Extractos traducidos de «A Mathematician’s Lament», por Paul Lockhart. (Vea la introducción a la primera parte)
¿Cómo entonces debemos enseñar matemática a nuestros alumnos? – Hay que encontrar problemas naturales que los entusiasman, y que corresponden a su gusto, su personalidad y su nivel de experiencia. Hay que darles tiempo para hacer descubrimientos y formular hipótesis. Hay que ayudarles a refinar sus argumentos, y hay que crear un ambiente de una crítica matemática sana. Hay que ser flexibles y abiertos a cambiar repentinamente de dirección, según la curiosidad de los alumnos. En breve, tenemos que establecer una relación intelectual honesta con nuestros alumnos y con nuestra asignatura.
Por supuesto, existen algunas razones por qué esto es imposible. Primeramente, los exámenes estandarizados ya no dejan al profesor casi ninguna libertad. También dudo de que la mayoría de los profesores siquiera deseen entrar en una relación tan intensa con sus alumnos. Esto significaría hacerse demasiado vulnerable y asumir demasiada responsabilidad – o sea, ¡es demasiado trabajo!
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Pero la matemática es de hecho un trabajo creativo duro, igual como la pintura o la poesía. Por eso es muy difícil enseñarla. La matemática es un proceso lento y contemplativo. Crear una obra de arte requiere mucho tiempo; y solamente un profesor experimentado puede reconocer una tal obra de arte. Es más fácil establecer una lista de reglas, que asesorar a niños que aspiran a ser artistas.
La matemática es un arte, y el arte debe ser enseñado por artistas activos. O por lo menos por personas que valoran esta forma de arte y pueden reconocerla cuando la ven. ¿Aceptaría usted como profesor de música a alguien que no sabe tocar un instrumento, y que nunca escuchó una pieza de música? ¿O aceptaría usted como profesor de arte a alguien que nunca entró en un museo, ni agarró un pincel? ¿Por qué entonces aceptamos a profesores de matemática que nunca en su vida produjeron alguna pieza original de matemática, que no saben nada acerca de la historia y la filosofía de su asignatura, nada acerca de los últimos desarrollos, nada que va más allá de lo que tienen que presentar a sus alumnos infelices? ¿Qué clase de profesor es este? ¿Cómo puede alguien enseñar lo que no practica?
(…) Enseñar no tiene que ver con información. Enseñar significa entrar en una relación intelectual honesta con los alumnos. No requiere ningún método, ningún material, ningún entrenamiento. Solamente la capacidad de ser auténtico. Y si usted no puede ser auténtico, entonces usted no tiene ningún derecho de imponerse a unos niños inocentes.
Y en particular, no se puede enseñar a enseñar. La formación académica de profesores es un completo sinsentido. Oh, usted puede estudiar cursos acerca de desarrollo del niño y acerca del uso «eficaz» de una pizarra y acerca de cómo establecer un «plan de lecciones» ordenado (y esto asegura que sus lecciónes serán «planeadas», y por tanto falsas). Pero usted nunca será un profesor verdadero mientras usted no esté dispuesto a ser una persona auténtica. Enseñar significa ser transparente y honesto. Significa compartir entusiasmo, y un amor al aprendizaje. Si usted no tiene eso, todos los títulos académicos del mundo no le servirán de nada. Pero si usted tiene esas cosas, entonces no tiene necesidad de ningún título en educación.
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SIMPLICIO: Bien, yo entiendo que la matemática tiene algo que ver con el arte, y que no la estamos enseñando bien. ¿Pero no estás pidiendo demasiado de nuestro sistema escolar? No queremos formar filósofos; solamente queremos que la gente aprenda las técnicas matemáticas básicas que necesitan en nuestra sociedad.
SALVIATI: ¡Pero eso no es verdad! La matemática escolar se ocupa de muchas cosas que no tienen nada que ver con la capacidad de vivir en la sociedad – como por ejemplo álgebra o trigonometría. Estos son completamente irrelevantes para la vida diaria. Yo simplemente sugiero, si queremos introducir tales temas, que lo hagamos de una manera orgánica y natural. (…) Nosotros aprendemos cosas porque nos interesan ahora, no porque podrían ser útiles más adelante. Pero de los niños exigimos que aprendan conceptos matemáticos, solamente porque «en algún momento en el futuro» podrían ser útiles.
SIMPLICIO: ¿Pero no deberían saber calcular los niños de tercer grado?
SALVIATI: ¿Por qué? ¿Quieres entrenarlos para que sepan sumar 427 + 389? Esta no es la clase de preguntas que hacen los niños de ocho años normalmente. Aun muchos adultos no comprenden realmente el valor posicional en el sistema decimal. ¿Y tú esperas de los niños de ocho años que tengan un concepto claro de eso? ¿O no te importa si lo comprenden o no? Es simplemente demasiado temprano para esta clase de entrenamiento técnico. Uno puede hacerlo; pero al fin de cuentas hace más daño que provecho a los niños. Sería mucho mejor esperar hasta que despierte su propia curiosidad natural acerca de los números.
SIMPLICIO: ¿Qué debemos entonces hacer con los niños pequeños en las clases de matemática?
SALVIATI: ¡Déjenlos jugar! Enséñenles ajedrez y go, hex y chaquete, nim, o cualquier otro. Inventen sus juegos propios. Resuelvan rompecabezas y adivinanzas. Confróntenlos con situaciones donde tienen que razonar de manera deductiva. No se preocupen por las técnicas y notaciones. Ayúdenles a convertirse en pensadores matemáticos activos y creativos.
SIMPLICIO: Esto me parece un riesgo terrible. Si después nuestros alumnos ni siquiera saben sumar y restar, ¿entonces qué?
SALVIATI: Pienso que es un riesgo mucho más grande, eliminar toda expresión creativa de las escuelas, y solamente dejar que los alumnos memoricen datos, fórmulas y listas de palabras. (…)
SIMPLICIO: Pero cada persona educada debería por lo menos tener ciertos conocimientos matemáticos básicos.
SALVIATI: Sí, ¡y el más importante de estos conocimientos es saber que la matemática es una forma de arte, que la gente practica para su propia diversión! Sí, es bueno que la gente sepa algo acerca de los números y las formas. Pero esto no viene con la memorización mecánica. Las cosas se aprenden haciéndolas; y tú retienes en tu mente lo que es importante para ti. Millones de adultos tienen fórmulas matemáticas en sus cabezas, pero no tienen ninguna idea de lo que significan. Nunca tuvieron una oportunidad de descubrir o inventar tales cosas por sí mismos. (…) Ni siquiera tuvieron la oportunidad de sentir curiosidad por una pregunta, porque recibieron la respuesta antes de hacer la pregunta.
SIMPLICIO: ¡Pero no tenemos tanto tiempo para que cada alumno pudiera inventar toda la matemática por sí mismo! La humanidad demoró siglos para descubrir el teorema de Pitágoras. ¿Cómo podría un niño escolar promedio lograr esto?
SALVIATI: No estoy exigiendo esto. Entiéndeme bien. Yo me quejo de que el arte y el invento, la historia y la filosofía, los contextos y las perspectivas no tienen ningún lugar en el plan de enseñanza de la matemática. No digo que las notaciones, las técnicas y los conocimientos no importen. Por supuesto que son importantes. Necesitamos ambos. (…) Pero la gente aprende mejor cuando están ellos mismos involucrados en el proceso que produce los resultados.(…)
El currículo de matemática
(…) Lo más llamativo en el currículo de matemática es su rigidez. En todo lugar se hacen y se dicen exactamente las mismas cosas, de exactamente la misma manera y en exactamente el mismo orden. Esto tiene que ver con el «mito de la escalera»: la idea de que la matemática se pueda ordenar en forma de una única secuencia de temas, cada uno un poco más «avanzado» o «superior» que el anterior. Así la matemática escolar se convierte en una carrera – algunos alumnos están «más adelantados», y los padres de otros temen que su hijo podría «quedarse atrás». ¿Pero adónde exactamente lleva esta carrera? ¿En qué consiste su meta? Es una carrera triste hacia ningún lugar. Al final te quedas privado de una educación matemática, y ni siquiera lo sabes.
La verdadera matemática no se entrega en conservas. Los problemas te llevan adonde tú les sigues. El arte no es ninguna carrera. (…)
En lugar de viajes de investigación, tenemos reglas y reglamentos. Nunca escuchamos a un alumno decir: «Tuve curiosidad de saber qué sucede si se eleva un número a una potencia negativa; y descubrí que hace sentido cuando uno lo entiende como el valor recíproco.» – En lugar de esto, los profesores y los libros escolares presentan la «regla para exponentes negativos» como un hecho consumado, y no dicen nada acerca de la estética de esta decisión, o como uno puede llegar a esta idea.
(…)
Los alumnos no reciben problemas en un contexto natural, donde ellos mismos podrían decidir qué quieren decir con sus palabras, y qué significados desean transmitir. En lugar de esto, son sometidos a una secuencia interminable de «definiciones» a priori; definiciones que no son fundamentadas de ninguna manera razonable. El currículo está obsesionado con términos técnicos y nomenclatura, aparentemente con el único propósito de proveer preguntas para los exámenes. Ningún matemático del mundo se preocuparía por hacer una distinción sin sentido como esta: 2 1/2 es un «número mixto», mientras 5/2 es una «fracción impropia». ¡Los dos números son sencillamente iguales! Es exactamente el mismo número con exactamente las mismas propiedades. ¿Quién, excepto un profesor de cuarto grado, usa palabras como estas?
Claro que es más fácil tomar un examen acerca de definiciones sin sentido, que inspirar a los alumnos a crear algo hermoso y encontrar ellos mismos el significado de su creación. Aunque estamos de acuerdo con que un vocabulario básico matemático común es importante; pero esto no lo es. ¡Qué triste es, que los alumnos de quinto grado son obligados a decir «cuadrilátero» en vez de «figura con cuatro lados», pero que nunca reciben una oportunidad de usar palabras como «conjetura» o «contraejemplo»!
Nota del traductor: He aquí un ejemplo aun más exótico: ¿Sabe usted qué es un «número codificado»? ¿No? Si usted no es por casualidad un(a) autor(a) de libros escolares, usted está disculpado, pues nadie más usa esta palabra. Estos autores entienden con «número codificado» un número escrito con sus siglas para «unidades», «decenas», «centenas», etc, como este: «3418 = 3UM 4C 1D 8U».
¿Y qué es entonces un «número decodificado»? Según el sentido común, uno pensaría que sería el número escrito normalmente, o sea, «3418». Pero no, según los autores escolares, un «número decodificado» es un «número codificado» donde en vez de las siglas se escriben los valores efectivos de las cifras: «3418 = 3000 + 400 + 10 + 8».
¿Para qué tienen que aprender los niños tales términos absurdos que nunca nadie usa, como si fuera un concepto matemático sumamente importante? (Por cierto, los matemáticos verdaderos no usan estos términos.) Sospecho que tales palabras fueron inventadas con el propósito específico de justificar el aumento irrazonable de las horas académicas para los niños. (Vea «Más cárcel para los niños».)
Pongamos las cosas en su perspectiva: Estas palabras arbitrariamente inventadas se meten a la fuerza en la cabeza de niños de diez años que todavía no saben los nombres de los animales y plantas más comunes de su región; ni saben los nombres de los útiles de cocina ni de otros objetos de uso común en el hogar. Y probablemente no llegarán a saber todo eso hasta que sean adultos, porque el sistema actual los mantiene tan ocupados con clases y tareas que no tienen tiempo para ayudar a sus padres en casa, ni para salir al campo y conocer la naturaleza. Y su cerebro está demasiado ocupado con retener palabras y definiciones inútiles. Saber lo que es un «número codificado», les es más importante que saber lo que es un colador o un alicate, y saber para qué se usan.
(…) Nuestras clases de matemática son atestadas con nomenclatura sin sentido. En la práctica, el plan de enseñanza ni siquiera es una secuencia de temas o ideas; es una secuencia de notaciones. Da la impresión de que la matemática es una lista secreta de símbolos místicos, y de reglas para su manipulación. A los niños pequeños les dan ‘+’ y »÷’. Cuando son más grandes, se les puede encomendar ‘√’, y después ‘x‘ y ‘y‘ y toda la alquimia de los paréntesis. Finalmente son adoctrinados en el uso de ‘sin’, ‘log’, ‘f(x)’; y si son considerados dignos, ‘d’ y ‘∫’. Todo sin haber tenido una sola experiencia matemática significativa.
(…) Los profesores de idiomas saben que la ortografía y la pronunciación se aprenden mejor en el contexto de la lectura y escritura. Los profesores de historia saben que los nombres y las fechas no son interesantes si uno no conoce el trasfondo de los eventos. ¿Por qué la enseñanza de la matemática se queda atascada en el siglo XIX? Compare su experiencia al aprender álgebra con este recuerdo de Bertrand Russell:
«Tuve que aprender de memoria: ‘El cuadrado de la suma de dos números es igual a la suma de sus cuadrados más dos veces su producto.’ No tuve ni la idea más remota de lo que significaba esto, y cuando no pude recordar las palabras, mi profesor me tiró el libro a la cabeza. Esto no estimuló mi intelecto de ninguna manera.»
¿Acaso las cosas son diferentes hoy en día?
