En un artículo anterior («Enseñanza de matemática: ¿Cuestión de burocracia o de principios?») he contrastado la enseñanza escolar usual de la matemática (o sea, la enseñanza burocrática) con una enseñanza basada en principios. Deseo añadir a este artículo un ejemplo para ilustrar un poco más estas dos formas de enseñanza.
Tomaré como un ejemplo un tema que causa dificultades a un buen número de alumnos: Las sumas y restas con números negativos, y las leyes de signos relacionadas con estas operaciones.
Ejemplo de una enseñanza burocrática
En los libros escolares, este tema es comúnmente presentado de una manera parecida a lo siguiente:
«Suma de dos números positivos:
Se suman los dos sumandos, y el resultado recibe el signo positivo.
Suma de un número positivo con un número negativo:
Se toman los valores absolutos de los dos sumandos y se resta el menor del mayor. Después hay que distinguir dos casos:
Si el valor absoluto del sumando positivo es mayor, el resultado recibe el signo positivo.
Si el valor absoluto del sumando negativo es mayor, el resultado recibe el signo negativo.
Suma de un número negativo con un número positivo:
Se toman los valores absolutos de los dos sumandos y se resta el menor del mayor. Después hay que distinguir dos casos:
Si el valor absoluto del sumando positivo es mayor, el resultado recibe el signo positivo.
Si el valor absoluto del sumando negativo es mayor, el resultado recibe el signo negativo.
Suma de dos números negativos:
Los valores absolutos de los dos sumandos se suman, y el resultado recibe el signo negativo.
Resta de dos números positivos:
Si el minuendo es mayor, se resta el sustraendo del minuendo, y el resultado recibe el signo positivo.
Si el sustraendo es mayor, se resta el minuendo del sustraendo, y el resultado recibe el signo negativo.
Restar un número positivo de un número negativo:
Se toman los valores absolutos del minuendo y del sustraendo, y se suman. El resultado recibe el signo negativo.
Restar un número negativo de un número positivo:
Se toman los valores absolutos del minuendo y del sustraendo, y se suman. El resultado recibe el signo positivo.
Resta de dos números negativos:
Se toman los valores absolutos del minuendo y del sustraendo.
Si el valor absoluto del minuendo es mayor, se resta el valor absoluto del sustraendo del valor absoluto del minuendo, y el resultado recibe el signo negativo.
Si el valor absoluto del sustraendo es mayor, se resta el valor absoluto del minuendo del valor absoluto del sustraendo, y el resultado recibe el signo positivo.»
Así procede la enseñanza burocrática. El alumno tiene que memorizar ocho casos distintos, cada uno con un procedimiento diferente. Algunos de estos casos incluso requieren distinguir entre dos sub-casos, de manera que en total tenemos doce prodecimientos distintos, y desconectados los unos de los otros. La enseñanza burocrática exige que el alumno memorice estos doce procedimientos, y después los aplique mecánicamente a los ejercicios.
Para evitar todo malentendido, tengo que decir enfáticamente que esta es la peor forma de presentar este tema. Si por casualidad usted tomó el ejemplo arriba como un ejemplo positivo, entonces tengo que diagnosticar que usted ha sido malformado por una enseñanza excesivamente burocrática. Tendrá que estudiar detenidamente el artículo original, «Enseñanza de matemática: ¿Cuestión de burocracia o de principios?»
¿Qué sucede si los alumnos son enseñados de esta manera?
Primeramente, reciben la impresión de que se trata de un tema sumamente difícil. ¡Doce procedimientos diferentes! Hay que aprenderlos todos, y además saber como distinguir entre los distintos casos que se presentan en los ejercicios. Así que desde el inicio, el alumno se siente desanimado y está predispuesto a equivocarse.
Muchos alumnos ni siquiera entienden el lenguaje en el cual se presenta el tema. ¿Qué es un «sumando negativo»? ¿Qué es un «valor absoluto»? (Algunos libros escolares emplean aun mucho más palabras que yo en mi pequeño ejemplo.) Para un alumno que todavía no ha llegado a la etapa del pensamiento abstracto, una tal descripción es como si fuera en chino o en japonés.
Supongamos que nuestro alumno logra, con mucho esfuerzo, memorizar estos procedimientos y aplicarlos correctamente. Aun después de esto, todavía no ha entendido realmente como funciona la suma y la resta, porque nunca se le enseña la conexión de estos distintos casos entre sí. Aun si sabe estos procedimientos de memoria, todavía le parecen incomprensibles y difíciles. Cuando se añade algún nuevo aspecto a las operaciones (p.ej. introduciendo paréntesis, o aplicando la ley conmutativa), el alumno quedará nuevamente perdido y no sabrá qué hacer. (Hasta que haya memorizado otros tantos procedimientos distintos y desconectados de los anteriores.)
Puesto que le falta el verdadero entendimiento, el alumno lo vuelve a olvidar todo, tan pronto como el examen sobre el tema pasó. Con toda su memorización no ha adquirido ningún «sentir» de lo que es la suma y la resta.
Ejemplo de una enseñanza basada en principios
Para profesores y alumnos que han aprendido a pensar matemáticamente, dos principios sencillos son suficientes para abarcar este tema completamente – aun incluyendo conmutaciones, paréntesis y todo eso. Estos principios pueden visualizarse fácilmente usando movimientos «hacia adelante» y «hacia atrás», por ejemplo en una recta numérica:
El signo positivo significa avanzar en la misma dirección.
El signo negativo significa invertir la dirección.
Solamente tenemos que acordar adicionalmente que «la misma dirección» por defecto (o sea, cuando no está definida por ningún signo) es la dirección «hacia adelante», o sea, aumentando. Pero esto es algo que se entiende por sí mismo, porque cada alumno aprendió a sumar y a restar primero con los números positivos. Eso es lo más natural del mundo; por eso se llaman «números naturales».
(Nota al margen: La enseñanza burocrática está obsesionada con definir las cosas más sencillas con palabras complicadas. Algo que se entiende por sí mismo, no necesita definición. Las definiciones innecesarias solamente oscurecen el sentido de las cosas, en vez de explicarlas.)
Estos dos principios sencillos son mucho más fáciles de comprender y recordar, que los doce procedimientos del primer ejemplo. Además, contienen algo de la «esencia» de lo que es la suma y la resta. Estos dos principios dan a entender algo de la unidad inherente de las leyes de la matemática.
Por ejemplo, las reglas del primer ejemplo distinguen entre un signo ‘-‘ que significa «restar», y otro signo ‘-‘ que significa «número negativo». Así se complica el asunto. Pero en realidad, esta distinción es innecesaria. Matemáticamente, el signo ‘-‘ significa en ambos casos exactamente lo mismo: Invertir la dirección acostumbrada.
Así por ejemplo, 4 – 3 es exactamente lo mismo como 4 + (-3). El signo ‘-‘ delante del número 3 significa «Muévete hacia atrás, en vez de ir adelante»; y el signo ‘+’ no cambia nada en esto. Por eso, en la forma «4 – 3», se sobreentiende el signo ‘+’ delante de los números. (Podríamos también escribir 4 – (+3), o incluso (+4) – (+3), y seguiría siendo lo mismo.)
Además, las reglas del primer ejemplo colocan al resultado a veces un signo positivo, y a veces un signo negativo – aparentemente sin ningún motivo particular. ¿Es esto por el capricho de algún profesor de matemática que quiere dificultarnos la vida? – No, aquí hay también una razón lógica. Después de hacer todos los movimientos prescritos por los signos ‘+’ y ‘-‘, nos quedaremos finalmente en uno de los lados de la recta numérica – a la derecha o a la izquierda del cero. Al visualizar y probar algunos ejemplos, el alumno pronto se dará cuenta de qué depende si el resultado cae al lado positivo o al lado negativo. Por ejemplo, al calcular (-8) – 4, comenzamos por el lado negativo, y nos desplazamos aun más hacia la izquierda. Entonces es lógico que al final seguimos a la izquierda del cero, o sea, en el lado negativo.
Con los dos principios mencionados queda también claro por qué restar un número negativo equivale a sumar un número positivo: El primer signo ‘-‘ invierte la dirección de «avanzar» a «retroceder». Si aplicamos un segundo signo ‘-‘ al mismo número, la dirección se invierte otra vez a «avanzar». Por tanto, dos signos ‘-‘ combinados equivalen a un signo ‘+’.
Ahora, la idea no es que estos principios se aprendan «memorizando» o «copiando». Mucho mejor se aprenden experimentando con ellos. Por ejemplo, que el alumno dibuje diferentes «viajes» sobre la recta numérica, indicando sus movimientos con flechas hacia adelante y hacia atrás. O que manipule flechas cortadas de cartón sobre una recta numérica grande dibujada en la mesa. O que camine sobre una recta numérica aun más grande dibujada en el piso, contando sus pasos. Y esto no solamente con unos ejercicios prefabricados del libro escolar: es mucho mejor incentivar al alumno que él se plantee y resuelva sus propios problemas. Así se acostumbrará a investigar por sí mismo. Los conocimientos que uno investiga y descubre por sí mismo, son mucho más duraderos que los que se reciben pasivamente por dictado o copiado.
En el transcurso de estas experiencias se puede transmitir la idea de que, según nuestros principios, «tres pasos hacia atrás» puede escribirse como «-3», «+(-3)» ó «-(+3)», y «cinco pasos hacia adelante» se puede escribir como «+5», «+(+5)», ó «-(-5)». (Enseñados de esta manera, los alumnos inteligentes pronto se darán cuenta de que existen todavía más formas de escribir sumas y restas. Por ejemplo, «tres pasos hacia atrás» se podría también escribir así: «-(+(-(-3)))». )
Otra forma de «experimentar» con estos principios, consiste en aplicarlos a los conceptos financieros de ingresos, gastos y deudas. Por ejemplo, se puede jugar a la tienda y encargar a unos alumnos que compren ciertos artículos, pero proveerlos con menos dinero de lo que cuesta. Así tendrán que contraer una deuda; o sea, poseen ahora una «cantidad negativa» de dinero. Después se les puede dar un monto adicional para que cancelen su deuda; y que observen: ¿Qué sucede si la cantidad de dinero adicional es mayor que la deuda que tenían? ¿y qué si es menor? – ¿Qué sucede si ya estoy endeudado, pero sigo gastando dinero? – ¿Qué sucede si me condonan (o disminuyen) una deuda? (Obviamente es lo mismo como si me regalasen la cantidad correspondiente de dinero.)
Alumnos que en su desarrollo todavía no han llegado al pensamiento abstracto (o sea, hasta los 12 a 14 años en la mayoría de los casos), necesitan primero hacer una buena cantidad de tales experiencias (¡más de lo que los profesores tradicionales asumen!). Después de hacer estas experiencias, se puede junto con ellos formular los principios descubiertos con palabras, y aplicarlos a operaciones más abstractas.
La enseñanza por principios tiene varias ventajas:
– Los principios son más fáciles de entender y de aprender, porque son sencillos.
– Los principios son más básicos y universales que las reglas burocráticas. O sea, tienen aplicación general. Una vez entendidos, los principios de los signos pueden aplicarse a situaciones de la vida real, y a operaciones más complicadas. Por ejemplo, si se introducen paréntesis, es fácil de entender que un signo ‘-‘ delante de un paréntesis invierte la dirección de todo lo que está dentro del paréntesis.
Las reglas burocráticas, en cambio, tienen aplicación solamente para el caso especial para el cual fueron creadas.
– La enseñanza basada en principios incentiva y entrena el pensamiento lógico y el razonamiento. La enseñanza burocrática, en cambio, entrena solamente el «funcionamiento» mecánico y rutinario.
– La enseñanza basada en principios provee una motivación para que el alumno siga investigando por su cuenta. Una vez que el alumno ha entendido el principio, él mismo puede aplicarlo a los distintos casos, y puede descubrir por sí mismo como «funciona» cada caso.
– Y no por último: La enseñanza basada en principios prepara al alumno a entrar en una relación correcta con Dios; porque Dios ha ordenado el universo, y la vida humana, a base de principios. Por tanto, existe una armonía y unión entre los distintos aspectos de la creación de Dios. Los principios ayudan a ver esta armonía y unión dentro de la matemática, y en la creación entera de Dios. El que aprende a hacer matemática, basado en principios, aprende también a ser fiel, honesto y consecuente en su vida personal.
La enseñanza burocrática, en cambio, enseña solamente una obediencia ciega a órdenes arbitrarias.
Unas notas adicionales:
– Cuando se presenta el significado del signo negativo como «invertir la dirección», puede suceder un pequeño «choque mental» en los alumnos que anteriormente aprendieron que el signo negativo significa «caminar hacia atrás» (resp. «restar»). Se puede aliviar un poco este choque, explicando que anteriormente ellos conocían solamente los números positivos, o sea la dirección «hacia adelante», y cuando se invierte esta dirección, necesariamente resulta un movimiento «hacia atrás». O sea, se explica el caso del «restar» como un caso especial del principio más general, de que el signo ‘-‘ «invierte la dirección».
Es cierto que entender esto, requiere ya un desarrollo mental bastante avanzado. Por eso no es recomendable introducir las operaciones con números negativos en los grados inferiores. (Aun en sexto grado puede todavía ser demasiado temprano para un buen número de los alumnos.) Es mejor esperar hasta que puedan realmente entenderlo, en vez de forzarlos a realizar operaciones que mentalmente no entienden. Según observo en mis alumnos, aquellos que fueron obligados a aprender estos temas a una edad demasiado temprana, siguen teniendo dificultades de entenderlo aun en los grados avanzados de la escuela secundaria. Vea «Esas neuronas mal conectadas».
– Algunos alumnos tienen dificultades de entender que el signo se aplica siempre, y únicamente, a la expresión que le sigue. Por ejemplo, en la operación 17 – 9, el signo ‘-‘ se aplica al número 9, pero no al número 17. A menudo este problema se origina porque profesores y libros escolares presentan ejemplos mal escritos, donde el signo está colocado al lado equivocado. (Vea en la segunda parte de «Enseñanza de matemática: ¿Cuestión de burocracia o de principios?».) Es importante ser consecuente en esto desde el primer grado, y asociar el signo siempre con el número que le sigue. Incluso para niños que recién empiezan a sumar y a restar, se pueden introducir expresiones como «-6», como expresiones matemáticas válidas. Solamente que para niños de esta edad no se interpretará como un número negativo. En su lugar, se interpretará como una instrucción «Camina seis pasos hacia atrás.» El resultado de esta instrucción dependerá del número de donde uno empieza. Por ejemplo, si me encuentro en el número 10 y llevo a cabo esta instrucción, el resultado será 4. Esto corresponde a la operación 10 – 6 = 4. Pero el significado de la instrucción «-6» es siempre el mismo, independientemente del lugar de partida. Si la representamos con una flecha, será siempre una flecha hacia la izquierda y de longitud 6, sin importar en qué lugar de la recta numérica la colocamos. Así el niño puede entender que el signo afecta únicamente el número que le sigue, pero no el número que le precede.
– En una operación como (-5) – 9, algunos alumnos concluyen erróneamente que el resultado debe ser positivo porque «menos menos es igual a más«. Pero este problema también se resuelve fácilmente, una vez que el alumno entiende que el signo se aplica únicamente a la expresión que le sigue. Así podrá entender que en este ejemplo, el número 5 tiene un único signo ‘-‘ por delante, y el número 9 también. Ningún número en este ejemplo tiene el signo «menos menos», o sea, una combinación de dos signos ‘-‘. Por tanto, ninguno de estos número invierte su dirección dos veces. El caso es diferente en este ejemplo: (-12) – (-7); aquí sí el número 7 tiene el signo «menos menos» (pero el 12 no).
Para familias educadoras y escuelas alternativas, los libros de la serie «Matemática activa» proveen un método de proveer a los niños un aprendizaje según las ideas esbozadas en este artículo.
