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Por qué Einstein no hubiera ganado la olimpiada de matemática

Parece que las olimpiadas de matemática están de moda. Cada país, cada ciudad, cada escuela que se siente orgullosa de su existencia, quiere organizar una. Y todos los alumnos quieren participar – y los que no quieren participar, son obligados a ello por sus profesores o por sus padres. Aun los que desde un inicio no tienen posibilidades de ganar. Por eso, las listas de resultados de tales olimpiadas suelen llevar una larga cola de nombres que figuran con cero puntos.

La creencia general es que tales olimpiadas incentiven el pensamiento matemático en los alumnos. Pero, ¿es realmente «pensamiento matemático» lo que se necesita para ganar una olimpiada de matemática?

Primeramente, la gran mayoría de participantes que sacan cero puntos, no se han beneficiado en nada. No han aprendido nada, ni antes ni durante el evento, porque obviamente las tareas están por encima de su comprensión. Solamente se llevan una mala experiencia, y lo más probable es que pierdan la motivación por la matemática.

Ahora, los que sí tienen el potencial de sacar un buen puntaje, ¿qué capacidades han entrenado por medio de un tal evento?

Las tareas que se dan en las olimpiadas de matemática, normalmente requieren el conocimiento de una sola propiedad matemática, una fórmula, una sola «idea feliz», para resolverla en el tiempo más breve posible. (En casos excepcionales se requiere una combinación específica de dos o tres propiedades matemáticas.) Y los límites de tiempo en estas olimpiadas son muy estrechos: Si uno quiere resolver todo, puede invertir ni siquiera cinco minutos para cada tarea. – Entonces, aquellos participantes que se quedan atrás, normalmente se ven limitados por estos dos factores: Memoria y tiempo.

El factor «memoria»: Los que no logran ganar, no han podido meter en sus cabezas una cantidad tan enorme de fórmulas y datos matemáticos como los ganadores. Con lo que tienen presente en su memoria, podrían encontrar las soluciones de algunas tareas, pero probablemente por un camino un poco más difícil, un poco más lento. Los ganadores, en cambio, pueden recurrir a su memoria y sacar de allí una fórmula memorizada que «dispara» la tarea de un solo golpe.

El factor «tiempo»: Los que resuelven las tareas por un camino un poco más lento, no pueden terminar todas las tareas en el tiempo asignado. Entonces se quedan con un bajo puntaje, no porque no hubieran entendido la tarea, ni porque fueran incapaces de resolverla, sino solamente porque no les queda tiempo para hacerlo.

Pero estos dos factores, memoria y tiempo, tienen muy poco que ver con pensamiento matemático. Memorizar una gran cantidad de fórmulas todavía no es pensar matemáticamente. Resolver un gran número de tareas en tiempo mínimo tampoco es pensar matemáticamente.

El gran científico Albert Einstein, cuando era niño, era «atrasado» en su desarrollo. No sabía hablar hasta los cuatro años de edad, y hasta los nueve años tenía problemas del habla. Sus profesores lo describieron como un alumno de comprensión lenta. Mucho más tarde dijo acerca de su descubrimiento de la teoría de la relatividad: «Un adulto ordinario nunca se preocupa por los problemas del espacio y del tiempo. El considera estos pensamientos como cosas de niños. Pero yo me desarrollé tan lentamente que empecé a curiosear acerca del espacio y del tiempo recién cuando ya era adulto. En consecuencia, me introduje más profundamente en este problema de lo que un niño ordinario hubiera hecho.»

Einstein, de niño o joven, probablemente no hubiera ganado ninguna olimpiada de matemática. El no era un niño precoz como lo son los ganadores de estas olimpiadas. Y puesto que él necesitaba tiempo para pensar profundamente acerca de los problemas, se hubiera estrellado contra los límites de tiempo.

Pero si él no hubiera tomado más tiempo que las personas ordinarias, para pensar acerca de los problemas del espacio y del tiempo, entonces nunca hubiera descubierto la teoría de la relatividad. En cambio el pensamiento apresurado, bajo presión del tiempo, es una forma superficial de pensar. Por tanto, las olimpiadas de matemática no fomentan el verdadero pensamiento matemático. Solo fomentan un pensamiento superficial que busca soluciones rápidas para problemas poco profundos. Los ganadores de olimpiadas matemáticas raramente son los mejores matemáticos.

Keith Devlin, profesor de matemática en la universidad de Stanford, dice:

«Nosotros los matemáticos profesionales nos desesperamos por los sistemas escolares que imponen estrechos límites de tiempo sobre los exámenes de matemática, y obligan a trabajar rápidamente. La verdadera matemática requiere tiempo.»

Y también: «Pensar matemáticamente no es lo mismo como hacer matemática – por lo menos no de la manera como nuestro sistema escolar normalmente presenta la matemática. (…) La clave para el éxito en la matemática escolar consiste en pensar como el profesor quiere que pienses. En contraste, una característica clave del pensamiento matemático es pensar en contra del pensamiento convencional.«

Y el matemático Paul Lockhart dijo:

«Los alumnos aprenden de sus profesores lo que (supuestamente) es la matemática, y éstos a su vez lo aprendieron de sus profesores, y así se repite en cada generación esta falta de comprensión y valoración de la matemática. Aun peor: Esta «seudo-matemática», este énfasis en la manipulación correcta (pero sin sentido) de símbolos, crea su propia cultura y sus propios valores (equivocados). Aquellos que la dominan, se vuelven presumidos. No quieren saber nada de que la matemática es creatividad y estética. A muchos alumnos, sus profesores les dijeron durante diez años que eran «buenos en matemática»; pero cuando llegaron a la universidad, se decepcionaron al descubrir que no tenían ningún talento matemático. Solamente habían sido «buenos» en seguir las órdenes de otras personas. Pero la matemática no trata de seguir las órdenes de otra gente. Se trata de descubrir direcciones nuevas.«

Por tanto, en una segunda parte trazaré algunas sugerencias de cómo podría organizarse un concurso de matemática que realmente fomente el pensamiento matemático.

(Continuará)

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Paul Lockhart: Matemática en la escuela (Continuación)

Extractos traducidos de «A Mathematician’s Lament», por Paul Lockhart. (Vea la introducción a la primera parte)

¿Cómo entonces debemos enseñar matemática a nuestros alumnos? – Hay que encontrar problemas naturales que los entusiasman, y que corresponden a su gusto, su personalidad y su nivel de experiencia. Hay que darles tiempo para hacer descubrimientos y formular hipótesis. Hay que ayudarles a refinar sus argumentos, y hay que crear un ambiente de una crítica matemática sana. Hay que ser flexibles y abiertos a cambiar repentinamente de dirección, según la curiosidad de los alumnos. En breve, tenemos que establecer una relación intelectual honesta con nuestros alumnos y con nuestra asignatura.

Por supuesto, existen algunas razones por qué esto es imposible. Primeramente, los exámenes estandarizados ya no dejan al profesor casi ninguna libertad. También dudo de que la mayoría de los profesores siquiera deseen entrar en una relación tan intensa con sus alumnos. Esto significaría hacerse demasiado vulnerable y asumir demasiada responsabilidad – o sea, ¡es demasiado trabajo!

(…)

Pero la matemática es de hecho un trabajo creativo duro, igual como la pintura o la poesía. Por eso es muy difícil enseñarla. La matemática es un proceso lento y contemplativo. Crear una obra de arte requiere mucho tiempo; y solamente un profesor experimentado puede reconocer una tal obra de arte. Es más fácil establecer una lista de reglas, que asesorar a niños que aspiran a ser artistas.
La matemática es un arte, y el arte debe ser enseñado por artistas activos. O por lo menos por personas que valoran esta forma de arte y pueden reconocerla cuando la ven. ¿Aceptaría usted como profesor de música a alguien que no sabe tocar un instrumento, y que nunca escuchó una pieza de música? ¿O aceptaría usted como profesor de arte a alguien que nunca entró en un museo, ni agarró un pincel? ¿Por qué entonces aceptamos a profesores de matemática que nunca en su vida produjeron alguna pieza original de matemática, que no saben nada acerca de la historia y la filosofía de su asignatura, nada acerca de los últimos desarrollos, nada que va más allá de lo que tienen que presentar a sus alumnos infelices? ¿Qué clase de profesor es este? ¿Cómo puede alguien enseñar lo que no practica?

(…) Enseñar no tiene que ver con información. Enseñar significa entrar en una relación intelectual honesta con los alumnos. No requiere ningún método, ningún material, ningún entrenamiento. Solamente la capacidad de ser auténtico. Y si usted no puede ser auténtico, entonces usted no tiene ningún derecho de imponerse a unos niños inocentes.

Y en particular, no se puede enseñar a enseñar. La formación académica de profesores es un completo sinsentido. Oh, usted puede estudiar cursos acerca de desarrollo del niño y acerca del uso «eficaz» de una pizarra y acerca de cómo establecer un «plan de lecciones» ordenado (y esto asegura que sus lecciónes serán «planeadas», y por tanto falsas). Pero usted nunca será un profesor verdadero mientras usted no esté dispuesto a ser una persona auténtica. Enseñar significa ser transparente y honesto. Significa compartir entusiasmo, y un amor al aprendizaje. Si usted no tiene eso, todos los títulos académicos del mundo no le servirán de nada. Pero si usted tiene esas cosas, entonces no tiene necesidad de ningún título en educación.

.

SIMPLICIO: Bien, yo entiendo que la matemática tiene algo que ver con el arte, y que no la estamos enseñando bien. ¿Pero no estás pidiendo demasiado de nuestro sistema escolar? No queremos formar filósofos; solamente queremos que la gente aprenda las técnicas matemáticas básicas que necesitan en nuestra sociedad.

SALVIATI: ¡Pero eso no es verdad! La matemática escolar se ocupa de muchas cosas que no tienen nada que ver con la capacidad de vivir en la sociedad – como por ejemplo álgebra o trigonometría. Estos son completamente irrelevantes para la vida diaria. Yo simplemente sugiero, si queremos introducir tales temas, que lo hagamos de una manera orgánica y natural. (…) Nosotros aprendemos cosas porque nos interesan ahora, no porque podrían ser útiles más adelante. Pero de los niños exigimos que aprendan conceptos matemáticos, solamente porque «en algún momento en el futuro» podrían ser útiles.

SIMPLICIO: ¿Pero no deberían saber calcular los niños de tercer grado?

SALVIATI: ¿Por qué? ¿Quieres entrenarlos para que sepan sumar 427 + 389? Esta no es la clase de preguntas que hacen los niños de ocho años normalmente. Aun muchos adultos no comprenden realmente el valor posicional en el sistema decimal. ¿Y tú esperas de los niños de ocho años que tengan un concepto claro de eso? ¿O no te importa si lo comprenden o no? Es simplemente demasiado temprano para esta clase de entrenamiento técnico. Uno puede hacerlo; pero al fin de cuentas hace más daño que provecho a los niños. Sería mucho mejor esperar hasta que despierte su propia curiosidad natural acerca de los números.

SIMPLICIO: ¿Qué debemos entonces hacer con los niños pequeños en las clases de matemática?

SALVIATI: ¡Déjenlos jugar! Enséñenles ajedrez y go, hex y chaquete, nim, o cualquier otro. Inventen sus juegos propios. Resuelvan rompecabezas y adivinanzas. Confróntenlos con situaciones donde tienen que razonar de manera deductiva. No se preocupen por las técnicas y notaciones. Ayúdenles a convertirse en pensadores matemáticos activos y creativos.

SIMPLICIO: Esto me parece un riesgo terrible. Si después nuestros alumnos ni siquiera saben sumar y restar, ¿entonces qué?

SALVIATI: Pienso que es un riesgo mucho más grande, eliminar toda expresión creativa de las escuelas, y solamente dejar que los alumnos memoricen datos, fórmulas y listas de palabras. (…)

SIMPLICIO: Pero cada persona educada debería por lo menos tener ciertos conocimientos matemáticos básicos.

SALVIATI: Sí, ¡y el más importante de estos conocimientos es saber que la matemática es una forma de arte, que la gente practica para su propia diversión! Sí, es bueno que la gente sepa algo acerca de los números y las formas. Pero esto no viene con la memorización mecánica. Las cosas se aprenden haciéndolas; y tú retienes en tu mente lo que es importante para ti. Millones de adultos tienen fórmulas matemáticas en sus cabezas, pero no tienen ninguna idea de lo que significan. Nunca tuvieron una oportunidad de descubrir o inventar tales cosas por sí mismos. (…) Ni siquiera tuvieron la oportunidad de sentir curiosidad por una pregunta, porque recibieron la respuesta antes de hacer la pregunta.

SIMPLICIO: ¡Pero no tenemos tanto tiempo para que cada alumno pudiera inventar toda la matemática por sí mismo! La humanidad demoró siglos para descubrir el teorema de Pitágoras. ¿Cómo podría un niño escolar promedio lograr esto?

SALVIATI: No estoy exigiendo esto. Entiéndeme bien. Yo me quejo de que el arte y el invento, la historia y la filosofía, los contextos y las perspectivas no tienen ningún lugar en el plan de enseñanza de la matemática. No digo que las notaciones, las técnicas y los conocimientos no importen. Por supuesto que son importantes. Necesitamos ambos. (…) Pero la gente aprende mejor cuando están ellos mismos involucrados en el proceso que produce los resultados.(…)

El currículo de matemática

(…) Lo más llamativo en el currículo de matemática es su rigidez. En todo lugar se hacen y se dicen exactamente las mismas cosas, de exactamente la misma manera y en exactamente el mismo orden. Esto tiene que ver con el «mito de la escalera»: la idea de que la matemática se pueda ordenar en forma de una única secuencia de temas, cada uno un poco más «avanzado» o «superior» que el anterior. Así la matemática escolar se convierte en una carrera – algunos alumnos están «más adelantados», y los padres de otros temen que su hijo podría «quedarse atrás». ¿Pero adónde exactamente lleva esta carrera? ¿En qué consiste su meta? Es una carrera triste hacia ningún lugar. Al final te quedas privado de una educación matemática, y ni siquiera lo sabes.
La verdadera matemática no se entrega en conservas. Los problemas te llevan adonde tú les sigues. El arte no es ninguna carrera. (…)

En lugar de viajes de investigación, tenemos reglas y reglamentos. Nunca escuchamos a un alumno decir: «Tuve curiosidad de saber qué sucede si se eleva un número a una potencia negativa; y descubrí que hace sentido cuando uno lo entiende como el valor recíproco.» – En lugar de esto, los profesores y los libros escolares presentan la «regla para exponentes negativos» como un hecho consumado, y no dicen nada acerca de la estética de esta decisión, o como uno puede llegar a esta idea.

(…)

Los alumnos no reciben problemas en un contexto natural, donde ellos mismos podrían decidir qué quieren decir con sus palabras, y qué significados desean transmitir. En lugar de esto, son sometidos a una secuencia interminable de «definiciones» a priori; definiciones que no son fundamentadas de ninguna manera razonable. El currículo está obsesionado con términos técnicos y nomenclatura, aparentemente con el único propósito de proveer preguntas para los exámenes. Ningún matemático del mundo se preocuparía por hacer una distinción sin sentido como esta: 2 1/2 es un «número mixto», mientras 5/2 es una «fracción impropia». ¡Los dos números son sencillamente iguales! Es exactamente el mismo número con exactamente las mismas propiedades. ¿Quién, excepto un profesor de cuarto grado, usa palabras como estas?
Claro que es más fácil tomar un examen acerca de definiciones sin sentido, que inspirar a los alumnos a crear algo hermoso y encontrar ellos mismos el significado de su creación. Aunque estamos de acuerdo con que un vocabulario básico matemático común es importante; pero esto no lo es. ¡Qué triste es, que los alumnos de quinto grado son obligados a decir «cuadrilátero» en vez de «figura con cuatro lados», pero que nunca reciben una oportunidad de usar palabras como «conjetura» o «contraejemplo»!

Nota del traductor: He aquí un ejemplo aun más exótico: ¿Sabe usted qué es un «número codificado»? ¿No? Si usted no es por casualidad un(a) autor(a) de libros escolares, usted está disculpado, pues nadie más usa esta palabra. Estos autores entienden con «número codificado» un número escrito con sus siglas para «unidades», «decenas», «centenas», etc, como este: «3418 = 3UM 4C 1D 8U».
¿Y qué es entonces un «número decodificado»? Según el sentido común, uno pensaría que sería el número escrito normalmente, o sea, «3418». Pero no, según los autores escolares, un «número decodificado» es un «número codificado» donde en vez de las siglas se escriben los valores efectivos de las cifras: «3418 = 3000 + 400 + 10 + 8».
¿Para qué tienen que aprender los niños tales términos absurdos que nunca nadie usa, como si fuera un concepto matemático sumamente importante? (Por cierto, los matemáticos verdaderos no usan estos términos.) Sospecho que tales palabras fueron inventadas con el propósito específico de justificar el aumento irrazonable de las horas académicas para los niños. (Vea «Más cárcel para los niños».)
Pongamos las cosas en su perspectiva: Estas palabras arbitrariamente inventadas se meten a la fuerza en la cabeza de niños de diez años que todavía no saben los nombres de los animales y plantas más comunes de su región; ni saben los nombres de los útiles de cocina ni de otros objetos de uso común en el hogar. Y probablemente no llegarán a saber todo eso hasta que sean adultos, porque el sistema actual los mantiene tan ocupados con clases y tareas que no tienen tiempo para ayudar a sus padres en casa, ni para salir al campo y conocer la naturaleza. Y su cerebro está demasiado ocupado con retener palabras y definiciones inútiles. Saber lo que es un «número codificado», les es más importante que saber lo que es un colador o un alicate, y saber para qué se usan.

(…) Nuestras clases de matemática son atestadas con nomenclatura sin sentido. En la práctica, el plan de enseñanza ni siquiera es una secuencia de temas o ideas; es una secuencia de notaciones. Da la impresión de que la matemática es una lista secreta de símbolos místicos, y de reglas para su manipulación. A los niños pequeños les dan ‘+’ y »÷’. Cuando son más grandes, se les puede encomendar ‘√’, y después ‘x‘ y ‘y‘ y toda la alquimia de los paréntesis. Finalmente son adoctrinados en el uso de ‘sin’, ‘log’, ‘f(x)’; y si son considerados dignos, ‘d’ y ‘∫’. Todo sin haber tenido una sola experiencia matemática significativa.

(…) Los profesores de idiomas saben que la ortografía y la pronunciación se aprenden mejor en el contexto de la lectura y escritura. Los profesores de historia saben que los nombres y las fechas no son interesantes si uno no conoce el trasfondo de los eventos. ¿Por qué la enseñanza de la matemática se queda atascada en el siglo XIX? Compare su experiencia al aprender álgebra con este recuerdo de Bertrand Russell:

«Tuve que aprender de memoria: ‘El cuadrado de la suma de dos números es igual a la suma de sus cuadrados más dos veces su producto.’ No tuve ni la idea más remota de lo que significaba esto, y cuando no pude recordar las palabras, mi profesor me tiró el libro a la cabeza. Esto no estimuló mi intelecto de ninguna manera.»

¿Acaso las cosas son diferentes hoy en día?

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Paul Lockhart: Matemática en la escuela

Extractos traducidos de «A Mathematician’s Lament», por Paul Lockhart.

La manera más segura de destruir el entusiasmo y el interés por un tema, consiste en hacer de ello una asignatura escolar obligatoria. Si además lo incluimos como parte principal de los exámenes de rendimiento estandarizados, la burocracia escolar lo matará por completo. Las autoridades escolares no comprenden lo que es la matemática. Tampoco lo comprenden los expertos en pedagogía, los autores y editores de libros escolares – y tristemente, la mayoría de los profesores de matemática tampoco lo comprenden. El problema es tan enorme que no sé donde empezar a tratarlo.

Empezaremos con el desastre de las reformas escolares. (…) Todas estas disputas acerca del currículo, cuáles «temas» se deberían enseñar en qué orden, si se debe usar esta o aquella forma de notación, o qué modelos de calculadoras se deben usar – esto es como arreglar de otra manera las sillas en la cubierta del «Titánic». La matemática es la música de la mente. Hacer matemática significa participar en una aventura de descubrimientos y conjeturas, intuición e inspiración; entrar en confusión – no porque no hace sentido, pero porque usted le dio un sentido, y aun así no entiende lo que hace su criatura; tener una idea genial; ser frustrado como artista; ser abrumado por una belleza casi dolorosa; ser vivo. Si usted quita todo esto de la matemática, entonces puede hacer tantas conferencias como quiere, no arreglará nada. Doctores, operen tanto como quieren: vuestro paciente ya está muerto.

Lo más triste en estas «reformas» son los intentos de «hacer que la matemática sea interesante» y «significativa para la vida de los niños». No hay necesidad de hacer que la matemática sea interesante – ¡ya es más interesante de lo que podemos soportar! Y su gloria consiste en que no tiene ningún significado para nuestra vida. ¡Por eso es divertida!

Estos intentos de hacer que la matemática sea relevante para la vida diaria, siempre salen forzados y artificiales: «Miren, niños, si ustedes saben álgebra, entonces pueden descubrir cuántos años tiene María, si sabemos que tiene dos años más que lo doble de su edad hace siete años.» (Como si alguien alguna vez tuviera acceso a una información tan ridícula, en vez de saber la edad de María.) – El álgebra no trata de la vida diaria; trata de números y de simetrías – y esta es una ocupación valiosa por sí misma.

«Supongamos que conozco la suma y la diferencia de dos números. ¿Cómo puedo descubrir estos números?»

Esta es una pregunta sencilla y elegante, y no hay necesidad de esfuerzos adicionales para hacer que parezca interesante. Los antiguos babilonios se deleitaban en reflexionar sobre problemas como este, y nuestros alumnos también. (¡Y espero que también a usted le guste pensar acerca de ello!) No necesitamos hacer malabares para que la matemática sea «significativa». Ella ya es tan significativa como cualquier otro arte: como una experiencia humana que tiene sentido.

Nota del traductor: Lockhart tiene mucha razón cuando dice que los problemas en los libros de matemática tienen solamente una apariencia de ser «significativos». ¿Para qué debo resolver problemas acerca de una granja o una tienda, mientras en realidad estoy sentado delante de una pizarra en un aula escolar estéril? – Pero la cosa se ve diferente si el niño puede realmente vivir en una granja por algún tiempo, o ayudar a vender en una tienda. Será inevitable que su entorno real le planteará unos problemas matemáticos concretos: ¿De qué tamaño tiene que ser un balde, para que sea suficiente para ordeñar dos vacas? – ¿Cuánto de vuelto tengo que dar? – etc.
Yo veo en Lockhart el problema de que él sigue pensando solamente en el entorno estéril de la escuela. Como dice Raymond Moore, este entorno puede proveer solamente una imagen «bidimensional», «plana», de la vida verdadera, tridimensional. En cambio, la educación en el hogar provee una gran variedad de oportunidades para realizar actividades de la vida real (como por ejemplo ayudar en una granja o en una tienda). Si se hace un uso adecuado de estas actividades, siempre proveerán oportunidades para entrenar el pensamiento matemático. El entendimiento matemático no debe limitarse a abstracciones. Igualmente importante es la capacidad de «traducir» conceptos matemáticos a las situaciones de la vida práctica, y viceversa.

Sigue un ejemplo auténtico que demuestra como los problemas prácticos y la abstracción matemática se complementan y se enriquecen mutuamente:
Una vecina nuestra había comprado un terreno, pero sospechaba que la habían engañado en cuanto a su área. Por tanto hizo medir los lados y las diagonales (era un cuadrilátero irregular), y después vino a mi hijo mayor con las medidas y le pidió que calculase el área. El se dio cuenta inmediatamente de que una diagonal divide el terreno en dos triángulos, y que los lados de estos triángulos eran conocidos. Pero él no sabía como se podía calcular el área a partir de estos datos. «¡Si tan solamente supiéramos la altura del triángulo!» – «Pero quizás la podemos calcular. Vamos a dibujarla, y vamos a anotar todos los datos que sabemos.»

– Mediante el teorema de Pitágoras y tres ecuaciones, llegamos entonces a una fórmula para calcular la altura, y por tanto el área. Nuestro resultado era así:

y por tanto:

Después buscamos en un libro de fórmulas matemáticas, si podíamos encontrar algo parecido. Quisimos comprobar si habíamos calculado correctamente, y además, simplemente estábamos curiosos por saber qué habían encontrado los matemáticos. Encontramos la fórmula de Herón, que es así:

– donde p significa la mitad del perímetro del triángulo. A primera vista, esta fórmula es mucho más bella y elegante que la nuestra. En particular, es simétrica respecto a los tres lados a, b y c (lo que era de esperar). Pero no se puede ver a primera vista si esta fórmula es realmente equivalente a la nuestra. Por tanto, surgió la pregunta si se puede comprobar que las dos fórmulas son realmente iguales. Ahora, esta es una pregunta abstracta que ya no tiene nada que ver con el problema práctico del terreno. Encontramos que en nuestra fórmula se puede factorizar la expresión debajo de la raíz. (Esto era algo que mi hijo estaba practicando justo en ese tiempo.) Y después de algunas transformaciones llegamos efectivamente a la forma como estaba escrita en el libro.
Así mi hijo llegó a deducir la fórmula de una manera casi independiente, y con relación a un problema práctico. De esta manera, el aprendizaje fue mucho más intensivo que en una clase escolar de matemática. Sin haberlo planeado, habíamos efectivamente «tratado» todos los siguientes temas:
– Geometría elemental del triángulo y del cuadrilátero
– Teorema de Pitágoras
– Resolución de un sistema de ecuaciones con varias incógnitas
– Factorización de una expresión algebraica, inclusive el uso de la fórmula binómica para (a+b)2
– Fórmula de Herón para el área de un triángulo.

Y nuestra vecina estuvo contenta porque ahora conocía el área de su terreno.

Un comentario más: Este problema contiene todavía un asunto adicional para investigar. Los antiguos griegos no conocían el álgebra. Ellos hicieron casi todas sus conclusiones y demostraciones matemáticas de manera gráfica y geométrica. Por tanto, Herón no puede haber encontrado su fórmula de la manera como nosotros lo hicimos. ¿Cómo se puede deducir esta fórmula de una manera puramente geométrica?

¿Piensa usted que los niños realmente desean algo que es relevante para su vida diaria? ¿Piensa usted que ellos se entusiasmarán por algo tan práctico como el interés compuesto? – Mas bien, ellos se deleitan en la imaginación, y esto es exactamente lo que la matemática puede proveer – un descanso de la vida diaria, un antídoto contra el mundo del trabajo.

Nota del traductor: Aquí se nota que Lockhart es un seguidor de G.H.Hardy – un matemático que dijo que la verdadera matemática no tiene ninguna aplicación práctica y no tiene nada que ver con el mundo físico real; y que tan pronto como se le da una aplicación práctica, la matemática deja de ser matemática. Con esto, él evita la pregunta por qué la matemática concuerda tan exactamente con las leyes del universo físico. Esto no se esperaría de una construcción mental completamente «imaginaria». (Solamente de vez en cuando Lockhart menciona al margen, que a veces los conceptos matemáticos encuentran posteriormente «por casualidad» (¿?) una aplicación práctica.)
Algunos intentan explicar este fenómeno, diciendo que la matemática surgió de la observación del mundo físico, y en respuesta a necesidades prácticas. Pero esta explicación tampoco convence: Muchos conceptos matemáticos fueron inventados mucho antes de descubrir su aplicación al mundo físico y su correspondencia con las leyes de la física. Por ejemplo, los antiguos griegos ya investigaban las propiedades de las secciones cónicas; pero pasaron muchos siglos hasta que Kepler descubrió que unas secciones cónicas describen exactamente las órbitas de los planetas y de otros cuerpos celestiales.
Para mí, la explicación más satisfactoria es la cristiana: El mismo Dios que creó el universo, creó también las estructuras de la mente humana. Por tanto, hay necesariamente una correspondencia entre ambos.
Pero entonces es de esperar que la matemática tenga aplicaciones prácticas. Y también, que el pensamiento matemático puede surgir a menudo de los problemas prácticos de la vida diaria. Esto no hace que la matemática sea menos matemática. Solamente que esto no es su significado más profundo (en esto concuerdo con Lockhart).

Un problema parecido surge cuando los profesores o los libros escolares quieren ser «infantiles», o intentan ser «amables» para liberar a los niños de su «fobia a la matemática» (una enfermedad que efectivamente es causada por las escuelas). Para ayudar a los alumnos a aprender las fórmulas para el perímetro y el área de un círculo, inventan por ejemplo un cuento acerca de un «señor P» que corre alrededor de la «señorita A» y le dice «cuan bonitos son sus dos pies» (P=2pr) y que «los pies de ella son cuadrados» (A=pr2), u otras tonterías parecidas.
¿Y qué de la historia verdadera? La historia acerca de la lucha de la humanidad con la medición de curvas; de Eudoxo y Arquimedes y su método de agotamiento; de la transcendencia del número Pi? Qué es más interesante: ¿calcular el perímetro de círculos con una fórmula memorizada sin recibir más explicaciones acerca de ella, o escuchar la historia de uno de los problemas más hermosos y más fascinantes en toda la historia universal? ¡Nosotros hoy en día matamos el interés de los hombres por los círculos! ¿Cuál otra asignatura escolar se enseña de esta manera, no mencionando nunca su historia, su filosofía, su desarrollo temático, sus criterios estéticos, y su situación actual? ¿Cuál otra asignatura escolar menosprecia sus fuentes primarias – magníficas obras de arte creados por algunos de los pensadores más creativos de la historia -, y en su lugar usa imitaciones de tercera categoría como se encuentran en los libros escolares?

El problema más grande en la matemática escolar es que ya no existen problemas en ella. – Sí, yo sé que los profesores llaman «problemas» a estos «ejercicios» insípidos: «Este es un ejemplo de un problema. Aquí dice como se resuelve. Sí, esto viene en el examen. Resuelvan los ejercicios 1 a 35 en casa.» – Qué manera más triste de aprender matemática: como un chimpancé domesticado.

Pero un problema verdadero, una honesta pregunta auténtica, natural y humana – eso es otra cosa. ¿Cuánto mide la diagonal de un cubo? ¿Nunca terminan los números primos? ¿Es «infinito» un número? ¿De cuántas maneras puedo cubrir un área simétricamente con baldosas? – La historia de la matemática es la historia de la ocupación humana con preguntas como estas. No con la repetición ciega de fórmulas y algoritmos.

Un buen problema se caracteriza por que no sabes como se puede solucionar. Por eso es una buena oportunidad; puede servir como un trampolín para alcanzar otras preguntas interesantes: Un triángulo ocupa la mitad de una caja. ¿Y qué de una pirámide en una caja tridimensional? ¿Podemos resolver este problema de una manera parecida?

Yo entiendo el concepto de hacer que los alumnos practiquen ciertas técnicas. Yo también hago eso. Pero no como un fin en sí mismo. Como en cada arte, las técnicas deben aprenderse dentro de su contexto: los grandes problemas, su historia, el proceso creativo. Dé a sus alumnos un buen problema, y déjelos luchar con él y frustrarse. Mire qué ideas ellos producen. Espere hasta que ellos clamen desesperadamente por una idea, y entonces deles una técnica. Pero no más de lo necesario.

Deje entonces a un lado sus currículos y lecciones preparadas, sus proyectores multimedia, sus abominaciones de libros escolares a todo color, y todo este circo itinerante de la educación contemporánea. ¡Simplemente haga matemática con sus alumnos! – Los profesores de arte tampoco pierden su tiempo con libros escolares y con un entrenamiento rutinario de técnicas. Ellos permiten a los niños dibujar, van de alumno a alumno, hacen sugerencias y dan consejos:

«He pensado acerca de nuestro problema con el triángulo, y he notado algo. Si el triángulo está muy inclinado, ¡entonces no ocupa la mitad de la caja! Mire, aquí:»

«¡Una observación excelente! Nuestra explicación con la línea adicional presupone que la punta del triángulo está por encima de su base. Ahora necesitamos una nueva idea.»
«¿Debo intentar dibujarlo de otra manera?»
» Ciertamente. Intenta todo lo que puedes. ¡Hazme saber lo que descubres!»

Nota del traductor: Aquí, Lockhart toca un punto importante: La imaginación y curiosidad del niño pueden ser una motivación fuerte para la matemática. Puedo confirmarlo desde mi propia experiencia. Tuve la suerte de ser un «niño precoz» en cuanto a la matemática (y además crecí en un tiempo cuando los niños todavía no tuvieron que entrar a la escuela a una edad tan temprana como hoy). Así tuve la oportunidad de hacer matemática antes de ir a la escuela, libre de todos los currículos y métodos escolares. Todavía recuerdo como a la edad de unos seis años investigué a manera de juego las propiedades de los «números triángulos» (sin todavía encontrar una fórmula algebraica), y como llené un cuadernito con tablas de multiplicación desde 1×1 hasta 20×30 o más, por pura curiosidad de ver qué números saldrían.
Por el otro lado deseo añadir que la mente del niño todavía no piensa en abstracciones. La imaginación infantil se enciende en objetos y sucesos concretos de su entorno, y normalmente se expresa en dibujos y acciones concretas. (Un ejemplo clásico es el juego libre con objetos cualesquieras, donde un bloque de madera puede servir de casa, y una rama de un árbol puede representar un caballito.) Así p.ej. el concepto de los «números triángulos» surgió de figuras formadas con piedritas y otros objetos, y de su representación gráfica en dibujos. Los niños normalmente no pueden comprender algo que no se puede mostrar y «ver» o «hacer» de manera concreta.
Por tanto me parece que Lockhart esta idealizando demasiado cuando compara los descubrimientos matemáticos de los niños directamente con las investigaciones de un matemático adulto. Las estructuras mentales involucradas no son las mismas. – En otro lugar (vea la continuación) Lockhart sugiere que las clases de matemática en los grados inferiores deberían consistir mayormente en juegos (sobre todo juegos que requieren razonar). Opino que esta sugerencia está más cerca de la realidad pedagógica: así el niño puede hacer sus descubrimientos mediante acciones concretas.

(Continuará)

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Paul Lockhart: La matemática como arte, y la miseria de la enseñanza de matemática

Introducción por el traductor:

¿Sintió usted alguna vez la soledad después de haber reflexionado sobre algún asunto de manera independiente, cuando usted al fin descubrió que llegó a conclusiones completamente diferentes de toda la humanidad alrededor? Así me sentí yo después de escribir la primera versión de mi artículo «Aprender matemática – ¿cuestión de burocracia o de principios?». ¿Será verdad que yo era el único que piensa así, y que el entero sistema escolar está equivocado?
Después descubrí la pequeña obra por Paul Lockhart, «A Mathematician’s Lament» (Lamento de un matemático), y encontré allí el mismo pensamiento fundamental: Lo que en las escuelas se presenta como «matemática», no es en realidad ninguna matemática en absoluto. Así que no soy el único loco en el mundo entero. ¡Qué alivio! Cuánto más, puesto que Paul Lockhart no es «cualquiera»; él es un matemático profesional. O sea, él sabe de qué está hablando.

En algunos detalles no estoy de acuerdo con él. Es obvio que en su trasfondo el tiene una cosmovisión diferente de la mía. Pero las ideas principales de su «Lamento» me parecen buenas, importantes, enriquecedoras, y desafiantes (en un buen sentido). Además, él presenta no solamente críticas, sino también varias ideas constructivas que se pueden aplicar en una escuela alternativa, o aun mejor en la educación en casa. Por tanto, deseo presentar en este blog unos extractos extensos de esta obra, y añadiré mis propios comentarios en algunas partes. El original es un poco largo para un artículo en el blog (25 páginas A4); por tanto me limitaré a las partes más importantes, y dejaré de lado un capítulo entero (acerca del formalismo en las demostraciones geométricas).


Extractos traducidos de «A Mathematician’s Lament», por Paul Lockhart:

La pesadilla de un músico

Un músico se despierta de una pesadilla horrible. En su sueño, él se encuentra en una sociedad que hizo de la música una asignatura escolar obligatoria. «Ayudamos a nuestros alumnos a ser más competitivos en un mundo cada vez más lleno de sonidos.» Pedagogos, sistemas escolares, y el estado, se responsabilizan de este proyecto importante. Se encargan investigaciones, se forman comisiones, y se hacen decisiones – todo sin buscar el consejo o la colaboración de un solo músico o compositor activo.

Puesto que los músicos expresan sus ideas en forma de notas musicales, tenemos que considerar estos extraños puntos y líneas como «el lenguaje de la música». Para que los niños alcancen alguna capacidad musical, necesitan dominar primero este lenguaje. ¿Cómo podríamos esperar que un niño cante una canción o toque un instrumento, sin haber sido educado primero a fondo en la escritura de las notas musicales, y en la teoría de la música? Tocar y escuchar música, son temas muy avanzados que se pueden enseñar solamente en los institutos de educación superior.

La escuela primaria y secundaria, en cambio, son responsables de introducir este lenguaje musical. «En las clases de música usamos nuestro papel de pentagramas y copiamos notas musicales de la pizarra, o las transponemos en una tonalidad diferente. Tenemos que escribir y usar correctamente las claves y los accidentes, y nuestro profesor controla estrictamente que nuestras notas negras estén completamente llenas. Una vez tuvimos un problema difícil acerca de unas escalas cromáticas, y yo lo había resuelto correctamente, pero mi profesor me dio una mala nota porque las plicas señalaban hacia el lado equivocado.»

(…)
En los grados superiores, la presión aumenta más. Para poder entrar a alguna institución de educación superior, los alumnos tienen que dominar la teoría de los ritmos y de las armonías, y el contrapunto. «Es muy exigente; pero cuando por fin llegarán a escuchar música verdadera en su educación superior, valorarán este trabajo de los grados anteriores.» – Por supuesto, serán solamente unos pocos alumnos que se especializarán en música. Por tanto, serán muy pocos que efectivamente llegarán a escuchar los sonidos representados por las notas musicales. «Para decir la verdad, la mayoría de los alumnos no son muy buenos en música. Se aburren en las clases, y sus trabajos escritos apenas se pueden descifrar. Parece que no les interesa la importancia de la música en el mundo actual.» (…)

– El músico se despierta, lleno de sudor. Se siente agradecido al darse cuenta de que todo fue solamente un sueño loco. «¡Claro!», exclama. «Ninguna sociedad reduciría mi arte hermoso y significativo a algo tan aburrido y trivial. Ninguna cultura puede tratar a sus niños de una manera tan cruel, privándolos de tal manera de una expresión natural y recreativa de la creatividad humana. ¡Cuán absurdo!»

(…)

Sin embargo, nuestra enseñanza actual de matemática es una pesadilla exactamente igual a ésta. Si yo tuviera que inventar una estrategia para destruir la curiosidad de un niño, y su amor por inventar patrones, yo no podría encontrar una solución más eficaz que la escuela actual. Yo ni siquiera podría tener ideas tan absurdas y destructoras del alma, como las que dominan la enseñanza actual de la matemática.
Todo el mundo sabe que algo está mal. Los políticos dicen: «Necesitamos exigencias más altas.» – Las escuelas dicen: «Necesitamos más dinero y materiales.» – Los expertos en pedagogía dicen una cosa, y los profesores dicen otra cosa. Pero todos ellos están equivocados. Los únicos que entienden lo que está mal, son aquellos que siempre son castigados y que nadie pregunta por su opinión: los alumnos. Los alumnos dicen: «Las clases de matemática son tontas y aburridas.» Y tienen razón.


Matemática y cultura

En primer lugar tenemos que entender que la matemática es un arte. La única diferencia entre la matemática y otras artes como la música o la pintura, es que nuestra cultura no la reconoce como arte. Todo el mundo comprende que los poetas, los pintores y los músicos crean obras de arte. Nuestra sociedad incluso es bastante generosa con el término «arte»: Arquitectos, chefs, y aun directores de televisión reciben el título de «artistas». Entonces, ¿por qué no los matemáticos?

Una parte del problema es, que nadie sabe realmente lo que hacen los matemáticos. Según la opinión general, parece que de alguna manera están asociados a las ciencias – ¿quizás ayudan a los científicos con sus fórmulas, o alimentan computadoras con números grandes para algún propósito? – La mayoría de la gente piensa que los matemáticos pertenecen a los «pensadores racionales», como opuestos a los «soñadores poéticos».

Pero en realidad no existe nada más soñador, más poético, más radical, más subversivo y más psicodélico que la matemática. La matemática es igualmente abrumadora como la cosmología o la física. (Los matemáticos inventaron «agujeros negros» mucho antes de que los astrónomos realmente los encontraron.) La matemática permite una mayor libertad de expresión que la poesía o la música (puesto que éstas dependen mucho de las propiedades del universo físico). La matemática es el arte más puro; y a la vez el arte más malentendido.

Deseo entonces explicar lo que es la matemática, y lo que hacen los matemáticos. Una descripción excelente es la de G.H.Hardy:

«Un matemática, igual como un pintor o un poeta, es un creador de patrones. Sus patrones son más duraderos que la poesía o la música, porque consisten en ideas

O sea, los matemáticos crean patrones que consisten en ideas. ¿Qué clase de ideas? ¿Ideas acerca de los rinocerontes? – No, éstos los dejamos para los biólogos. – ¿Ideas acerca del lenguaje y la cultura? – No, normalmente no. Estas cosas son demasiado complicadas para el gusto de la mayoría de los matemáticos. Si existe algún principio estético general en la matemática, entonces es este: Lo sencillo es lo bello. Los matemáticos prefieren reflexionar acerca de las cosas más sencillas posibles; y las cosas más sencillas posibles son imaginarias.

Nota del traductor: En el caso de que el lector perdió el gozo de la matemática hace mucho tiempo, debido a las clases escolares aburridas, quizás le será difícil comprender lo que dice Lockhart acerca de la matemática como arte, y como un proceso descubridor y creativo. Pero el problema no es con la matemática; el problema es con la escuela. Recomiendo al lector, seguir detenidamente el siguiente ejemplo y reflexionar sobre él, para comprender de qué se trata en el «proceso matemático».
– Yo daría aun un paso más y diría: La matemática, si uno la comprende bien, es una forma de adoración. Consiste en «pensar los pensamientos de Dios detrás de El» (como dijo Juan Kepler). Esto es lo que sintieron los grandes científicos del pasado como Newton, Kepler o Maxwell, frente a las leyes matemáticas que rigen el universo. Ellos vieron en la matemática un reflejo de los «decretos de Dios» que gobiernan y mantienen el mundo.

Por ejemplo, si me da ganas de pensar acerca de unas formas geométricas – esto sucede a menudo -, entonces yo podría imaginarme un triángulo en una caja rectangular:

Me pregunto, ¿qué parte de la caja ocupa este triángulo? – ¿Quizás dos tercios?
Ahora es importante entender que no estoy hablando acerca de este dibujo de un triángulo en una caja. Tampoco estoy hablando de un triángulo de metal que es parte de la estructura de un puente. No tengo ningún propósito práctico. Simplemente estoy jugando. Esto es matemática: Tener curiosidad, jugar, dialogar con mis propias imaginaciones.
La pregunta, ¿cuál parte de la caja ocupa el triángulo?, por ahora ni siquiera tiene sentido, en relación con verdaderos objetos físicos. Aun el triángulo material hecho de la manera más precisa, es todavía una colección desesperadamente complicada de átomos oscilantes, que constantemente cambian su forma. Excepto si queremos hablar solamente acerca de unas medidas aproximadas. Pero esto nos lleva a toda clase de detalles del mundo real. Eso lo dejamos para los científicos. La pregunta matemática trata de un triángulo imaginario en una caja imaginaria. Sus lados son perfectos, porque yo quiero que sean así. Este es un tema importante en la matemática: Las cosas son tales como usted las quiere. Usted puede escoger entre alternativas interminables; el mundo real no va a interferir con nada.

Pero una vez que usted ha hecho sus decisiones (por ejemplo, si su triángulo será simétrico o no), entonces sus creaciones harán lo que tienen que hacer por sí mismas, lo quiera usted o no. Esto es lo sorprendente de los patrones imaginarios: ¡ellos le dan respuestas! El triángulo ocupa una parte determinada de la caja, y yo no puedo decidir cuánto es esta parte. Es un número exactamente determinado, y yo tengo que decubrir cuánto es.

O sea, comenzamos a jugar y a imaginarnos lo que queremos, y formamos patrones y hacemos preguntas acerca de ellos. Pero ¿cómo encontramos las respuestas a las preguntas? Esto no es como en las ciencias. No puedo hacer ningún experimento con tubos de ensayo o con máquinas, para descubrir la verdad acerca de una figura que yo mismo he imaginado. Las preguntas acerca de nuestras imaginaciones pueden responderse solamente mediante nuestras imaginaciones, y esto es un trabajo duro.

En el ejemplo del triángulo, yo veo algo sencillo y bonito:

Si yo corto el rectángulo de esta manera en dos rectángulos, entonces puedo ver que cada parte a su vez es partida diagonalmente en dos mitades por uno de los lados del triángulo. O sea, dentro del triángulo existe la misma cantidad de espacio como afuera del triángulo. Esto significa que ¡el triángulo ocupa exactamente la mitad de la caja!

Así se ve y se siente un pedazo de matemática. El arte del matemático consiste en hacer preguntas sencillas y elegantes acerca de nuestras criaturas imaginarias, y en encontrar explicaciones satisfactorias y hermosas. Este ámbito de las puras ideas es fascinante, divertido, ¡y no cuesta nada!

¿De dónde vino esta idea mía? ¿Cómo se me ocurrió dibujar esta línea adicional? ¿Cómo sabe un pintor adonde debe apuntar con su pincel? – Inspiración, experiencia, intentos y errores, o simplemente la suerte. Esto es todo el arte; un arte que transforma cosas en otras cosas. La relación entre el rectángulo y el triángulo era un secreto, y entonces una pequeña línea lo reveló. Primero no pude verlo, y de repente lo vi. De alguna manera pude crear desde la nada una belleza profunda y sencilla, y yo mismo fui cambiado en el proceso. ¿No es esta la esencia de todo arte?

Por eso se me quebranta el corazón cuando veo como se trata la matemática en las escuelas. Esta aventura rica y fascinante de la imaginación se reduce a una colección de «datos» estériles para memorizar; y procedimientos que se deben aplicar. Los alumnos nunca reciben la oportunidad de hacer esta pregunta sencilla y natural acerca de las figuras; y tampoco se les permite pasar por este proceso creativo y enriquecedor de inventar y descubrir. En lugar de ello, son confrontados con lo siguiente:


Fórmula del área del triángulo: A = 1/2 b h

«El área de un triángulo es igual a la mitad del producto de su base con su altura.» – Los alumnos tienen que memorizar esta fórmula y después «aplicarla» en incontables ejercicios. Toda expectativa y todo gozo se esfuma, y también desaparece el esfuerzo y la frustración del proceso creativo. Aquí ni siquiera existe un problema. La pregunta fue respondida apenas que fue hecha – al alumno ya no le queda nada por hacer.

Deseo clarificar qué es lo que estoy criticando. No estoy en contra de las fórmulas, ni en contra del aprender hechos interesantes. Todo eso está bien en su contexto apropiado, y tiene su lugar, igual como el aprender palabras es necesario para aprender un idioma extranjero. Estos conocimientos ayudan a crear obras de arte más ricas y más detalladas. Pero lo esencial no es el hecho de que el triángulo ocupa la mitad de la caja. Lo esencial es la hermosa idea de dividirlo por medio de esta línea. Esto puede inspirar otras ideas hermosas, y puede llevar a descubrimientos creativos en otros problemas. Una mera exposición del hecho no puede proveer esta inspiración.

Si dejamos de un lado el proceso creativo, y dejamos solamente su resultado, entonces nadie se sentirá involucrado en ello. Es como si alguien me dice que Miguel Angel creó una escultura hermosa, pero no me permite ver la escultura. ¿Cómo me podría inspirar eso? (En realidad, es aun peor. Si alguien habla de Miguel Angel, por lo menos entiendo que existe el arte de la escultura, y que no se me permite admirarla.)

La matemática escolar se fija solamente en el «¿Qué?», y pasa por alto el «¿Por qué?». Así se reduce la matemática a una cáscara vacía. El arte no está en la «verdad»; el arte está en la explicación de la verdad, en la argumentación. (…) La matemática es el arte de explicar. La escuela quita a los alumnos la oportunidad de participar en este arte: de plantear sus propios problemas, de hacer sus propias hipótesis y descubrimientos, de equivocarse, de experimentar una frustración creativa, de tener una inspiración, y de armar sus propias explicaciones y demostraciones. Por eso, la escuela les quita la misma matemática.

Entonces, no me quejo de que las clases de matemática contengan hechos y fórmulas. Me quejo de que la misma matemática está ausente en nuestras clases de matemática.

(…)

Muchos profesores de matemática transmiten la idea (explícitamente o con su ejemplo) de que la matemática trata de memorizar fórmulas y definiciones y algoritmos. ¿Quién corregirá esta idea equivocada?
Este problema cultural es un monstruo que sigue procreándose: Los alumnos aprenden de sus profesores lo que (supuestamente) es la matemática, y éstos a su vez lo aprendieron de sus profesores, y así se repite en cada generación esta falta de comprensión y valoración de la matemática. Aun peor: Esta «seudo-matemática», este énfasis en la manipulación correcta (pero sin sentido) de símbolos, crea su propia cultura y sus propios valores (equivocados). Aquellos que la dominan, se vuelven presumidos. No quieren saber nada de que la matemática es creatividad y estética. A muchos alumnos, sus profesores les dijeron durante diez años que eran «buenos en matemática»; pero cuando llegaron a la universidad, se decepcionaron al descubrir que no tenían ningún talento matemático. Solamente habían sido «buenos» en seguir las órdenes de otras personas. Pero la matemática no trata de seguir las órdenes de otra gente. Se trata de descubrir direcciones nuevas.

(…)

Nota del traductor: Lockhart menciona aquí un problema importante; uno que he examinado desde una perspectiva un poco diferente en «Aprender matemática – ¿cuestión de burocracia o de principios?»: El sistema escolar entrena a los alumnos a funcionar mecánicamente como calculadoras; pero no se les enseña verdaderos principios matemáticos. Entonces el alumno piensa que la matemática consiste en seguir ciegamente las órdenes del profesor – órdenes que a menudo son incomprensibles o no tienen sentido. Se enseña solamente el «¿Qué?», pero no el «¿Por qué?». Nunca se dice al alumno que las leyes matemáticas son un «bien común», que están en el «dominio público», y que él mismo puede descubrirlas.
La continuación profundizará el tema de la matemática en las escuelas.

(Continuará)

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Enseñanza de matemática por principios, no por burocracia: Un ejemplo concreto

En un artículo anterior («Enseñanza de matemática: ¿Cuestión de burocracia o de principios?») he contrastado la enseñanza escolar usual de la matemática (o sea, la enseñanza burocrática) con una enseñanza basada en principios. Deseo añadir a este artículo un ejemplo para ilustrar un poco más estas dos formas de enseñanza.

Tomaré como un ejemplo un tema que causa dificultades a un buen número de alumnos: Las sumas y restas con números negativos, y las leyes de signos relacionadas con estas operaciones.

Ejemplo de una enseñanza burocrática

En los libros escolares, este tema es comúnmente presentado de una manera parecida a lo siguiente:

«Suma de dos números positivos:
Se suman los dos sumandos, y el resultado recibe el signo positivo.

Suma de un número positivo con un número negativo:
Se toman los valores absolutos de los dos sumandos y se resta el menor del mayor. Después hay que distinguir dos casos:
Si el valor absoluto del sumando positivo es mayor, el resultado recibe el signo positivo.
Si el valor absoluto del sumando negativo es mayor, el resultado recibe el signo negativo.

Suma de un número negativo con un número positivo:
Se toman los valores absolutos de los dos sumandos y se resta el menor del mayor. Después hay que distinguir dos casos:
Si el valor absoluto del sumando positivo es mayor, el resultado recibe el signo positivo.
Si el valor absoluto del sumando negativo es mayor, el resultado recibe el signo negativo.

Suma de dos números negativos:
Los valores absolutos de los dos sumandos se suman, y el resultado recibe el signo negativo.

Resta de dos números positivos:
Si el minuendo es mayor, se resta el sustraendo del minuendo, y el resultado recibe el signo positivo.
Si el sustraendo es mayor, se resta el minuendo del sustraendo, y el resultado recibe el signo negativo.

Restar un número positivo de un número negativo:
Se toman los valores absolutos del minuendo y del sustraendo, y se suman. El resultado recibe el signo negativo.

Restar un número negativo de un número positivo:
Se toman los valores absolutos del minuendo y del sustraendo, y se suman. El resultado recibe el signo positivo.

Resta de dos números negativos:
Se toman los valores absolutos del minuendo y del sustraendo.
Si el valor absoluto del minuendo es mayor, se resta el valor absoluto del sustraendo del valor absoluto del minuendo, y el resultado recibe el signo negativo.
Si el valor absoluto del sustraendo es mayor, se resta el valor absoluto del minuendo del valor absoluto del sustraendo, y el resultado recibe el signo positivo.»

Así procede la enseñanza burocrática. El alumno tiene que memorizar ocho casos distintos, cada uno con un procedimiento diferente. Algunos de estos casos incluso requieren distinguir entre dos sub-casos, de manera que en total tenemos doce prodecimientos distintos, y desconectados los unos de los otros. La enseñanza burocrática exige que el alumno memorice estos doce procedimientos, y después los aplique mecánicamente a los ejercicios.

Para evitar todo malentendido, tengo que decir enfáticamente que esta es la peor forma de presentar este tema. Si por casualidad usted tomó el ejemplo arriba como un ejemplo positivo, entonces tengo que diagnosticar que usted ha sido malformado por una enseñanza excesivamente burocrática. Tendrá que estudiar detenidamente el artículo original, «Enseñanza de matemática: ¿Cuestión de burocracia o de principios?»

¿Qué sucede si los alumnos son enseñados de esta manera?
Primeramente, reciben la impresión de que se trata de un tema sumamente difícil. ¡Doce procedimientos diferentes! Hay que aprenderlos todos, y además saber como distinguir entre los distintos casos que se presentan en los ejercicios. Así que desde el inicio, el alumno se siente desanimado y está predispuesto a equivocarse.
Muchos alumnos ni siquiera entienden el lenguaje en el cual se presenta el tema. ¿Qué es un «sumando negativo»? ¿Qué es un «valor absoluto»? (Algunos libros escolares emplean aun mucho más palabras que yo en mi pequeño ejemplo.) Para un alumno que todavía no ha llegado a la etapa del pensamiento abstracto, una tal descripción es como si fuera en chino o en japonés.
Supongamos que nuestro alumno logra, con mucho esfuerzo, memorizar estos procedimientos y aplicarlos correctamente. Aun después de esto, todavía no ha entendido realmente como funciona la suma y la resta, porque nunca se le enseña la conexión de estos distintos casos entre sí. Aun si sabe estos procedimientos de memoria, todavía le parecen incomprensibles y difíciles. Cuando se añade algún nuevo aspecto a las operaciones (p.ej. introduciendo paréntesis, o aplicando la ley conmutativa), el alumno quedará nuevamente perdido y no sabrá qué hacer. (Hasta que haya memorizado otros tantos procedimientos distintos y desconectados de los anteriores.)
Puesto que le falta el verdadero entendimiento, el alumno lo vuelve a olvidar todo, tan pronto como el examen sobre el tema pasó. Con toda su memorización no ha adquirido ningún «sentir» de lo que es la suma y la resta.

Ejemplo de una enseñanza basada en principios

Para profesores y alumnos que han aprendido a pensar matemáticamente, dos principios sencillos son suficientes para abarcar este tema completamente – aun incluyendo conmutaciones, paréntesis y todo eso. Estos principios pueden visualizarse fácilmente usando movimientos «hacia adelante» y «hacia atrás», por ejemplo en una recta numérica:

El signo positivo significa avanzar en la misma dirección.

El signo negativo significa invertir la dirección.

Solamente tenemos que acordar adicionalmente que «la misma dirección» por defecto (o sea, cuando no está definida por ningún signo) es la dirección «hacia adelante», o sea, aumentando. Pero esto es algo que se entiende por sí mismo, porque cada alumno aprendió a sumar y a restar primero con los números positivos. Eso es lo más natural del mundo; por eso se llaman «números naturales».

(Nota al margen: La enseñanza burocrática está obsesionada con definir las cosas más sencillas con palabras complicadas. Algo que se entiende por sí mismo, no necesita definición. Las definiciones innecesarias solamente oscurecen el sentido de las cosas, en vez de explicarlas.)

Estos dos principios sencillos son mucho más fáciles de comprender y recordar, que los doce procedimientos del primer ejemplo. Además, contienen algo de la «esencia» de lo que es la suma y la resta. Estos dos principios dan a entender algo de la unidad inherente de las leyes de la matemática.

Por ejemplo, las reglas del primer ejemplo distinguen entre un signo ‘-‘ que significa «restar», y otro signo ‘-‘ que significa «número negativo». Así se complica el asunto. Pero en realidad, esta distinción es innecesaria. Matemáticamente, el signo ‘-‘ significa en ambos casos exactamente lo mismo: Invertir la dirección acostumbrada.
Así por ejemplo, 4 – 3 es exactamente lo mismo como 4 + (-3). El signo ‘-‘ delante del número 3 significa «Muévete hacia atrás, en vez de ir adelante»; y el signo ‘+’ no cambia nada en esto. Por eso, en la forma «4 – 3», se sobreentiende el signo ‘+’ delante de los números. (Podríamos también escribir 4 – (+3), o incluso (+4) – (+3), y seguiría siendo lo mismo.)

Además, las reglas del primer ejemplo colocan al resultado a veces un signo positivo, y a veces un signo negativo – aparentemente sin ningún motivo particular. ¿Es esto por el capricho de algún profesor de matemática que quiere dificultarnos la vida? – No, aquí hay también una razón lógica. Después de hacer todos los movimientos prescritos por los signos ‘+’ y ‘-‘, nos quedaremos finalmente en uno de los lados de la recta numérica – a la derecha o a la izquierda del cero. Al visualizar y probar algunos ejemplos, el alumno pronto se dará cuenta de qué depende si el resultado cae al lado positivo o al lado negativo. Por ejemplo, al calcular (-8) – 4, comenzamos por el lado negativo, y nos desplazamos aun más hacia la izquierda. Entonces es lógico que al final seguimos a la izquierda del cero, o sea, en el lado negativo.

Con los dos principios mencionados queda también claro por qué restar un número negativo equivale a sumar un número positivo: El primer signo ‘-‘ invierte la dirección de «avanzar» a «retroceder». Si aplicamos un segundo signo ‘-‘ al mismo número, la dirección se invierte otra vez a «avanzar». Por tanto, dos signos ‘-‘ combinados equivalen a un signo ‘+’.

Ahora, la idea no es que estos principios se aprendan «memorizando» o «copiando». Mucho mejor se aprenden experimentando con ellos. Por ejemplo, que el alumno dibuje diferentes «viajes» sobre la recta numérica, indicando sus movimientos con flechas hacia adelante y hacia atrás. O que manipule flechas cortadas de cartón sobre una recta numérica grande dibujada en la mesa. O que camine sobre una recta numérica aun más grande dibujada en el piso, contando sus pasos. Y esto no solamente con unos ejercicios prefabricados del libro escolar: es mucho mejor incentivar al alumno que él se plantee y resuelva sus propios problemas. Así se acostumbrará a investigar por sí mismo. Los conocimientos que uno investiga y descubre por sí mismo, son mucho más duraderos que los que se reciben pasivamente por dictado o copiado.
En el transcurso de estas experiencias se puede transmitir la idea de que, según nuestros principios, «tres pasos hacia atrás» puede escribirse como «-3», «+(-3)» ó «-(+3)», y «cinco pasos hacia adelante» se puede escribir como «+5», «+(+5)», ó «-(-5)». (Enseñados de esta manera, los alumnos inteligentes pronto se darán cuenta de que existen todavía más formas de escribir sumas y restas. Por ejemplo, «tres pasos hacia atrás» se podría también escribir así: «-(+(-(-3)))». )

Otra forma de «experimentar» con estos principios, consiste en aplicarlos a los conceptos financieros de ingresos, gastos y deudas. Por ejemplo, se puede jugar a la tienda y encargar a unos alumnos que compren ciertos artículos, pero proveerlos con menos dinero de lo que cuesta. Así tendrán que contraer una deuda; o sea, poseen ahora una «cantidad negativa» de dinero. Después se les puede dar un monto adicional para que cancelen su deuda; y que observen: ¿Qué sucede si la cantidad de dinero adicional es mayor que la deuda que tenían? ¿y qué si es menor? – ¿Qué sucede si ya estoy endeudado, pero sigo gastando dinero? – ¿Qué sucede si me condonan (o disminuyen) una deuda? (Obviamente es lo mismo como si me regalasen la cantidad correspondiente de dinero.)

Alumnos que en su desarrollo todavía no han llegado al pensamiento abstracto (o sea, hasta los 12 a 14 años en la mayoría de los casos), necesitan primero hacer una buena cantidad de tales experiencias (¡más de lo que los profesores tradicionales asumen!). Después de hacer estas experiencias, se puede junto con ellos formular los principios descubiertos con palabras, y aplicarlos a operaciones más abstractas.

La enseñanza por principios tiene varias ventajas:

– Los principios son más fáciles de entender y de aprender, porque son sencillos.

– Los principios son más básicos y universales que las reglas burocráticas. O sea, tienen aplicación general. Una vez entendidos, los principios de los signos pueden aplicarse a situaciones de la vida real, y a operaciones más complicadas. Por ejemplo, si se introducen paréntesis, es fácil de entender que un signo ‘-‘ delante de un paréntesis invierte la dirección de todo lo que está dentro del paréntesis.
Las reglas burocráticas, en cambio, tienen aplicación solamente para el caso especial para el cual fueron creadas.

– La enseñanza basada en principios incentiva y entrena el pensamiento lógico y el razonamiento. La enseñanza burocrática, en cambio, entrena solamente el «funcionamiento» mecánico y rutinario.

– La enseñanza basada en principios provee una motivación para que el alumno siga investigando por su cuenta. Una vez que el alumno ha entendido el principio, él mismo puede aplicarlo a los distintos casos, y puede descubrir por sí mismo como «funciona» cada caso.

– Y no por último: La enseñanza basada en principios prepara al alumno a entrar en una relación correcta con Dios; porque Dios ha ordenado el universo, y la vida humana, a base de principios. Por tanto, existe una armonía y unión entre los distintos aspectos de la creación de Dios. Los principios ayudan a ver esta armonía y unión dentro de la matemática, y en la creación entera de Dios. El que aprende a hacer matemática, basado en principios, aprende también a ser fiel, honesto y consecuente en su vida personal.
La enseñanza burocrática, en cambio, enseña solamente una obediencia ciega a órdenes arbitrarias.

Unas notas adicionales:

– Cuando se presenta el significado del signo negativo como «invertir la dirección», puede suceder un pequeño «choque mental» en los alumnos que anteriormente aprendieron que el signo negativo significa «caminar hacia atrás» (resp. «restar»). Se puede aliviar un poco este choque, explicando que anteriormente ellos conocían solamente los números positivos, o sea la dirección «hacia adelante», y cuando se invierte esta dirección, necesariamente resulta un movimiento «hacia atrás». O sea, se explica el caso del «restar» como un caso especial del principio más general, de que el signo ‘-‘ «invierte la dirección».
Es cierto que entender esto, requiere ya un desarrollo mental bastante avanzado. Por eso no es recomendable introducir las operaciones con números negativos en los grados inferiores. (Aun en sexto grado puede todavía ser demasiado temprano para un buen número de los alumnos.) Es mejor esperar hasta que puedan realmente entenderlo, en vez de forzarlos a realizar operaciones que mentalmente no entienden. Según observo en mis alumnos, aquellos que fueron obligados a aprender estos temas a una edad demasiado temprana, siguen teniendo dificultades de entenderlo aun en los grados avanzados de la escuela secundaria. Vea «Esas neuronas mal conectadas».

– Algunos alumnos tienen dificultades de entender que el signo se aplica siempre, y únicamente, a la expresión que le sigue. Por ejemplo, en la operación 17 – 9, el signo ‘-‘ se aplica al número 9, pero no al número 17. A menudo este problema se origina porque profesores y libros escolares presentan ejemplos mal escritos, donde el signo está colocado al lado equivocado. (Vea en la segunda parte de «Enseñanza de matemática: ¿Cuestión de burocracia o de principios?».) Es importante ser consecuente en esto desde el primer grado, y asociar el signo siempre con el número que le sigue. Incluso para niños que recién empiezan a sumar y a restar, se pueden introducir expresiones como «-6», como expresiones matemáticas válidas. Solamente que para niños de esta edad no se interpretará como un número negativo. En su lugar, se interpretará como una instrucción «Camina seis pasos hacia atrás.» El resultado de esta instrucción dependerá del número de donde uno empieza. Por ejemplo, si me encuentro en el número 10 y llevo a cabo esta instrucción, el resultado será 4. Esto corresponde a la operación 10 – 6 = 4. Pero el significado de la instrucción «-6» es siempre el mismo, independientemente del lugar de partida. Si la representamos con una flecha, será siempre una flecha hacia la izquierda y de longitud 6, sin importar en qué lugar de la recta numérica la colocamos. Así el niño puede entender que el signo afecta únicamente el número que le sigue, pero no el número que le precede.

– En una operación como (-5) – 9, algunos alumnos concluyen erróneamente que el resultado debe ser positivo porque «menos menos es igual a más«. Pero este problema también se resuelve fácilmente, una vez que el alumno entiende que el signo se aplica únicamente a la expresión que le sigue. Así podrá entender que en este ejemplo, el número 5 tiene un único signo ‘-‘ por delante, y el número 9 también. Ningún número en este ejemplo tiene el signo «menos menos», o sea, una combinación de dos signos ‘-‘. Por tanto, ninguno de estos número invierte su dirección dos veces. El caso es diferente en este ejemplo: (-12) – (-7); aquí sí el número 7 tiene el signo «menos menos» (pero el 12 no).

 


Para familias educadoras y escuelas alternativas, los libros de la serie «Matemática activa» proveen un método de proveer a los niños un aprendizaje según las ideas esbozadas en este artículo.

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Aprender matemática: ¿Cuestión de burocracia o de principios? – Parte 3

Matemática basada en principios

Ahora ya debe estar claro el contraste entre una enseñanza burocrática y una enseñanza basada en principios. Sin embargo, deseo añadir unos puntos más acerca de los principios.

Hemos visto que los principios de la matemática son universales y eternos. Además, no son arbitrarios ni caprichosos. Las leyes de la matemática están inseparablemente ligadas a la realidad tal como es (creada por Dios, añado como cristiano). Por eso, las leyes matemáticas no son meras construcciones mentales. Las leyes de la matemática nos enseñan algo acerca de la estructura del universo tal como es. Esta es una razón más para hacer el esfuerzo de entenderlas.

Un principio universal tiene muchas aplicaciones. No como un procedimiento burocrático, que tiene aplicación solamente en los casos especiales para los que fue creado. Por ejemplo, un alumno que ha entendido el principio de la conmutabilidad, lo puede aplicar a toda clase de operaciones. Pero un alumno que es enseñado burocráticamente, tiene que aprender la ley conmutativa por lo menos diez veces: Primero para la suma horizontal, después para la suma vertical. (Pueden pasar varios años hasta que se dé cuenta de que la suma horizontal y vertical son exactamente lo mismo.) Después, cuando aprende fracciones, tiene que aprender también «la propiedad conmutativa de la suma de fracciones». Después tiene que aprenderla nuevamente para los números irracionales, y finalmente (si no se desanima antes de llegar a este nivel) para los números complejos. Y además, todo lo mencionado también para la multiplicación.

En cambio, el alumno que entiende principios, puede aplicar por sí mismo la ley conmutativa a toda clase de sumas y multiplicaciones. También puede entender la conmutación de sumas y restas mixtas (p.ej. 13 + 9 – 3 = 13 – 3 + 9), y de multiplicaciones y divisiones mixtas (p.ej. 60 x 13 : 5 = 60 : 5 x 13), y lo aprenderá sin dificultad, porque podrá ver estos casos como variaciones de un mismo principio que ya entiende. Si es inteligente, podrá incluso descubrir por sí mismo por qué la potencia no es conmutativa.

Los principios matemáticos permiten también comprender las relaciones y conexiones entre temas distintos, no como en la enseñanza burocrática donde cada tema queda como un trozo suelto y aislado. Como hemos mencionado arriba, una enseñanza basada en principios hace entender p.ej. que la multiplicación y división larga se basa en la ley distributiva; que la simplificación de fracciones se basa en el MCD; y que el denominador común de varias fracciones es el MCM.

Los principios matemáticos enseñan cualidades del carácter, como p.ej. el orden. Pero no un orden que se impone por un mandamiento autoritario del profesor; mas bien un orden que permite relacionar y dominar las materias más distintas, entendiéndolas desde sus principios correspondientes.
Los principios matemáticos enseñan obediencia. Pero no una obediencia ciega hacia órdenes arbitrarias; mas bien una obediencia hacia principios superiores, comprendiendo también por qué es bueno obedecer. Y esta clase de obediencia, al final de cuentas trae libertad.

La libertad de la matemática consiste en que es universal. La matemática no depende de autoridades científicas, ni tiene que someterse a los caprichos de algún gobernante. La matemática es de dominio público; cada uno está en la libertad de practicarla y de descubrir cosas nuevas. (Así fue posible por ejemplo, que el inglés Newton y el alemán Leibniz, trabajando cada uno por su cuenta y separados por miles de kilómetros, descubrieran ambos, independientemente el uno del otro, el cálculo infinitesimal.)
De esta manera, la matemática en sí es una protesta fuerte contra dos corrientes dominantes de nuestro tiempo: el relativismo (que enseña que no existen verdades absolutas), y el totalitarismo (que enseña que el estado debe controlar todos los aspectos de la vida).

Los principios matemáticos permiten al alumno aplicarlos por su cuenta y aun desarrollar sus propios procedimientos. Así podrán incluso desarrollar su creatividad en la matemática. Acerca de esto también un ejemplo histórico:

Cierto profesor exigía a sus alumnos de primaria, que sumaran todos los números de 1 a 100. Posiblemente quería pasar un rato tranquilo sin ser interrumpido por los alumnos. Pero su tranquilidad no duró mucho tiempo, porque al cabo de pocos minutos se le acercó un alumno con el resultado correcto escrito en su hoja. «¿Cómo lo has podido calcular tan rápidamente?», preguntó el profesor. – «Fácil», respondió el alumno. «Cuando sumo 1+100, da 101. Sumo 2+99 y también da 101. 3+98 también es 101. Continúo así hasta 50+51, son 50 pares de números, entonces la suma es 50 x 101 = 5050.» – Más tarde, este alumno se convirtió en uno de los matemáticos más famosos de todos los tiempos. Su nombre fue Carl Friedrich Gauss.

¿Qué hubiera dicho un profesor burocrático de nuestros tiempos al pequeño Gauss? – «No, no puedes hacerlo así, tienes que sumar los números uno por uno.» – «No puedes usar este procedimiento, esto viene más tarde en el currículo.» – ¿Cuántos jóvenes Gausses de nuestros tiempos se habrán echado a perder por culpa del sistema escolar actual?

Los principios matemáticos pueden incluso enseñarnos a admirar la belleza en las matemáticas. Como un pequeño ejemplo, vea estas dos tablas:

Pinta los múltiplos de 9 con verde,
los múltiplos de 10 con amarillo,
los múltiplos de 11 con rojo.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Pinta los números que terminan en 0 con amarillo,
los que terminan en 5 con anaranjado,
los que terminan en 3 con azul,
los que terminan en 7 con verde.

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
0 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
0 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
0 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Cuando un alumno completa correctamente una tarea como esta, es premiado con un dibujo armonioso y se da cuenta de que la matemática tiene también un valor estético. El patrón de colores que surge en estas tareas, no es uno que el profesor tuviera que inventar de manera arbitraria: Este patrón ya está dentro de la estructura de la tabla de multiplicación (por ejemplo); los colores solamente ayudan a hacerlo visible.
Existen muchos principios matemáticos que se pueden visualizar de una manera parecida. Muchas figuras geométricas se prestan para formar dibujos que son armoniosas, estéticas, y a la vez expresiones de verdades matemáticas. Mis hijos todavía no han estudiado las propiedades de las secciones cónicas, pero observaron fascinados un programa de computadora que construye elipses e hipérbolas paso por paso. Observaciones como estas invitan a seguir investigando y a descubrir propiedades matemáticas por uno mismo. Me imagino el asombro y deleite que debe haber experimentado Gauss al descubrir que las raíces de la ecuación xn = a, en el plano complejo, están ubicadas en los vértices de un polígono regular de n lados. (Y desde allí dedujo cómo se puede construir un polígono regular de 17 lados, un heptadecágono, solamente con compás y regla. Gauss hizo este descubrimiento a los 19 años de edad, siendo todavía estudiante.) Aunque este tema ya no está dentro del currículo escolar; pero ilustra que la armonía de las verdades matemáticas se manifiesta en todos los niveles, desde el más elemental hasta el más avanzado.

Encontramos tales patrones matemáticos armoniosos aun en la naturaleza. ¿Quién no admira la estructura hexagonal de un panal de abejas? No solamente es estética; también expresa la verdad matemática de que el hexágono es uno de los pocos polígonos regulares que pueden llenar un plano perfectamente; y de entre estos polígonos, es aquel que tiene la relación más favorable entre perímetro y área. – Se ha descubierto que las semillas de girasol dentro de la flor forman un patrón de dos conjuntos de espirales, en sentido contrario; y que el número de espirales que giran hacia la derecha resp. a la izquierda, forma siempre un par de números de la secuencia de Fibonacci (p.ej. 21:34, 34:55, ó 55:89.) – Ya mencionamos brevemente el descubrimiento de Kepler acerca de las órbitas de los planetas. Las leyes de Kepler revelan una armonía asombrosa en las leyes matemáticas que rigen aun el movimiento de los cuerpos celestiales.

Existen unos pocos temas matemáticos que desafían esta impresión general de armonía. Uno de ellos es el de los números primos, que al parecer no siguen ningún orden. Es muy fácil encontrar un algoritmo que produce con seguridad un número compuesto. (P.ej. se toman dos números naturales cualesquieras, excepto el 1, y se multiplican.) Pero hasta hoy no se ha descubierto ningún algoritmo que produce con seguridad un número primo; aunque algunos matemáticos han dedicado grandes esfuerzos a encontrar uno. Los números primos están en el núcleo de algunos de los problemas matemáticos más fascinantes que quedan hasta la fecha sin resolver. ¿Por qué se esfuerzan tanto los matemáticos por encontrar un orden en los números primos? Es que alguien que ha entendido los principios de la matemática, no puede aceptar que algún objeto matemático sea «arbitrario» o «desordenado». Tiene que existir alguna clase de «orden», aunque quizás no es la clase de orden que los matemáticos están buscando hasta ahora. De hecho, se han encontrado algunas propiedades sorprendentemente regulares en cuanto a la distribución estadística promedia de los números primos; solamente hace falta encontrar alguna que permita hallar números primos particulares. Probablemente este es uno de estos problemas donde la ciencia espera todavía la llegada de algún genio que se atreve a romper las limitaciones de las «respuestas de selección múltiple» que las generaciones anteriores han propuesto.

Al mismo tiempo, los problemas relacionados con los números primos nos señalan lo que ya dijimos antes: que la matemática es más grande que nuestras propias mentes y nuestro mundo visible. La matemática viene de Dios quien no se deja controlar por el hombre. Por tanto, siempre quedarán problemas matemáticos sin resolver. Nunca podremos dominar la matemática completa con nuestra mente limitada – y mucho menos con nuestros procedimientos burocráticos. Siempre habrá un «más allá» a descubrir.

¿Cómo escapar de la enseñanza burocrática?

He dibujado dos cuadros en contraste: la enseñanza burocrática y la enseñanza por principios. Queda la pregunta: ¿Cómo llegamos desde «aquí» hasta «allá»? La enseñanza burocrática es la «realidad» que domina gran parte del mundo en la actualidad. Pero ésta no corresponde a la «Realidad» (la voluntad del Rey) de la matemática y del universo. ¿Cómo llegamos desde esta «realidad» (con minúscula) a aquella «Realidad» (con mayúscula)?

Primeramente, tenemos que entender que la «realidad» de aquí es incompatible con la verdadera «Realidad». Con palabras más claras: Dentro del marco del sistema escolar dominante de la actualidad, es imposible enseñar y comprender la matemática desde sus principios. La única solución verdadera consistiría en salir de este sistema escolar, y comenzar con un nuevo sistema escolar fundamentado en principios. Para los valientes, esto es posible, aunque sea solamente en el marco de una pequeña escuela privada independiente, o del propio hogar.

Pero aun aquellos que se lanzan a un nuevo experimento educativo, han sido educados ellos mismos (en su mayoría) dentro del sistema actual, y necesitan sacudirse de muchas costumbres y de muchos prejuicios que han adquirido allí. Y por el otro lado, hay profesores, padres y alumnos que están dentro del sistema actual, pero están viendo las debilidades de este sistema y tienen la esperanza de hacer por lo menos algunas cosas de manera diferente, hasta donde tengan la libertad de hacerlo. Para ambos grupos, los de afuera y los de adentro del sistema, se plantea la misma pregunta: ¿Qué puedo hacer, en la labor diaria, para volver a los principios?

Daré solamente algunas pequeñas ideas, y cada uno que esté interesado en ellas, podrá ampliarlas.

El lector atento ya se habrá dado cuenta de que me gusta la pregunta «¿Por qué?». Esta pregunta es una muy buena herramienta para golpear las paredes de una cárcel burocrática, y para abrir mentes cerradas (hasta donde lo permiten). Como profesor, exija explicaciones de sus estudiantes, explicaciones basadas en principios. El alumno dice p.ej: «Este número es divisible entre 5.» – Pregunte: «¿Por qué? ¿De dónde lo deduces?» (Y hay que hacer esta pregunta, independientemente de si la respuesta del alumno es correcta o equivocada. Si la respuesta es correcta, ayudamos al alumno a ver más claramente en qué principios se basa la respuesta. Si es equivocada, podemos guiar al alumno a reconocer él mismo su error, aplicando principios de manera correcta.) – Algunos alumnos se molestan cuando les hago muchas preguntas de este tipo, pero yo les digo: «¿Cómo puedes saber que has entendido algo? Solamente cuando puedes explicarlo a otra persona. Por eso te hago preguntas, hasta que tú mismo puedas explicarme lo que haces.» – Puesto que no trabajo dentro del sistema escolar, tengo la libertad de seguir con este proceso hasta su conclusión, o sea, hasta que el alumno sea capaz de explicar no solamente lo que hace, sino también el por qué. Y en este momento, los procedimientos incomprensibles y misteriosos que ha aprendido, empiezan a adquirir sentido.

También como estudiante, no se contente con las exposiciones del profesor. Pídale explicaciones. «Este número va allí.» – «¿Por qué?» – O: «Aquí hay que multiplicar.» – «¿Por qué no sumar? ¿o dividir?». Un buen profesor se alegrará de esta clase de preguntas y las tomará como una ocasión para enseñar principios. Si el profesor se molesta con esta clase de preguntas, entonces no espere de él que sea capaz de enseñarle matemática. Los burócratas no nos permiten preguntar ¿Por qué?: «Porque así se hace, y punto.» Si no haces caso, el burócrata no atiende tu trámite. El burócrata solo desea demostrar que él es la autoridad y que él puede hostigarte de cualquier manera que desea. Pero un verdadero educador, un pedagogo, te ayudará a llegar hasta el fondo de los asuntos, y a aplicar tú mismo los principios que descubres.

Como padre de familia interesado, haga esta pregunta ¿Por qué? a ambas partes: a sus hijos, y a los profesores de sus hijos. Ayúdeles a ambos a razonar: Al niño, para que pueda ver más allá del cerco de los procedimientos prescritos. Y al profesor, para que se atreva a abrir la cárcel en la que el sistema escolar lo encerró a él y a sus alumnos.

La estrategia del ¿Por qué? requiere tiempo. Una enseñanza basada en principios tomará mucho más tiempo para sentar bien los fundamentos más elementales de la matemática. No se contentará con que el alumno pueda reproducir algo; profundizará hasta que el alumno llegue a la comprensión de lo que hace. Algunos alumnos que entraron a la escuela demasiado temprano, demorarán varios años hasta que puedan explicar por sí mismos cómo desplazarse por la recta numérica, y por qué en una situación hay que sumar y en otra restar. Pero si invertimos tiempo y paciencia hasta que comprendan esto, entonces estos alumnos ya no cometerán errores de signos más adelante en ecuaciones y en operaciones complicadas. – Por el otro lado, aquellos alumnos que son apresurados a temprana edad a sumar mecánicamente números de tres cifras, a multiplicar y a calcular con fracciones, nunca tendrán el tiempo necesario para llegar a la comprensión de los principios fundamentales, y por tanto tendrán dificultades mayores más adelante.

– Otra estrategia buena es demostrar a los alumnos las conexiones entre temas aparentemente distintos, pero que se basan en los mismos principios. Ya mencioné algunos ejemplos al hablar de la ley distributiva, y de las fracciones. Daré otro ejemplo:

Unos alumnos dificultaban en resolver problemas con áreas, tales como este:»Calcula el área sombreada (en el dibujo a la derecha), si el lado del cuadrado mide 6 cm.»Ahora, estos alumnos estaban familiarizados con representaciones gráficas de fracciones, como en los dibujos abajo:

Cuando se les enseñaba estos dibujos en el contexto de las fracciones, no tenían ninguna dificultad para reconocer que el área sombreada en el dibujo izquierdo era 3/8 del círculo, y en el dibujo a la derecha 5/8 del cuadrado. Solamente que nunca se les había ocurrido la idea de interpretar tales dibujos en el contexto de «áreas». Una vez que reconocieron la similitud entre estos dibujos y el problema planteado arriba, fácilmente entendieron que allí el área sombreada es 2/8, o sea 1/4, del cuadrado. Los dos temas se basan en un principio común: la división de un área en partes iguales.

Entonces, no se limite a seguir los procedimientos presentados en el libro escolar. Identifique los principios en los que se basa el procedimiento (preguntando¿Por qué?). Y tan pronto como haya avistado un principio matemático, aplíquelo a las situaciones más variadas. Al inicio, a los alumnos les parecerá como un salto inexplicable de un tema al otro. Pero si les podemos hacer entender el principio común de estos temas variados, su comprensión se ensancha, y pueden dar el paso desde una matemática basada en «técnicas», hacia una matemática basada en principios.

Un ejemplo más: Los problemas de longitudes de segmentos en una misma recta (que actualmente se encuentran en libros escolares de cuarto y quinto grado), se basan en los mismos principios como la suma y resta en la recta numérica (que se trata desde el primer grado). Estos principios a su vez son los mismos como los que rigen los problemas con el equilibrio de fuerzas en física, y la geometría vectorial (que se tratan en los grados más avanzados de la secundaria); solamente que allí se amplían a un espacio de dos y de tres dimensiones, en vez del espacio unidimensional de la recta numérica. Así vemos que temas muy «elementales» son conectados por principios comunes con temas muy «avanzados». Entonces, si el alumno de primer grado comprende los principios de la representación gráfica de sumas y restas, ya tiene una primera base para poder comprender más adelante la geometría vectorial y el equilibrio de fuerzas – a diferencia de un alumno que aprendió solamente un procedimiento mecánico y nunca verá alguna conexión entre lo uno y lo otro.

– Otra buena estrategia es relacionar los principios matemáticos con la vida diaria. Ahora, esto es algo que la escuela nunca podrá hacer de verdad. A lo máximo puede brindar una representación diluida y artificial del mundo real. Aun «jugar a la tienda» en el salón de clases, no tiene el mismo efecto de aprendizaje como atender en una tienda verdadera. (Aunque todavía es mejor que resolver «cálculos con dinero» abstractos en un libro escolar.) Muchos principios matemáticos se entienden mejor «haciendo algo juntos». Por ejemplo, hacer compras en el mercado y comparar precios. O preparar una torta de cumpleaños y calcular las medidas indicadas en la receta (incluso calcular las proporciones correctas si la receta es para 6 personas y tenemos 15 invitados.) O medir todas las habitaciones de la casa y calcular su área.
Este es el campo de acción para los padres de familia, en primer lugar. Dentro del sistema escolar no hay mucho lugar para la vida real. Allí, a lo máximo se pueden usar imitaciones o ejemplos de la vida real, para demostrar como se aplican ciertos principios. A veces, esto ya es una ayuda. Por ejemplo, cuando un alumno quiere incluir el número 5 en el conjunto de «números mayores que 5», en vez de decirle simplemente «Esto es equivocado», puedo preguntarle (suponiendo que el alumno se llama Pedro): «A ver, ¿tú eres mayor que Pedro?» – Si el alumno es por lo menos medianamente inteligente, responderá: «No, si yo mismo soy Pedro.» – Así tiene un ejemplo menos abstracto, para entender que si dos cosas son «iguales», no puede a la vez uno de ellos ser «mayor». Y esto le puede ayudar (quizás) a ver que los conceptos de «mayor» y «menor» no son simplemente inventos del libro de matemática, sino que tienen un significado real en la vida real.

– Animar los descubrimientos propios y la creatividad.
Ningún conocimiento se recuerda tanto como el que uno mismo ha descubierto. Para que esto suceda, es necesario dar al alumno la oportunidad y el tiempo necesario para observar y crear, en vez de solamente reproducir. Por ejemplo, una tarea como la mencionada anteriormente, de colorear la tabla de multiplicación con distintos colores, puede dar lugar a una serie de observaciones y descubrimientos sucesivos: ¿Por qué la tabla del 5 es distinta de las demás, considerando su último dígito? ¿Dónde se ubican los números pares en la tabla de multiplicación, y dónde los impares? ¿Qué sucede si me desplazo horizontalmente o verticalmente de un número a otro? ¿y qué, si me desplazo diagonalmente? ¿Por qué en el centro de la tabla de multiplicación no se encuentra el 50 (la mitad de 100), sino el 25? Etc. – Una vez que un niño desarrolla cierta «curiosidad matemática», ya no es necesario hacerle tantas preguntas para guiarlo. Hará sus propios descubrimientos (aunque no siempre aquellos que el padre o profesor espera – pero esto no debe preocuparnos. Recordemos al pequeño Gauss.)

A menudo se desarrolla la mayor creatividad al hacer lo que es «prohibido» por el libro escolar (pero no por los principios de la matemática). Hay un viejo problemita que dice: «Une estos 9 puntos por medio de un mímino de rectas sucesivas que se puedan dibujar en un solo trazo.»

La solución «clásica» ya es un poco difícil de encontrar para la mayoría de los niños (y adultos), porque no se les ocurre la idea de que las rectas podrían sobrepasar los límites del cuadrado encerrado por los nueve puntos. Esta solución usa 4 rectas:

Pero existen soluciones más creativas, que logran unir los 9 puntos con una sola recta. ¿Alguien dijo que el papel debe quedarse en una sola pieza? Puedo cortarlo en tres tiras, con tres puntos en cada una, formar una tira larga con ellas, y entonces puedo trazar una sola recta a través de todos los nueve puntos. – ¿Alguien dijo algo acerca del grosor de la recta? Puedo agarrar una brocha y trazar una recta gruesa (del grosor del cuadrado entero), que cubre todos los nueve puntos. – ¿Alguien dijo que el problema tiene que limitarse a un plano de dos dimensiones? Puedo doblar el papel de tal manera que los nueve puntos se quedan uno sobre otro, y punzarlo en el medio con un lápiz o lapicero puntiagudo. Esta es una recta vertical (en la tercera dimensión) que atraviesa todos los nueve puntos.
(Confieso que esta «travesura» no es mi propio invento; pero ya no me acuerdo de la fuente donde la encontré.)

Una educación «burocrática» no permite esta clase de soluciones. Pero esto es exactamente lo que trunca la creatividad de los alumnos. Mientras no estoy violando ningún principio de la matemática, puedo crear mis propios procedimientos. Existen muchas formas diferentes de aplicar un principio en la práctica. Una enseñanza basada en principios da al alumno la libertad de usar diferentes formas – mientras los principios se mantienen intactos. Esta variación y creatividad ayuda al alumno a diferenciar entre un principio (que no puede cambiar), y un procedimiento arbitrario (que se puede hacer también de otra forma).

– Ser una PERSONA con principios.
Esto es lo más importante. Las mejores estrategias no sirven, si con nuestra propia vida contradecimos lo que enseñamos. Y con esto vuelvo a lo que dije al inicio: Muchas personas no entienden los principios de la matemática, porque no tienen principios en su propia vida. Así como la matemática se basa en principios eternos que no se pueden quebrantar, Dios nos ha dado principios eternos para nuestra vida, y nos hacemos un daño serio a nosotros mismos y a nuestros prójimos, si no vivimos según estos principios.

Por tanto, enseñar y aprender matemática es una cuestión de principios y de fe.

 


Para familias educadoras y escuelas alternativas, los libros de la serie «Matemática activa» proveen un método de proveer a los niños un aprendizaje según las ideas esbozadas en este artículo.

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Aprender matemática: ¿Cuestión de burocracia o de principios? – Parte 2

La enseñanza burocrática sigue las exigencias del estado, pero no los principios de una buena pedagogía.

En la actualidad, los profesores ya no son educadores. Son funcionarios del gobierno que tienen que implementar las políticas del gobierno en el aula. Y aun si han entendido lo que es una buena pedagogía – no pueden aplicarla, porque las exigencias del currículo estatal tienen que cumplirse primero.

Aquí en el Perú por lo menos, este currículo no toma en cuenta ni lo que se sabe acerca del desarrollo del niño, ni los principios didácticos más elementales – especialmente para las matemáticas. En particular deseo resaltar los siguientes puntos:

– Según el desarrollo cerebral del niño promedio, la enseñanza escolar formal no es provechosa antes de los 8 a 10 años de edad. Estos niños están recién entrando a la etapa de las operaciones concretas, y por tanto las operaciones matemáticas todavía no les parecen lógicas, ni pueden formarse un concepto de ellas en su mente. (Vea más detalles sobre esto en «Mejor tarde que temprano».) Por tanto, antes de esta edad, la enseñanza de la matemática debería centrarse en los principios fundamentales y en las operaciones básicas con números pequeños, de tal manera que el alumno puede reproducirlos manipulando objetos concretos. Lo que va más allá de esto, a una edad temprana, les hace más daño que bien a los niños.

Cada niño tiene su propio ritmo de desarrollo y debe ser enseñado según el estado de desarrollo que alcanzó, no según su edad cronológica. Si intentamos hacer caminar a la fuerza a un bebé de tres meses, le hacemos daño. De la misma manera le hacemos daño a un niño cuando lo forzamos a resolver tareas que según su estado de desarrollo no puede entender todavía.
(Siempre se podrá encontrar a uno u otro niño precoz que llega a entender operaciones abstractas a una edad temprana. Pero estas son excepciones y no deben tomarse como norma para un sistema escolar generalizado. A estos niños precoces se les debería permitir saltar grados escolares o recibir cursos especiales según sus intereses, pero sin obligar a los otros niños a seguir el paso acelerado de ellos.)

Cada nuevo conocimiento debe basarse sobre un conocimiento previo con el cual el niño ya está familiarizado. Esto es de particular importancia para la matemática, porque cada principio más avanzado se basa sobre una multitud de otros principios más sencillos. Por tanto, es necesario que el niño entienda bien los principios sencillos, antes de enseñarle principios más difíciles. (Por ejemplo, un niño no puede entender las potencias si no ha entendido primero la suma y después la multiplicación.)

Cantidad no es calidad. Cuánto más conocimientos un niño tiene que absorber en un tiempo dado, tanto más es la cantidad de conocimientos anteriores que olvida. Por tanto, aumentar las horas académicas y acelerar el paso no hace que los niños aprendan más. Al contrario, cuando se sobrepasa cierto límite, los niños olvidan más de lo que aprenden. Una buena pedagogía le da al niño el tiempo que necesita para asimilar un nuevo conocimiento, y lo profundiza hasta que el niño esté seguro en ello. Y una buena pedagogía mantiene un equilibrio sano entre estudio intelectual, actividad física, trabajo manual, juego y descanso.

En completa contradicción contra todos estos principios, dice el Proyecto Educativo Nacional (PEN) del Perú:

«Prevenir la deserción y la repetición en la educación primaria
La repetición de grado agrava la extraedad -superación de la edad normada para el grado- desalentando a los niños e incrementando el riesgo de fracaso o abandono. Pero la promoción de grado con bajo rendimiento acumula el déficit y habitúa a la mediocridad. Las escuelas no tienen mecanismos que prevengan estas situaciones o las corrijan con rapidez, dejando a cada niño librado a su suerte. Esta política busca disminuir y suprimir los índices de abandono y repetición escolar, en especial en zonas urbanas y rurales con mayor riesgo de fracaso, mediante la creación de sistemas de apoyo y acompañamiento educativo.

PRINCIPALES MEDIDAS
a) Sistemas de detección oportuna de niños y niñas en riesgo de repetición y abandono escolar, bajo la responsabilidad de los docentes en cada grado y sección.
b) Institucionalización de estrategias pedagógicas diferenciadas de recuperación, atención educativa y tutoría a estudiantes en riesgo de repetir y abandonar el año, que incluya el empleo de horas adicionales.
(…)»

(Proyecto Educativo Nacional al 2021, Ministerio de Educación del Perú, 2007)

Esto significa, hablando claramente: Todos los niños son forzados a comenzar la escuela primaria a los seis (o cinco) años y terminarla a los once años, sin considerar su desarrollo individual. Un niño que no alcanza las metas del año, es obligado a pasar horas extra en la escuela hasta ya no poder más, porque obligatoriamente tiene que pasar de grado a la «edad normada», dictada por la burocracia. (La situación actual es que gracias a esta política, muchos niños ya no tienen fines de semana libres ni vacaciones.) El Ministerio de Educación no considera el hecho de que algunos niños se desarrollan más tarde que otros, ni el hecho de que el exceso de horas académicas les hace un daño serio. En vez de dejar que los niños sean niños, son obligados a convertirse en «calculadoras humanas», a una edad en la que deberían disfrutar del calor de un hogar y jugar sin preocupaciones. La mayoría de los niños no pueden cumplir con estas exigencias que se les imponen de manera burocrática, sin ninguna consideración pedagógica. Esta es una situatión muy trágica: Estos mismos niños podrían rendir muy bien, y con mucho menos horas académicas y mucho menos sufrimiento, si tan solamente les fuera permitido ser niños por dos o tres años más. Existen cientas de evidencias para ello, de investigaciones realizadas alrededor del mundo entero. El Dr.Raymond Moore recopiló muchas de ellas en su libro «Mejor tarde que temprano». Pero los planificadores de la educación simplemente no toman en cuenta lo que es lo mejor para los niños.

Aun los mejores profesores tienen que fracasar con una tal política, porque no se les permite enseñar a los niños de acuerdo a su propio desarrollo. Niños de cinco, seis, siete años están siendo sofocados bajo una tal avalancha de conocimientos y tareas que nunca pueden asimilarla. No les queda otra salida que «aparentar» y «adivinar». Para cuando llegan a cuarto o quinto grado, la mayoría ya está completamente desconectada de los conocimientos matemáticos que se exigen de ellos. Su «matemática» es un castillo en el aire sin fundamento, porque se les exige entender fracciones, potencias y raíces, cuando todavía no han asimilado ni los principios fundamentales de la suma, resta y multiplicación. Por ejemplo, son muy, muy escasos los alumnos de primaria que son capaces de solucionar correctamente un problema como este:

«Un cocodrilo mide 3,50 m (con cola). Su cuerpo mide un metro más que su cola. ¿Cuánto mide la cola del cocodrilo?»

Sin embargo, este problema no requiere nada más que las operaciones básicas, y un poco de razonamiento lógico. Pero los mismos niños que todavía no pueden entender esto, tienen que aprender a calcular con decimales y a sacar raíces cuadradas. Puesto que no tienen fundamento, todo esto no hace sentido para ellos, y tan pronto como lo aprenden, lo vuelven a olvidar. Entran a la escuela secundaria sin siquiera haber tenido tiempo para aprender bien la tabla de multiplicación; y en la secundaria tienen que volver a aprender lo que ya se les enseñó en la primaria. (Esto no es ningún chiste. Un día tuve en la mañana una alumna de refuerzo que estaba en tercer grado de primaria, y en la tarde otra que estaba en tercero de secundaria. Sus tareas que habían recibido en la escuela, eran casi idénticas.)

Tanto profesores como alumnos están bajo tal presión de «alcanzar las metas educativas» (ilusorias), que tienen que cubrir una multitud de temas, pero no tienen tiempo para aprender bien ninguno de ellos. Entonces los alumnos lo olvidan, y en el año siguiente tienen que volver a aprender lo mismo de nuevo.

Mencionaré solamente dos temas matemáticos que los alumnos están obligados a aprender mucho antes de que puedan realmente comprenderlos:

– Sumar llevando y restar prestando, con números de tres cifras. Esto se enseña ahora en primer grado, cuando muchos todavía no saben ni sumar números menores de 10. Como procedimiento mecánico, un niño de esta edad puede hacerlo – pero de ninguna manera entiende lo que hace. Para poder entenderlo, tendría que entender cómo funciona el sistema decimal – y esto a su vez presupone entender la multiplicación. Además tendría que ser capaz de relacionar un número de tres cifras con un concepto concreto; pero la imaginación de un niño de esta edad todavía no puede distinguir entre «cincuenta» y «quinientos».

– Fracciones. Imaginarse algo más pequeño que una unidad, es algo muy difícil para un niño de ocho años (a esta edad se enseñan actualmente las fracciones). Se le puede mostrar un círculo dividido en partes, y el niño puede contar las partes; pero si tiene muchas partes, entonces ¿cómo pueden todas estas partes juntas ser «1»? Esta es una paradoja irresoluble para la mayoría de los niños de esta edad. – Por supuesto, las fracciones presuponen entender las leyes de la multiplicación y división. Y no solo esto: simplificar, sumar y restar fracciones se basa sobre los conceptos del máximo común divisor (MCD) y mínimo común múltiplo (MCM). Esto a su vez presupone el concepto de múltiplos, divisores, números compuestos y números primos, y factores primos. Todo esto debería enseñarse antes – y no solo enseñar; habría que asegurarse de que los niños lo entiendan. Y habría que relacionar estos conceptos al nivel de principios. Pero la enseñanza burocrática exige que los niños calculen con fracciones sin tener nada de este fundamento. No es de extrañar que los alumnos no entiendan nada.

La enseñanza burocrática es incapaz ante los desafíos de la vida real y del sentido común.

Quedémonos un poco más con las fracciones. Los alumnos aprenden un procedimiento que llaman «CC» o «C doble» para tratar con fracciones dobles:

Mientras este procedimiento rinde el resultado correcto, no enseña nada acerca de los principios que rigen las fracciones. Los alumnos saben aplicarlo mecánicamente, pero se quedan perplejos ante expresiones como las siguientes:

En el caso a), a algunos todavía se les ocurre que 3 es igual a tres enteros, entonces lo escriben así y aplican su acostumbrada «CC» (aunque es un exceso innecesario de trabajo):

Pero el caso b) ya no permite esto. La enseñanza burocrática no puede preparar al alumno para una situación como esta, porque tendría que prescribir un nuevo procedimiento para cada caso especial que se podría presentar.

Pero un alumno que ha aprendido los principios de la matemática, no tendrá muchos problemas aquí. Para él, los mismos principios que rigen una fracción doble, se pueden aplicar también a una fracción triple, cuadruple o más complicada. Primeramente, para este alumno será claro como el agua que una fracción es solamente otra forma de escribir una división. Entonces, la expresión b) es equivalente a: 4 : 3 : (5 : ((7 : 8) : 11)). Y este alumno entenderá también qué efecto tiene un signo de división : ante un paréntesis. (Incluso entenderá que estos principos son equivalentes a las leyes de signos en la suma y resta.) Aplicando estos principios, y un poco de sentido común, resolverá el problema de la misma manera como resolvería una fracción doble – sabiendo lo que hace.

Pero «sentido común» es incompatible con «burocracia». El sencillo problema del cocodrilo, que cité más arriba, se puede resolver con un poco de sentido común y con muy poco de matemáticas (incluso sin recurrir a una ecuación). La mayoría de los alumnos actuales no pueden resolverlo porque la burocracia no cultiva el sentido común. Los problemas que exigen sentido común son el mayor desafío a la burocracia: no existe ningún procedimiento reglamentario para resolverlos.

Este es otro ejemplo, de la vida diaria y ordinaria:

«Mamá compró papas por S/.1.80, un queso por seis soles, y un coliflor. Pagó con un billete de diez soles y recibió 60 centavos de vuelto. ¿Cuánto costó el coliflor?»

Ante un problema como este, la mayoría de los niños (aun en sexto grado) no saben si deben sumar, restar, multiplicar o dividir. Esto indica ¡que todavía no comprendieron ni aun los principios de la suma y resta! – Cierto, saben sumar y restar mecánicamente números de siete y más cifras. Pero esto todavía no es «comprender» la suma y la resta. Estos conceptos son «comprendidos» solamente cuando el alumno es capaz de relacionarlos con los sucesos de la vida diaria. Pero esto es algo que la escuela no les puede enseñar, porque la escuela es burocrática y por tanto es desconectada de la vida real y del sentido común.

Una muy buena alumna en matemática que conocí, pasaba muchas horas ayudando a sus padres en atender su negocio. Esta fue la mejor preparación en matemática que podía recibir. Se acostumbraba a calcular los precios y dar el cambio correcto, y a pagar facturas correctamente. Esto es aplicar principios en la vida diaria, y esto le ayudó más que cualquier enseñanza que podía recibir en la escuela.

La enseñanza burocrática tiene que capitular ante esta clase de problemas. Algunos profesores se esfuerzan por sistematizarlos y mecanizarlos y proveer alguna «pauta de burro» a sus alumnos: «Si son varias compras juntas, hay que sumar. Si es dar cambio, hay que restar. Si son tres de la misma cosa, hay que multiplicar por tres …» – Estos son esfuerzos vanos. La vida real no se deja mecanizar de esta forma; siempre aparecerá un caso que no encaja en ninguna de las categorías preformuladas por el profesor. Pero la vida real puede comprenderse a base de principios. Y el que ha comprendido los principios, ya no necesita las «pautas de burro».

Rebeca Wild explica ante el trasfondo de las investigaciones de Jean Piaget, como se destruye el verdadero aprendizaje cuando la enseñanza consiste en tales memorizaciones de reglas. Dice acerca de la «etapa de las operaciones concretas» (que dura en la mayoría de los niños aproximadamente desde los siete u ocho años hasta los trece a quince años de edad):

«La comprensión solo está asegurada si el niño tiene los objetos en la mano o si los conoce muy bien de experiencias anteriores. … Si en esta etapa … se intenta utilizar símbolos, por mucho que se los haya simplificado, el niño se ve obligado a tomar una especie de medida de defensa: tendrá que utilizar su memoria para poder repetir, cuando se lo pidan, el saber requerido. (…) Claparède formuló la siguiente ley: todo lo que en su día fue aprendido de memoria, más tarde es mucho más difícil de entender. No es extraño que observemos con tanta frecuencia lo mucho que esta práctica del aprender reglas dificulta una aplicación inteligente.»
(Rebeca Wild, «Educar para ser», Barcelona 1999)

(Para los curiosos: La aplicación correcta de suma y resta es concisamente resumida en este axioma, formulado asi por Euclides: «El entero es más grande que su parte.» El que ha comprendido esto (¡no digo «memorizado»!), ya no tendrá el problema de si debe sumar o restar. Pero hallé que es asombrosamente difícil para alumnos educados en un sistema burocrático, comprender un axioma tan sencillo como este.)

Entre los problemas un poco más «escolares», unos que también desafían la enseñanza burocrática son los criptogramas. Es imposible prescribir un procedimiento mecanizado para la solución de criptogramas. Cada criptograma se basa en una propiedad distinta que debe ser descubierta – a base de principios. Por eso, los criptogramas están entre los ejercicios más excelentes para entrenar la capacidad de razonar. Pero encuentro que justo este tipo de ejercicios es omitido por casi todos los cursos de (mal llamado) «razonamiento matemático». Estos cursos, por lo general, se limitan a tareas que se pueden mecanizar más fácilmente, tales como el conteo de segmentos y figuras, continuar secuencias, etc.

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Algunos procedimientos de la enseñanza burocrática son incluso contrarios a los principios matemáticos.

A la burocracia no le interesa si se respetan los principios o no. Sus procedimientos deben llevarse a cabo, aun si guían al alumno por un camino falso. Mencionaré dos procedimientos con los que me encuentro casi diariamente, que efectivamente hacen que los alumnos aprendan principios equivocados. El procedimiento en sí rinde el resultado correcto – pero lo alcanza por un camino que enseña algo equivocado:

1. Poner el signo al lado equivocado.
En la mayoría de los libros de matemática para primaria, encuentro restas verticales escritas así:

Esto da la impresión de que el signo «menos» (-) estaría asociado con el número 345. Pero el número que se resta es 238 y no 345. Hablando en sentido vectorial, 345 es el número que tiene dirección positiva, y 238 es el número que tiene dirección negativa. Por tanto, el signo «-» debe estar delante de 238 y no detrás de 345.

Esto puede parecer un detalle sin mayor significado, pero no lo es. En realidad, este error «insignificante» les causa a los alumnos un dolor de cabeza que perseguirá a algunos hasta el fin de su educación secundaria. Es que más adelante tendrán que reducir expresiones algebraicas como esta:

3a + 5b – 7 + 4b – 6a

Muchos alumnos, (mal) acostumbrados durante años a escribir el signo «-» a la derecha del número, asocian instintivamente en su mente las expresiones así:

3a + 5b – 7 + 4b – 6a

Entonces agruparán la expresión de una de las siguientes formas, que son ambas equivocadas:

3a + 6a +? (-?) 5b – 4b – 7
ó: 3a + 6a – 5b – 4b + 7

A diferencia de los casos que mencioné anteriormente, poner el signo al lado correcto no es una exigencia burocrática sin sentido. Es una cuestión de principios que afecta el aprendizaje de las leyes de la matemática. Pero a la burocracia no le interesa si se aprenden principios correctos o equivocados o ningún principio. Por eso, este error parece no molestar a nadie.

En sí, poner el signo al lado derecho o izquierdo no es ningún principio; es una convención. O sea, es un acuerdo mutuo entre los matemáticos. Podríamos cambiar la convención y ponernos de acuerdo en que desde aquí en adelante pondremos el signo a la derecha del número. Pero entonces, la resta citada al inicio tendría que escribirse así (vea a la derecha):

En este ejemplo, ningún principio de la matemática nos permite asociar el signo negativo con el número 345, sea a la derecha o a la izquierda. Es simplemente un error, y uno que tiene consecuencias, como vimos arriba. No por cuestiones burocráticas, sino por una cuestión de principios.

2. «Llevar algo al otro lado» en una ecuación.
Aquí tenemos una ecuación sencilla. A veces pido a un alumno que me explique cómo resolverla:

x + 5 = 18

Casi siempre recibo la siguiente explicación: «Llevo el 5 al otro lado y le cambio el signo.» – Esta explicación es técnicamente correcta, pero contradice completamente los principios matemáticos.

El principio general de las ecuaciones es el principio de la igualdad. La mejor ilustración visual de una ecuación es la imagen de una balanza en equilibrio:

Para resolver una ecuación, es necesario mantener este equilibro durante el proceso entero. Solamente así puedo asegurar que al final, cuando tengamos despejada la incógnita «x», el signo de igualdad «=» siga siendo verdadero.
Ahora, si «llevo algo al otro lado», la balanza obviamente ya no está en equilibrio:

Entonces, este no puede ser el camino correcto para resolver una ecuación. – Igualmente, si «cambio de signo» a algo en la ecuación, la balanza pierde su equilibro, porque -5 no es igual a 5. El que «lleva algo al otro lado y cambia su signo», está cometiendo dos graves errores a la vez (cuyos efectos felizmente se anulan).

El principio correcto para transformar y resolver una ecuación, es este:
Toda operación que se efectúa al lado izquierdo de la ecuación, debe efectuarse de igual forma al lado derecho.

Si al lado izquierdo sumo 5, también tengo que sumar 5 al lado derecho. Si el lado izquierdo lo divido entre 3, también tengo que dividir el lado derecho entre 3. Si elevo al cuadrado el lado izquierdo, también tengo que elevar al cuadrado el lado derecho. – Este es el principio correcto que lleva a resultados correctos y no causa confusiones.

(Este principio debe complementarse con el principio de que cada operación matemática se anula por la operación inversa: una suma se anula con una resta y viceversa; una multiplicación con una división, y una potencia con una raíz.)

En nuestro ejemplo del inicio, la aplicación de este principio sería: Restamos 5 a ambos lados de la ecuación.

Claro, la solución final es la misma como con el «procedimiento escolar». Entonces, ¿qué tiene de malo el «llevarlo al otro lado»?

El daño sucede, una vez más, al nivel de los principios. El «procedimiento escolar» es un manejo mecánico sin sentido, que tiene que «hacerse así porque así se hace, y punto.» Si alguien pregunta «¿por qué?», no recibirá explicación, porque matemáticamente este procedimiento no tiene explicación. Como hemos visto, es un procedimiento que contradice los principios matemáticos. Una vez más, el alumno solo aprende una técnica, pero no aprende matemática. Aun peor, aprende principios equivocados: que en una ecuación se pueda «llevar un número al otro lado» y que se pueda «cambiar de signo a un número», sin que esto afecte la veracidad de la ecuación.

Además, el «procedimiento escolar» causa confusión. Tan solamente si avanzamos a ecuaciones con multiplicación o división como estas:

a) 5x = 45

b) x / 5 = 13

El alumno dirá que en estos casos también hay que «llevar el 5 al otro lado», pero ¿hay que cambiarle el signo o no? ¿No? ¿Por qué no? – Nuevamente, esto no se puede explicar de manera lógica, porque el procedimiento en sí mismo no es lógico. Con esta clase de enseñanza, el alumno tiene que aprender un nuevo procedimiento por separado para cada nueva operación. Cuando llega a potencias y raíces, otra vez tendrá que aprender un procedimiento nuevo (mientras en algún rincón de su cerebro sigue cavilando por qué en la suma había que «cambiar de signo» al 5 y en la multiplicación no.)

Una confusión adicional ocurre en un caso como este:

x / 5 = 13 + a

El alumno «sabe» (o sea, cree equivocadamente) que tiene que «llevar el 5 al otro lado», pero ¿cómo exactamente? ¿Hay que multiplicar el 13 por 5, o la a, o ambos? – El profesor puede decirle que hay que multiplicar ambos, pero ¿por qué? Aquí tampoco hay explicación lógica.

Si nuestro alumno hubiera aprendido el principio correcto desde el principio, no tendría toda esta confusión. (La palabra «principio» por sí misma indica que con esto hay que comenzar: los principios deben ir al principio, no al final.) El principio de la balanza le dice al alumno inequívocamente que puede anular una multiplicación por medio de una división (y es obvio que al dividir, nadie cambia el signo del divisor así por así). A la luz de este principio, también es obvio que al multiplicar la ecuación (ambos lados de la ecuación), hay que multiplicar el contenido completo de los platillos de la balanza, y no solamente una parte. (De otra forma no se mantendría la igualdad.) Además, el principio es general, o sea, se aplica a cualquier operación matemática. El alumno no tiene necesidad de aprender un procedimiento nuevo para cada operación aparte. Así se evitan muchas confusiones cuando se enseña matemática basada en principios, en vez de procedimientos burocráticos.

(Continuará)

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Aprender matemática: ¿Cuestión de burocracia o de principios? (Parte 1)

Parece que la matemática tiene mala reputación. «Matemática es difícil.» – «Yo no entiendo la matemática.» – Cuando un alumno dificulta en sus tareas y busca ayuda, casi siempre es en matemáticas. Personalmente no encuentro esta dificultad, y en la enseñanza de mis propios hijos tampoco. La matemática no es difícil. Por lo menos no al nivel de la escuela primaria y secundaria. Pero después de observar a un buen número de alumnos sometidos al sistema escolar, de los más variados niveles, tengo que lanzar las siguientes conclusiones provocativas:

– Enseñar y aprender matemática es una cuestión de principios y de la fe.

– La matemática no es difícil; pero la manera burocrática como funciona el sistema escolar, la ha hecho difícil de comprender.

Intentaré explicar como llegué a estas conclusiones.

La matemática es una cuestión de principios

Deseo explicar este punto y ya tengo una dificultad. Mucha gente no sabe qué son «principios». Supongo que es porque no los tienen. Un «principio» es una convicción tan profunda que no se deja mover por las circunstancias. Una persona con principios no se deja arrastrar por cualquier corriente. No se deja «comprometer» por sus amistades, ni acepta soborno. Un «principio» es un fundamento que sostiene la vida entera, así como el fundamento de un edificio sostiene el edificio entero.
Para dar un ejemplo: Una persona «honrada», así de comúnmente honrada, es alguien que normalmente dice la verdad, que normalmente no engaña en sus negocios, etc. – pero puede haber excepciones. Puede haber situaciones donde esta persona «honrada» miente o engaña. Cuando se encuentra bajo mucha presión, por ejemplo. O cuando piensa que tiene que hacerlo «por una causa buena y justa». – Hay muchas personas así de comúnmente honradas. Pero hay muy pocas personas honradas por principio. Una persona que vive según el principio de la honradez, siempre será honrada. Esta persona nunca va a mentir o engañar. Ni siquiera cuando es presionada. Y ni siquiera «para una causa buena y justa». El principio de la honradez es un fundamento de su personalidad. Si esta persona mentiría o engañaría, perdería una parte de su personalidad.

Ahora, la matemática se fundamenta sobre principios. La matemática no cambia según las circunstancias, ni según el gobierno de turno. La matemática no acepta sobornos. La matemática ni siquiera tiene matices culturales: un matemático asiático y un matemático sudamericano, al tratar el mismo problema, necesariamente llegarán al mismo resultado (excepto si uno de ellos comete un error). Los principios de la matemática son universales y eternos.

Por tanto, para una persona sin principios será difícil comprender la matemática. Pero no porque la matemática fuera difícil. ¡La dificultad está en la persona, no en la matemática! La persona «comúnmente honrada» no comprende por qué no debería dejar de un lado su honradez por una sola vez, cuando se trata de defender la causa de su mejor amigo. Y de la misma manera, esta persona no va a comprender por qué no puede pasar por alto una de las leyes de las potencias, por una sola vez no más.

Pero los principios son el fundamento de la matemática. No son simplemente «adornos» o «trozos de conocimiento». Son la base que sostiene el edificio entero de la matemática. Si se pasara por alto un solo principio, esto haría que la matemática ya no sería matemática. Entonces, para entender la matemática es necesario tener principios.

La matemática es una cuestión de fe

Voy todavía un paso más allá. Dije que los principios de la matemática son universales y eternos. O sea, los principios matemáticos son válidos para cada persona, en cada lugar del universo, y por todos los tiempos. A diferencia de las otras ciencias, en la matemática no puede haber distintas «corrientes» que se contradicen entre sí. En la física se disputa si la luz consiste en ondas, o en partículas, o en ambas. En la psicología se disputa si el hombre es condicionado mayormente por su herencia genética o por su medio ambiente. Cada ciencia tiene estas disputas entre distintas opiniones, y a menudo no hay manera de comprobar quien tiene la razón. Pero en la matemática no puede haber tales disputas. En la matemática se puede comprobar con toda seguridad cuál es la verdad y cuál es el error. Y una vez que una verdad matemática está comprobada, todos los matemáticos del mundo la aceptan y no puede haber disputa acerca de ella.

Aquí tocamos un asunto filosófico que no puedo tratar con la profundidad que merece: ¿Es la matemática un invento de la mente humana, o existe la matemática independientemente de nosotros? Si la matemática fuera inventada por nuestra mente, entonces podríamos manipularla y cambiarla a nuestro antojo. Cada uno podría inventar su propia matemática; o el gobierno podría decretar una «matemática oficial» y «políticamente correcta» para el país. Pero si fuera así, ¿cómo se explica el hecho de que todos los matemáticos del mundo aceptan las mismas verdades matemáticas y rechazan los mismos errores? ¿Y cómo se explica el hecho de que la matemática corresponde al universo fuera de nosotros, de manera que se puede calcular matemáticamente las órbitas de los planetas? – No, la matemática tiene que ser algo que está más allá de nosotros como humanos. La matemática nos señala que existen verdades eternas, absolutas, que no cambian con el tiempo ni con las circunstancias. La matemática nos señala que existe una gran mente más allá de nosotros que razona y que ordena el universo, y que fundamentó este universo sobre principios eternos.
Como cristiano que soy, creo que esta gran mente es el Dios de quien habla la Biblia. Así dice en el libro de los Salmos (en un lenguaje más poético que matemático):

«Los cielos cuentan la gloria de Dios, y el firmamento anuncia la obra de sus manos.
Un día emite palabra a otro día, y una noche a otra noche declara sabiduría.»
(Salmo 19:1-2)

«Por tu ordenación subsisten todas las cosas hasta hoy, pues todas ellas te sirven.»
(Salmo 119:91)

Por tanto, la matemática es una cuestión de fe. Para hacer matemática, es necesario creer que existe una realidad más allá de nosotros mismos, y que esta realidad tiene principios absolutos y eternos.

Aun si un matemático no cree en Dios, siempre tiene que «aceptar por fe» ciertas verdades para poder hacer matemática. Estas verdades se llaman axiomas. Si queremos colocar la matemática sobre un fundamento lógico y comprobar todas sus leyes con exactitud, siempre llegaremos a algunos principios fundamentales que no podemos comprobar. Por ejemplo, que los números existen y que se pueden ordenar. O que si dos cosas son iguales a una tercera cosa, estas dos son también iguales entre sí. (O sea, si A=C y B=C, entonces también A=B.) Estos axiomas no se pueden comprobar; pero son necesarios para construir un edificio lógicamente coherente de las matemáticas. En otras palabras: Es necesario aceptarlos por fe.

Por todas estas razones, digo que la matemática es un asunto de fe. Con «fe» entiendo aquí: una convicción firme, que se apoya en verdades más allá de nuestra mente y de nuestro mundo visible.
No estoy diciendo que sea necesario ser judío o cristiano para hacer matemáticas. Hubo grandes matemáticos que no creían en el Dios de la Biblia. Pero por lo menos una «fe matemática» en el sentido que acabo de mencionar, ciertamente será necesaria. Un profesor de matemática necesita despertar en sus alumnos por lo menos esta fe, de que el mundo está regido por principios firmes que son más grandes que nosotros; y que él, el alumno, puede aplicar estos principios e incluso descubrir algunos de ellos por sí mismo. Y al mismo tiempo, un profesor de matemática necesita la humildad de reconocer que él mismo tiene que someterse bajo estos principios; qué él no es «dueño» ni «amo» de la materia que enseña.

Enseñanza burocrática de matemática

No es fácil explicar lo que entiendo con una «matemática por principios». Quizás se entiende mejor si la comparamos con su contrario, la «matemática burocrática». Estoy observando que la mayoría de los niños y jóvenes hoy en día están sometidos a una enseñanza burocrática de matemática. Describiré algunos síntomas de ello, y algunos problemas causados por ello.

La enseñanza burocrática enfatiza «el procedimiento correcto», sin importar el entendimiento.

«Este número va acá, este se suma con este, y el resultado se subraya con rojo.» Y cuando el alumno usa un procedimiento diferente, o subraya el resultado con azul en vez de rojo, su trabajo es rechazado, por más que sea matemáticamente correcto. Igual como en los trámites de la burocracia estatal, donde el ciudadano es diariamente hostigado con exigencias sin sentido: «No, usted no puede entregar su expediente en un fólder así, tiene que comprar uno en nuestra oficina.» Etc, etc. Y nadie puede preguntar ¿por qué?

¿Cuál es el efecto de tal enseñanza en el alumno?
– El alumno es distraído y confundido por asuntos que no tienen nada que ver con matemática. Si por casualidad tiene solamente un lapicero negro en vez de uno rojo, ya no puede realizar su cálculo. En su mente se forma la impresión de que la forma del subrayado (o algún otro detalle insignificante) es más importante que el cálculo en sí.
– El alumno aprende a repetir mecánicamente un procedimiento, sin comprender su significado. Aprende el «cómo», pero no el «por qué». Y así, en realidad no aprende nada de matemáticas. Realizar cálculos mecánicamente, es algo que una calculadora puede hacer también; eso todavía no es matemática. La enseñanza burocrática reduce a los alumnos a meras calculadoras. Aprender matemática significaría entender los principios en los que está basada. Pero para eso no hay lugar en una enseñanza burocrática.
– Sin entender los principios, los procedimientos no tienen sentido. Pero un procedimiento sin sentido es más difícil de aprender que uno que se entiende su sentido. Por tanto, el alumno recibe la impresión de que la matemática es difícil, incomprensible; y así se desanima.

He aquí unos ejemplos de la vida real:

– Una alumna está realizando una multiplicación con varias cifras. Al escribir un número, la pregunto: «¿Por qué colocas este número acá?» – La alumna me mira con ojos grandes, confundida. Parece que nunca en su vida alguien le hizo una pregunta así. No sabe qué responder, mira su cuaderno, y por fin empieza a borrar el número que acaba de escribir. – «No necesitas borrarlo, no he dicho que está mal lo que haces. Solamente deseo que me expliques por qué lo haces así.» – Pero la alumna no tiene respuesta. Solamente ha aprendido a obedecer las órdenes mecánicamente; pero no ha aprendido a pensar. Solamente conoce el «cómo», pero no el «por qué».

– A otro alumno, un poco más pequeño, le escribí una suma en su cuaderno y le pedí que la resolviera. Su respuesta: «Solamente sé sumar en vertical, pero no en horizontal.» – Para él, el procedimiento era todo. No entendía que el principio de una suma es el mismo, sin importar de qué manera se anota. Si él hubiera aprendido principios, no hubiera tenido este problema.

– Un alumno tenía que simplificar la fracción 300/500: «Primero tomo la mitad, resulta 150/250. Puedo otra vez tomar la mitad, entonces tengo … (aquí demoró un poco más) … 75/125. Y ahora tercios…» – y después de probar unos momentos, se rindió. Le señalé la fracción original y dije: «Mira que ambos números tienen dos ceros al final. ¿No te dice esto que puedes hacerlo de una manera más fácil?» – Después de razonar con él un poco más, él fue capaz de reconocer que ambos números eran múltiplos de 100. Pero aun así, fue incapaz de hallar la solución. La gran pregunta que le inquietaba fue esta: «¿Pero se puede de frente dividir entre 100? Mi profesor me ha enseñado que siempre hay que empezar sacando mitades, después tercios…» – Sin más comentario.

Cuando se enseña una matemática sin principios, los alumnos aprenden «trozos de conocimientos» que están completamente desconectados unos de los otros. Un alumno tenía dificultad de comprender la ley distributiva. Por el otro lado, sabía bien multiplicar números con varias cifras. Pero lo hacía mecánicamente, sin entender por qué (como casi todos los alumnos). Nunca se le ocurrió que podría existir alguna conexión entre las dos cosas. Hicimos algunos ejercicios para que él pudiera comprender cómo se compone la multiplicación de un número con varias cifras:

3 x 3713 =

3 x (3000
+ 700
+ 10
+ 3)

= 3 x 3000
+ 3 x 700
+ 3 x 10
+ 3 x 3

= 9000
+2100
+30
+9

= 11139

Entonces llegó el momento cuando este alumno tuvo una gran revelación: Se dio cuenta de que todo el tiempo, cada vez que multiplicaba, ¡él ya estaba aplicando la ley distributiva sin saberlo!
Pero la mayoría de los alumnos nunca se dan cuenta de esta conexión. En algún momento aprenden la multiplicación larga, como procedimiento mecánico («este número va en esta casilla y este otro número en esta otra casilla…»), y nadie les dice por qué se hace así. Y en alguna otra lección, en algún momento muy distinto del año escolar, aprenden la ley distributiva, con unos ejercicios tontos que no tienen ningún uso práctico; simplemente porque el currículo dice que ahora hay que aprender la ley distributiva. Y muy pronto la olvidan otra vez, porque no pueden ver ningún sentido en aprenderla. Por fin, esta ley se inventó solamente para aburrir a los alumnos, y nadie nunca la utiliza, ¿verdad?

La enseñanza burocrática enfatiza la sumisión ciega bajo la autoridad, y la conformidad exterior.

Mencioné a una alumna que no podía explicar por qué efectuaba una multiplicación de la manera como lo hacía. Quizás su respuesta más sincera hubiera sido esta: «Lo hago de esta manera porque si lo hago de otra manera, el profesor me va a dar una mala nota o me va a castigar.»

En un sistema burocrático, conformidad es todo. Nadie se atreve a ser diferente, nadie se atreve a admitir que no entiende algo, nadie se atreve a ser original o creativo. Uno de mis hijos, durante algún tiempo, solía resolver sus calculos mentales de una manera bastante «creativa». Podía suceder, por ejemplo, que multiplicaba 6×14 de la siguiente manera: «6×10 es 60, la mitad de 60 es 30, 60+30=90, le resto 6 y son 84.» Lo interesante fue que sus «soluciones creativas» eran siempre correctas. Pero una enseñanza burocrática desanima esta clase de creatividad. Los alumnos que no se conforman al montón, son castigados con malas notas o con la burla de sus compañeros.

Además, esta presión por la conformidad produce algunas formas de comportamiento disfuncional y enfermizo. Mencionaré una sola: el «adivinar la respuesta». Los alumnos aprenden pronto que «la apariencia es todo». Descubren que pueden «ganar puntos» con una buena respuesta – no importa si ellos mismos entienden la respuesta que dieron o no. Y descubren que muchas veces se puede adivinar la respuesta. El profesor pregunta: «¿Cómo se resuelve este problema?» – Por lo general hay solamente cuatro respuestas posibles: «Hay que sumar», «Hay que restar», «Hay que multiplicar», «Hay que dividir». (En los grados avanzados las posibilidades se reducen a una sola: «Hay que hacer una ecuación.») Entonces, si digo al azar cualquiera de éstas, tengo una probabilidad bastante buena de acertar (y si fallo, por lo menos he dado la impresión de haber pensado algo).
Una vez me encontré con un alumno de primer grado que tenía en la mano una lámina con el dibujo de un dedo con su uña, y debajo en letras grandes la palabra «uña«. Le pregunté: «¿Ya sabes leer?» – «Sí, claro.» – «A ver, ¿qué dice aquí?» – Enseguida respondió el chiquillo: «Dedo.» – Pero no lo dijo así no más; hizo un «show» perfecto: Pasó con su dedo por debajo de las letras y dijo pausadamente, como deletreando: «De- do.» A su corta edad ya había aprendido la lección más importante para un alumno de la burocracia: como impresionar a su profesor con apariencias.

Desgraciadamente, esta actitud no ayuda para nada a aprender matemática. Al contrario, puede obstaculizar el aprendizaje por toda la vida. Primeramente, los alumnos adquieren una noción completamente equivocada de lo que es la matemática. No entienden lo más fundamental: que hacer matemática es aplicar principios. En lugar de ello, empiezan a pensar que la matemática es realmente algo como un juego al azar, y que el «adivinar» es el método correcto. Así como se hizo costumbre entre algunos alumnos, rezar en el camino a su examen: «Santa María, dame puntería» …

Y estos «adivinadores» pueden pasar sus exámenes asombrosamente bien. No solo por copiar de sus compañeros. También porque hoy en día, casi todos los ejercicios y exámenes son de selección múltiple. Claro, esto facilita la tarea del profesor de revisar las respuestas (hasta una computadora puede hacerlo). Pero invita a «adivinar». A ver, ¿qué tal esta tarea?

356 x 22 = ? A) 1 B) 2 C) 3 D) 7832

Yo sé, estoy siendo un poco sarcástico. Pero en serio, no se puede exagerar el efecto entontecedor de los ejercicios de selección múltiple. Los alumnos ya se están acostumbrando, en vez de razonar lógicamente, a buscar simplemente «la alternativa correcta». Esta es una muy mala preparación para la vida, porque los problemas de la vida real nunca son de selección múltiple. Y especialmente en la matemática: el conjunto de las alternativas posibles para la solución de un problema matemático, ¡es normalmente infinito! Aun para un problemita como este: «Pedro vive más arriba que Pablo, Juan vive más arriba que Pedro, ¿quién vive en el sótano?» – Respuesta: los ratones. – (Solamente estoy intentado aligerar un poco este tema pesado.)

Pero el hecho es: Limitar las posibles respuestas a cuatro o cinco alternativas, significa truncar el razonamiento del alumno. Los grandes científicos del pasado destacaron exactamente por sobrepasar los límites de las alternativas que ofrecían sus contemporáneos. Un ejemplo histórico:

Cuando los astrónomos empezaron a adoptar el sistema heliocéntrico, empezando con Copérnico, intentaron calcular las órbitas de los planetas alrededor del sol. Primero, la idea general era que estas órbitas tenían que ser círculos. (Esta idea se derivaba todavía de los antiguos griegos, que se imaginaban el cielo compuesto de diversas esferas perfectas.) Pero al avanzar las observaciones de los planetas, nunca coincidieron exactamente con las órbitas circulares calculadas por los astrónomos. Entonces pensaron que quizás los planetas describían otros círculos pequeños superpuestos a su órbita circular grande. Por muchos años, los astrónomos intentaban encontrar una combinación de círculos que se ajustaba a sus observaciones, pero siempre quedaba un error que no podían superar. Su problema era que habían limitado las alternativas de las respuestas posibles:

La órbita del planeta es:
A) un círculo
B) un círculo con otro círculo superpuesto
C) un círculo con dos círculos superpuestos
D) otra combinación de círculos.

Solo muchas décadas más tarde encontró Juan Kepler la solución que se hizo famosa: las órbitas de los planetas no son ninguna combinación de círculos, sino elipses. Para encontrar esta solución, Kepler tuvo que romper las limitaciones que los astrónomos anteriores habían impuesto a las respuestas posibles.

– Todos estos asuntos del «adivinar las respuestas» y del «conformarse exteriormente», son en realidad asuntos de carácter, ética y moral. La persona que aparenta entender lo que no entiende, no es honesta. Y esto no ayuda en nada para el aprendizaje de la matemática.

En un sistema burocrático, siempre hay alguna manera de «engañar el sistema» y de salirse con la suya. Uno puede sobornar al policía o al funcionario; uno puede sobrepasar las leyes mientras nadie mira; uno puede incluso convertirse en autoridad uno mismo y cambiar las leyes según su antojo. Pero en la matemática no funciona nada de esto. La matemática no se deja sobornar; las leyes de la matemática se cumplen con exactitud aun cuando nadie mira; y nadie tiene la autoridad de cambiar las leyes de la matemática. Las técnicas que la gente aprende para sobrevivir en una burocracia, no sirven para nada en el campo de las matemáticas. Esta es una razón más por qué los estudiantes educados en un sistema burocrático, raras veces llegan a entender la matemática. No pueden entender el «espíritu» de la matemática en un tal sistema.

Y personalmente digo, si tengo que escoger entre los dos, la burocracia o la matemática, yo escojo la matemática. Aunque en el mundo actual, la burocracia es la «realidad» con la que vivimos – esta palabra «realidad» ha sido terriblemente maltratada. La gente está usando esta palabra «realidad» cuando busca una excusa para sus manejos deshonestos: «Es que así es nuestra ‘realidad’.» Pero la palabra «realidad» se deriva de «rey»: «real» es lo que el rey dice y hace. Como cristiano, mi Rey es Dios. ¿Qué dice Dios acerca de la «realidad»?
«Sabemos que somos de Dios, y el mundo entero está bajo el maligno. Pero sabemos que el Hijo de Dios ha venido, y nos ha dado entendimiento para conocer al que es verdadero; y estamos en el verdadero, en su Hijo Jesucristo. Este es el verdadero Dios, y la vida eterna.» (1 Juan 5:19-20)
«Para esto apareció el Hijo de Dios, para deshacer las obras del diablo.» (1 Juan 3:8).

La «realidad» de Dios es Su gobierno eterno, y Sus principios que no pueden ser quebrantados por nada y nadie. Una parte de esta realidad son las leyes de la matemática. Por eso, los planetas se mueven según leyes matemáticas y no según leyes burocráticas. Y por tanto, la matemática corresponde a la verdadera Realidad del universo, pero la burocracia no.

(Continuará)

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Esas neuronas mal conectadas

Las dificultades de aprendizaje, ¿tienen que ver algo con que el cerebro de un niño esté organizado de manera equivocada, o ineficaz? Y si es así, ¿esta mala organización del cerebro puede haber sido causado por la enseñanza escolar?

Varias investigaciones dicen que sí. Pero antes de examinar la evidencia científica, veremos un ejemplo de la práctica.

Un alumno de segundo grado de secundaria está pidiendo ayuda para sus tareas. «¿De qué se trata?» – «Preposiciones – Proposiciones – no recuerdo bien la palabra, pero era algo de posiciones.» – «A ver, muéstrame tu cuaderno.» – «Aquí está – ah: Proporciones.» – Durante las siguientes tres horas estamos ocupados con problemas como este:
«En una fábrica, 12 máquinas producen 126 piezas en 7 días. Si la fábrica adquiere dos máquinas más, ¿cuántas piezas se fabricarán en 10 días?»
Los problemas no son excesivamente difíciles. Y es una clase de problemas que ocurre con más frecuencia en la vida real. Toda ama de casa, junto con su hijo que le ayuda a hacer compras, se ve confrontada de vez en cuando con una situación como esta: En una tienda venden huevos por kilo, 16 huevos a 4.50. En la otra tienda venden la docena de huevos a 3.50. ¿Dónde es más económico?
Pero mi alumno tiene una lucha tremenda. En sus cálculos, cada rato se olvida cuál número va arriba, cuál número abajo; y a menudo sus multiplicaciones y divisiones le salen mal. Se queda atrapado en los detalles del procedimiento mecánico, y no llega a captar el principio de lo que es una proporción. (Vea también: «Aprender matemática: ¿cuestión de burocracia o de principios?».)
Y eso que en realidad es un principio muy sencillo. Dos magnitudes son proporcionales cuando aumentan o disminuyen juntos de una manera «armoniosa». O sea, aumentan o disminuyen juntos por el mismo factor. Si una parte se duplica, la otra parte se duplica también. Si una parte se reduce a la décima parte, la otra parte también. Como en este gráfico, que muestra como un dibujo se agranda de manera proporcional:

Es un principio que recurre frecuentemente en la matemática: en las operaciones de fracciones equivalentes; en las figuras geométricas semejantes; en la ecuación de una recta. Y en la vida diaria en la relación entre cantidad y precio de un producto; entre velocidad y distancia recorrida; etc. Mi joven amigo es bastante inteligente; sin embargo, tiene mayores dificultades para captar este principio.

– Unas semanas después, el mismo alumno trae tareas relacionadas con otro tema: Funciones lineales y sus gráficos. Haciendo unos ejemplos y analizando unos gráficos, con bastante facilidad llega a entender los principios más importantes. Por ejemplo, si escribimos la ecuación en la forma y = ax + b, que la constante b corresponde al tramo del eje y que es cortado por la recta (donde x es cero); y que el coeficiente a corresponde a la inclinación de la recta. – Solamente que mi alumno dificulta, una vez más, en los detalles técnicos de las multiplicaciones y divisiones.

¿Por qué este tema de las funciones fue «fácil» para él, mientras el tema de las proporciones le fue «difícil»? – Es que él ya fue obligado a resolver problemas con proporciones mientras estaba en la escuela primaria y tenía tan solamente diez años de edad. Y fue enseñado a hacerlo mecánicamente («este número va aquí y este otro número va allá»), sin experimentarlo en la vida real, y sin entender los principios. En cambio, con el análisis de funciones no le torturaban durante sus años de primaria.

Ahora, esto sorprenderá a mis lectores – por lo menos a aquellos que fueron formados en los caminos del sistema escolar dominante. Pero lo estoy observando con tanta regularidad que ya se ha vuelto algo predecible: Los alumnos de secundaria tienen sus mayores dificultades en aquellos temas que ya les fueron enseñados en la primaria. Dificultan menos en aquellos temas que aprenden en la secundaria por primera vez. Obviamente, la clase de enseñanza que recibieron en la primaria, no les ayudó a entender nada.

Veremos ahora algunas investigaciones que corroboran esta observación.

El pionero en la investigación del desarrollo de la inteligencia, Jean Piaget, descubrió que el cerebro de un alumno de primaria funciona mayormente a base de «operaciones concretas»: tocando y manipulando objetos, haciendo experiencias de la vida real… – pero no funciona con conceptos abstractos. Esta «fase de las operaciones concretas» comienza, en promedio, entre los siete y ocho años de edad, y puede durar hasta los trece años o más tarde, cuando por fin la capacidad del pensamiento abstracto se desarrolla plenamente. En las propias palabras de Piaget:

«Hasta esa edad (once a doce años), las operaciones de la inteligencia infantil son únicamente ‘concretas’, es decir, que no se refieren más que a la realidad en sí misma y, especialmente, a los objetos tangibles que pueden ser manipulados y sometidos a experiencias efectivas. (…) En cambio, si pedimos a los sujetos que razonen sobre simples hipótesis, sobre un enunciado puramente verbal de los problemas, inmediatamente pierden pie y vuelven a caer en la intuición prelógica de los pequeños. Por ejemplo, todos los niños de nueve a diez años saben poner en serie los colores mejor aún que las magnitudes, pero son totalmente incapaces de resolver una cuestión como la siguiente, incluso puesta por escrito: ‘Edith tiene los cabellos más oscuros que Lili. Edith es más rubia que Suzanne. ¿Cuál de las tres tiene los cabellos más oscuros?’ Responden en general que, dado que Edith y Suzanne son rubias, es Lili la que tiene el pelo más oscuro. (…) No alcanzan, por consiguiente, en el plano verbal, más que una seriación por parejas incoordinadas a la manera de los pequeños de cinco o seis años con las seriaciones concretas. Y es por esto, en particular, por lo que sienten tanta dificultad en resolver en la escuela problemas de aritmética que se refieren, sin embargo, a operaciones bien conocidas: si manipulasen los objetos, razonarían sin obstáculos, mientras que los mismos razonamientos en apariencia, pero exigidos en el plano del lenguaje y de los enunciados verbales, constituyen de hecho, otros razonamientos mucho más difíciles, ya que están ligados a simples hipótesis sin realidad efectiva.»
(Jean Piaget, «El desarrollo mental del niño»)

Entonces tenemos un primer problema con el método de enseñanza en la escuela primaria: Copiar palabras o escribir números en un cuaderno no es una operación concreta; es un método sumamente abstracto. Como tal, no es adecuado para el cerebro de un niño. En resultado, el niño hace sus tareas mecánicamente, pero no entiende lo que hace. El matemático Paul Lockhart dice al respecto:

«¿Para qué quiere usted que los niños pequeños sepan sumar 427 más 389? Esta no es la clase de preguntas que hacen los niños de ocho años normalmente. Aun muchos adultos no comprenden completamente la aritmética de valor posicional en el sistema decimal. ¿Y usted espera que los alumnos de tercer grado tengan un concepto claro? ¿O no le importa si ellos lo hacen entendiendo o no? Es simplemente demasiado temprano para esta clase de entrenamiento técnico. Por supuesto que se puede hacer, pero a lo largo hace más daño que bien.»
En: «A Mathematician’s Lament» (El lamento de un matemático), por Paul Lockhart

Raymond y Dorothy Moore han coleccionado cientas de investigaciones acerca de la pregunta: ¿Cuál es la edad apropiada para que un niño sea sometido a una enseñanza formal (como la que sucede en la escuela)? Los resultados coincidieron en que la mayoría de los niños no alcanzan la madurez requerida (física, emocional y mental) antes de los ocho a diez años de edad. (Vea «Mejor tarde que temprano».) Antes de esta edad, los niños deberían hacer trabajos manuales y creativos, dibujar y pintar, tener la oportunidad de experimentar con una gran variedad de materiales (arena y agua; semillas; madera; plastilina; retazos de tela y lana; etc), escuchar cuentos, jugar con bloques de madera o con juegos de tablero, jugar al aire libre, cultivar un jardín, preparar una comida, acompañar a sus padres en los quehaceres de la vida diaria, ayudar a personas que necesitan ayuda, etc. – pero no deberían estar sentados inmóviles en un aula, resolviendo problemas abstractos de un libro escolar. Según la evidencia presentada por los Moore, un niño experimentará problemas en su desarrollo más tarde, si comienza sus estudios escolares tan temprano como a los seis o cinco años.

Con esto concuerda la experiencia de Finlandia, un país que se encuentra en los primeros lugares en la comparación internacional del rendimiento escolar:

«Los alumnos de secundaria aquí (en Finlandia) reciben raras veces más de media hora de tareas por la tarde. No tienen uniformes escolares, no tienen sociedades honorarias, no tienen clases especiales para los alumnos dotados. Hay pocos exámenes estandarizados; pocos padres agonizan por hacer entrar a sus hijos a la universidad; y los niños no entran a la escuela hasta que hayan cumplido los 7 años. Pero en la comparación internacional, los adolescentes finlandeses están entre los más inteligentes del mundo.»
Ellen Gamerman, «Why are Finnish kids so smart?» (¿Qué hace que los niños finlandeses sean tan inteligentes?), en WSJ.com

Tenemos entonces un segundo problema: La edad a la cual el sistema escolar trata de forzar sus conceptos sobre los niños. ¡La mayoría de los niños escolares no pueden comprender lo que su profesor intenta enseñarles! Simplemente porque su cerebro todavía no está listo para ello.

Acerca de las operaciones matemáticas básicas dice Piaget:

«Sabemos que durante la primera infancia sólo los primeros números son accesibles al sujeto porque son números intuitivos que corresponden a figuras perceptibles. La serie indefinida de los números y, sobre todo, las operaciones de suma (y su inversa, la resta) y de multiplicación (con su inversa, la división) no son, en cambio, accesibles por término medio hasta después de los siete años.»
(Jean Piaget, «El desarrollo mental del niño»)

Una investigación más detallada acerca de operaciones matemáticas específicas, encontró lo siguiente:

«Durante un período de varios años y en cientas de ciudades, el ‘Comité de los Siete’ investigó para determinar la edad mental a la que determinados temas podían enseñarse de manera ‘acabada’. Típicamente, ellos encontraron que la suma de fracciones homogéneas requirió una edad mental de 10 a 11 años, y la suma de fracciones heterogéneas, 14 a 15 años. La división entre números de dos cifras requirió una edad mental de 12 a 13 años.»
En: «What does Research say about Arithmetic?» (¿Qué dice la investigación acerca de la aritmética?), por Vincent J. Glennon and C. W. Hunnicutt, Asociación Nacional de Educación de los EEUU, Washington D.C.

(La «edad mental» es el nivel de desarrollo mental que corresponde al promedio de la población de dicha edad.) Esto significa que la gran mayoría de los alumnos de primaria no pueden realmente comprender las operaciones aquí mencionadas. Sin embargo, ¡el sistema escolar obliga a niños de ocho años a calcular con fracciones! No es extraño entonces, que los niños salgan confundidos. Estos niños podrían rendir mucho más, y con mucho menos horas académicas y mucho menos estrés, si les permitiríamos simplemente ser niños durante algunos años más.

«Pero mis hijos / mis alumnos están haciendo estas operaciones y lo pueden», dirá alguien por allí. Sí, los niños pueden hacer muchas cosas si son obligados y forzados y amenazados con castigos. Pueden mirar como lo hace el profesor e imitarlo, pueden memorizar una técnica y hacerlo. Pero lo hacen sin entender lo que hacen. Cuando les pregunto: «¿Por qué lo haces de esta manera?», o «¿Por qué pones este número aquí?», no pueden dar ninguna explicación. Y son incapaces de aplicar sus técnicas memorizadas a situaciones reales y a objetos concretos (como p.ej. los pedazos de una torta). Su aprendizaje es igual al aprendizaje de un loro que aprendió a repetir: «Uno más dos es tres.» ¿Sabe el loro sumar? – Claro que no. Solamente ha aprendido a reproducir unas palabras, sin entender su significado. De la misma manera, la escuela enseña a los niños a reproducir símbolos matemáticos sin entender su significado.

Rebeca Wild, una pionera educativa en Ecuador, hizo la misma observación:

«En esta etapa (la etapa operativa, de aprox. 7-8 hasta 13-15 años), el niño empieza a hacerse suyos los conceptos de conservación de la masa, de peso, de número, de longitud y de espacio. Estos conceptos los asimila, única y exclusivamente, con la ayuda de materiales concretos y situaciones. (Nota: «Materiales concretos» no son «libros y fichas de trabajo». Son p.ej. habas y granos de maíz, bloques de madera, juegos de construcción, ingredientes para una torta, retazos de tela, etc.etc.) En esta etapa, si como apoyo para el proceso del aprendizaje, se intenta utilizar símbolos, por mucho que se los haya simplificado – símbolos muy gráficos e «infantiles» – el niño se ve obligado a tomar una especie de medida de defensa: tendrá que utilizar su memoria para poder repetir, cuando se lo pidan, el saber requerido.
(…) La cantidad de horas que, precisamente en un país como Ecuador, se dedican al dictado y a la memorización de reglas es impresionante: reglas gramaticales, reglas de cálculo, reglas ortográficas, reglas de conducta, etc. Claparède formuló la siguiente ley: todo lo que en su día fue aprendido de memoria, más tarde es mucho más difícil de entender. No es extraño que observemos con tanta frecuencia lo mucho que esta práctica del aprender reglas dificulta una aplicación inteligente. Este es un hecho que habitualmente es reconocido en las críticas al sistema educativo que tan menudo se realizan en Ecuador, sin embargo, raras veces se comprenden las causas que verdaderamente lo motivan.»
Rebeca Wild, «Educar para ser», Barcelona 1999

De todos estos datos se saca una conclusión obvia: Es mucho mejor para los niños que esperen unos años más para entrar a la escuela; por lo menos hasta los siete años, y aun mejor hasta los ocho o nueve años. Que se les permita simplemente ser niños, jugar y experimentar y descubrir muchas cosas por si mismos. Y una vez que entren a la escuela, que no sean forzados a memorizar conceptos que todavía pueden comprender. La enseñanza debe adaptarse a la comprensión del niño, no la comprensión del niño a la enseñanza.

Cuando hablo de estos asuntos con padres y profesores, por lo general están horrorizados: «¿No mandar a la escuela a mi hijo de cinco años? ¡Pero entonces va a perder un año!» Parece que en sus ojos, lo peor que puede suceder a un niño es «perder un año», según las normas del sistema escolar. Esta idea les causa unos terribles miedos irracionales. Pero en realidad, este niño va a ganar un año. Ganará un año más para ser niño y aprender y descubrir muchas cosas de la manera más apropiada para un niño. Ganará un año más para dejar madurar su cerebro y después poder entender mejor lo que se le enseña.
Ser un año mayor y más maduro, no hace daño a ningún niño. Mucho más daño le hace una enseñanza que le obliga a hacer cosas que no entiende, y que hace que sus neuronas se conecten de la manera equivocada (como veremos enseguida).

«¿Pero no se va a ‘pasar de edad’ este niño para concluir la secundaria?» – De ninguna manera. Las investigaciones demuestran que en la adolescencia se pueden recuperar dentro de muy poco tiempo los conocimientos completos que se enseñan en la primaria:

William Rohwer sugiere que para muchos niños, los esfuerzos por aumentar la percepción independiente o la habilidad cognitiva tendrán más probabilidades de ser exitosos «si se los demorara … hasta cerca del fin de los años primarios.» Rohwer sugiere también que se puede adquirir todo el aprendizaje «necesario para tener éxito en enfrentar las exigencias de la escuela secundaria en sólo dos o tres años si se demorara la instrucción formal hasta esos años.» (…)
El psiquiatra J.T.Fisher apoya a Rohwer basándose en su experiencia personal y clínica. El doctor Fisher empezó la escuela a los trece años y terminó la secundaria a los dieciséis años. Se sentía «desilusionado más tarde cuando descubrió que esto no demostró que él fue un genio». Más bien, él tuvo que aceptar lo que dijeron los psicólogos que «han demostrado que un niño normal que inicia su educación académica en el período de la adolescencia, pronto puede llegar al mismo punto de progreso al cual hubiera llegado si hubiera iniciado la escuela a los cinco o seis años de edad.»
(…) En otras palabras, los padres no tienen que temer que ellos están desperdiciando los primeros años de sus hijos si no los mandan a la escuela. Al contrario, si se deja a los niños inventar o resolver cosas por sí mismos en un ambiente relativamente libre, podrán llegar a ser personas más creativas y tener mejores habilidades para resolver problemas. (…)
Muchas veces han preguntado a Piaget si él apoya los programas en Norteamérica que proveen la instrucción formal cada vez más temprano. Según John L. Phillip, cuando se le preguntó si se puede apurar la mente del niño, dijo que esta fue la «pregunta americana». El pensó que «probablemente fuera posible, pero no se la debe apurar.»
(Raymond y Dorothy Moore, «Mejor tarde que temprano»)

Entonces, la escuela primaria ni siquiera es necesaria – el jardín de infantes mucho menos todavía. Y como hemos visto, en muchos niños la enseñanza de la escuela primaria causa más confusión que aprendizaje verdadero.

Los hallazgos de la neurología nos hacen entender mejor por qué esto es así:

«El proceso de mielinización en los cerebros humanos no está completo hasta que la mayoría de nosotros tenemos más de veinte años. Aunque unas investigaciones con animales mostraron que la mielina total podría reflejar unos niveles de estimulación, los científicos creen que su orden de desarrollo es principalmente predeterminado por un programa genético.
(…) Antes de ser mielinizadas, las regiones del cerebro no operan de manera eficiente. Por esta razón, los intentos de «hacer» que los niños dominen habilidades académicas sin la madurez necesaria del cerebro, pueden resultar en desórdenes en sus patrones de aprendizaje. Como hemos visto, la esencia de la plasticidad funcional es que cualquier forma de aprendizaje – lectura, matemática, ortografía, caligrafía, etc. – puede ser realizada por cualquiera de varios sistemas cerebrales. Por supuesto deseamos que los niños conecten cada parte del aprendizaje con aquel sistema que es el mejor para la tarea específica. Pero si el sistema apropiado todavía no está disponible, o todavía no funciona adecuadamente, y los niños son forzados a aprender, entonces el cerebro se organiza en una forma donde los sistemas menos adaptivos e «inferiores» son entrenados a hacer el trabajo.

(…) Aquellas áreas que reciben la dosis más tardía de mielina, son las áreas de asociación que se responsabilizan de manipular conceptos muy abstractos, tales como símbolos (X, Y, Z; gráficos de funciones) que representan otros símbolos (relaciones numéricas) que a su vez representan cosas reales (aviones, trenes, manantiales). Esta clase de aprendizaje depende mucho de la experiencia [concreta], y por tanto puede realizarse a través de muchas rutas neurales potenciales. Al obligar cerebros inmaduros a un aprendizaje de nivel superior, serán forzados a trabajar con sistemas de nivel inferior, lo que dañará la habilidad deseada.

Yo mantengo que muchos de los fracasos escolares actuales resultan de expectativas académicas que fueron forzadas sobre los alumnos como con una niveladora, antes que sus cerebros estuvieran preparados para ello.

(…) Las reglas abstractas de gramática y uso del lenguaje deberían enseñarse no antes de la escuela secundaria. Entonces, si son preparados para ello, los alumnos pueden incluso disfrutar de los desafíos de esta clase de razonamiento abstracto, lógico. Pero solamente si los circuitos [cerebrales] no están ya demasiado obstruidos por una enseñanza chapuceada de reglas.

Una alumna de tercer grado de secundaria que buscó mi ayuda en gramática, estaba desesperadamente confundida acerca de las partes más sencillas del lenguaje. Aunque ella era inteligente y podría a su edad haber dominado este material dentro de una semana, ella había sido una víctima de entrenamientos de «gramática» sin sentido desde el segundo grado de primaria. Mientras Michelle y yo luchamos acerca de la diferencia sencilla entre adjetivos y verbos, yo deseaba a menudo poder tomar una aspiradora neurológica y simplemente quitar todas estas sinapsis desorganizadas que siempre se metían en nuestro camino. Demoramos seis meses . . . Pero por fin, un día se le prendió la luz. «¡Esto es fácil!», exclamó. Sí, lo es, cuando los cerebros están listos para el aprendizaje, y cuando el alumno tiene una razón de usarlo con verdaderos modelos literarios.»
Jane M. Healy, «Endangered Minds, Why Children Don’t Think and What We Can Do About It» (Mentes en peligro: Por qué los niños no piensan, y lo que podemos hacer acerca de ello), Nueva York, 1990.

Ahora, esto explica perfectamente mis observaciones con los alumnos de secundaria. Ellos habían sido forzados a aprendizajes demasiado avanzados cuando estaban todavía en la primaria. Por tanto, estos aprendizajes habían causado una organización deficiente de sus cerebros. Aun muchos años después, seguían sufriendo de estas neuronas mal conectadas: No lograron entender correctamente lo que en aquellos años fueron forzados a reproducir mecánicamente. Por lo general, los alumnos de secundaria dificultan exactamente en aquellas áreas que son forzadas con el mayor adelanto en los alumnos de primaria: Divisiones largas; operaciones con fracciones y con números decimales; en algunos casos también las ecuaciones; y en la gramática el reconocimiento de los miembros de una oración.

Entonces, ¿por qué toda esta histeria de mandar a los niños cada vez menores a la escuela, y de meter cada vez más conocimientos en menos tiempo dentro de sus cabezas? Hemos visto que las investigaciones científicas no apoyan de ninguna manera esta «carrera educativa». Al contrario, les hace daño a los niños y les causa mayores problemas de aprendizaje más adelante. ¿Por qué los planificadores de política educativa, los directores y profesores de las escuelas, y ni hablar de los padres, no toman en cuenta estas investigaciones acerca del desarrollo del niño? ¿Por qué someten a millones de niños a un sistema escolar que es completamente contrario a las características y necesidades de los niños?

Solo puedo especular acerca de las razones; podrían ser las siguientes:

– ¿El peso de la tradición? Los profesores de hoy fueron educados por profesores que fueron educados por profesores que fueron educados por profesores … etc, y ninguno de ellos se detuvo para preguntar por qué están haciendo las cosas de la manera como las hacen. Simplemente porque es más fácil seguir en los caminos acostumbrados. O en otras palabras: Si los mismos profesores sufren de unas neuronas mal conectadas (a raíz de su propia formación), no podemos esperar de ellos que lo hagan mejor con sus alumnos…

– ¿Las influencias ocultas detrás del sistema escolar? Hay enormes intereses económicos y políticos que se benefician del sistema escolar tal como es. (Tan solamente la venta de libros escolares es un negocio multimillonario. Y por supuesto, los profesores son un importante grupo de presión político.)

– ¿La formación de los profesores? El estado no es un educador; el estado simplemente administra (a escuelas, a profesores, a niños…). Si el estado forma a los futuros profesores, es claro que ellos no serán formados para ser educadores: serán formados a ser funcionarios del estado. Esto puede explicar por qué los datos aquí mencionados no aparecen en la formación de los profesores – o si aparecen, son presentados de una manera puramente teórica, sin preguntar qué cosas tendrían que cambiar en el sistema escolar, si estos datos fueran aplicados de manera consecuente.

– ¿La irresponsabilidad de los padres? En los últimos años, más y más padres se están acostumbrando a dejar a sus hijos al cuidado de personas ajenas, desde una edad muy temprana. Si los padres ya no tienen voluntad para responsabilizarse, educando a sus propios hijos, ¿quién se preocupará por ellos? No queda nadie más, excepto el sistema escolar deficiente.

– O más bien, ¿una pervertida ambición y competencia entre los padres y profesores? «Mi hijo tiene cuatro años y ya sabe leer.» – «Mis alumnos tienen ocho años y ya saben resolver ecuaciones.» – «¿Qué, tu hijo tiene seis años y todavía no sabe sumar números de dos cifras?» -¡Cuán torcida es la personalidad de alguien que necesita levantar su autoestima de esta manera! – poniendo cargas insoportables sobre los hombros de los niños, solamente por querer comprobar que él mismo «vale algo» como padre o como profesor. No es el mejor profesor el que mete la mayor cantidad de conocimientos en menos tiempo en las cabezas de los niños. Mejor profesor es el que sabe despertar el interés de los niños en descubrir y entender; el que toma en serio a los niños y se preocupa por su bienestar; el que sabe enseñar de acuerdo al entendimiento de los niños.
Jesús dijo:
«Si no os volvéis y os hacéis como niños, no entraréis en el reino de los cielos. Así que, cualquiera que se humille como este niño, ése es el mayor en el reino de los cielos. Y cualquiera que reciba en mi nombre a un niño como este, a mí me recibe. Y cualquiera que haga tropezar a alguno de estos pequeños que creen en mí, mejor le fuera que se le colgase al cuello una piedra de molino, y que se le hundiese en lo profundo del mar.» (Mateo 18:3-6)

– Todas estas son todavía sugerencias más o menos inocentes. John Taylor Gatto, después de treinta años de experiencia como profesor en Nueva York, y después de estudiar detenidamente los orígenes del sistema escolar norteamericano, llegó a una conclusión mucho menos «amable»: Las deficiencias del sistema escolar actual son diseñadas con el propósito de funcionar de esta manera deficiente. Muchos grandes empresarios, líderes políticos, y otras personas influyentes, se benefician cuando grandes partes de la población están acostumbrados a obedecer mecánicamente a las órdenes que reciben, sin entenderlas y sin reflexionar. Se benefician con una mayoría de la población sin creatividad, sin originalidad, sin pensamiento independiente. Y esta es precisamente la clase de personas que el sistema escolar actual produce. Gatto cita muchas fuentes históricas, y testimonios personales, que sugieren que el sistema escolar fue diseñado para este mismo fin.
(Vea John Taylor Gatto, «La historia secreta de la educación americana». )

Sin importar cual de estas razones propuestas sea la verdadera: ¿es alguna de ellas más importante que el bienestar de los niños? ¿Alguna de estas razones justifica el maltrato intelectual, psicológico (y a veces aun físico) que sucede en tantas escuelas en el nombre de una mal entendida «educación»? ¿Se justifica el estropear el desarrollo de los niños, usando métodos, libros y currículos inadecuados, diseñados por personas que no tienen ningún contacto verdadero y personal con los niños, ni entendimiento de sus necesidades?

Padres, profesores, autoridades del sistema escolar: Por amor a Dios y a los niños, detengan esta mal dirigida carrera educativa y esta competencia sin sentido. Permitan a los niños que sean niños, y que aprendan a manera de niños. Ustedes mismos se beneficiarán de ello, porque más adelante podrán enseñar a los niños con mucho menos esfuerzo, estrés y desgaste de nervios. Si a un niño se le permite madurar de manera natural, después podrá aprender y entender las cosas con mucho menos «horas académicas».

 


Para familias educadoras y escuelas alternativas, los libros de la serie «Matemática activa» muestran un método de proveer a los niños un aprendizaje más de acuerdo a su desarrollo y sus necesidades.

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