalmente infinito! Aun para un problemita como este: «Pedro vive más arriba que Pablo, Juan vive más arriba que Pedro, ¿quién vive en el sótano?» – Respuesta: los ratones. – (Solamente estoy intentado aligerar un poco este tema pesado.)

Pero el hecho es: Limitar las posibles respuestas a cuatro o cinco alternativas, significa truncar el razonamiento del alumno. Los grandes científicos del pasado destacaron exactamente por sobrepasar los límites de las alternativas que ofrecían sus contemporáneos. Un ejemplo histórico:

Cuando los astrónomos empezaron a adoptar el sistema heliocéntrico, empezando con Copérnico, intentaron calcular las órbitas de los planetas alrededor del sol. Primero, la idea general era que estas órbitas tenían que ser círculos. (Esta idea se derivaba todavía de los antiguos griegos, que se imaginaban el cielo compuesto de diversas esferas perfectas.) Pero al avanzar las observaciones de los planetas, nunca coincidieron exactamente con las órbitas circulares calculadas por los astrónomos. Entonces pensaron que quizás los planetas describían otros círculos pequeños superpuestos a su órbita circular grande. Por muchos años, los astrónomos intentaban encontrar una combinación de círculos que se ajustaba a sus observaciones, pero siempre quedaba un error que no podían superar. Su problema era que habían limitado las alternativas de las respuestas posibles:

La órbita del planeta es:
A) un círculo
B) un círculo con otro círculo superpuesto
C) un círculo con dos círculos superpuestos
D) otra combinación de círculos.

Solo muchas décadas más tarde encontró Juan Kepler la solución que se hizo famosa: las órbitas de los planetas no son ninguna combinación de círculos, sino elipses. Para encontrar esta solución, Kepler tuvo que romper las limitaciones que los astrónomos anteriores habían impuesto a las respuestas posibles.

– Todos estos asuntos del «adivinar las respuestas» y del «conformarse exteriormente», son en realidad asuntos de carácter, ética y moral. La persona que aparenta entender lo que no entiende, no es honesta. Y esto no ayuda en nada para el aprendizaje de la matemática.

En un sistema burocrático, siempre hay alguna manera de «engañar el sistema» y de salirse con la suya. Uno puede sobornar al policía o al funcionario; uno puede sobrepasar las leyes mientras nadie mira; uno puede incluso convertirse en autoridad uno mismo y cambiar las leyes según su antojo. Pero en la matemática no funciona nada de esto. La matemática no se deja sobornar; las leyes de la matemática se cumplen con exactitud aun cuando nadie mira; y nadie tiene la autoridad de cambiar las leyes de la matemática. Las técnicas que la gente aprende para sobrevivir en una burocracia, no sirven para nada en el campo de las matemáticas. Esta es una razón más por qué los estudiantes educados en un sistema burocrático, raras veces llegan a entender la matemática. No pueden entender el «espíritu» de la matemática en un tal sistema.

Y personalmente digo, si tengo que escoger entre los dos, la burocracia o la matemática, yo escojo la matemática. Aunque en el mundo actual, la burocracia es la «realidad» con la que vivimos – esta palabra «realidad» ha sido terriblemente maltratada. La gente está usando esta palabra «realidad» cuando busca una excusa para sus manejos deshonestos: «Es que así es nuestra ‘realidad’.» Pero la palabra «realidad» se deriva de «rey»: «real» es lo que el rey dice y hace. Como cristiano, mi Rey es Dios. ¿Qué dice Dios acerca de la «realidad»?
«Sabemos que somos de Dios, y el mundo entero está bajo el maligno. Pero sabemos que el Hijo de Dios ha venido, y nos ha dado entendimiento para conocer al que es verdadero; y estamos en el verdadero, en su Hijo Jesucristo. Este es el verdadero Dios, y la vida eterna.» (1 Juan 5:19-20)
«Para esto apareció el Hijo de Dios, para deshacer las obras del diablo.» (1 Juan 3:8).

La «realidad» de Dios es Su gobierno eterno, y Sus principios que no pueden ser quebrantados por nada y nadie. Una parte de esta realidad son las leyes de la matemática. Por eso, los planetas se mueven según leyes matemáticas y no según leyes burocráticas. Y por tanto, la matemática corresponde a la verdadera Realidad del universo, pero la burocracia no.

(Continuará)