{"id":46,"date":"2012-01-28T15:30:18","date_gmt":"2012-01-28T20:30:18","guid":{"rendered":"http:\/\/educacioncristianaalternativa.wordpress.com\/?p=46"},"modified":"2012-01-28T15:30:18","modified_gmt":"2012-01-28T20:30:18","slug":"aprender-matematica-cuestion-de-burocracia-o-de-principios-parte-3","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/homeschoolperu.com\/educacioncristianaalternativa\/2012\/01\/28\/aprender-matematica-cuestion-de-burocracia-o-de-principios-parte-3\/","title":{"rendered":"Aprender matem\u00e1tica: \u00bfCuesti\u00f3n de burocracia o de principios? – Parte 3"},"content":{"rendered":"

Matem\u00e1tica basada en principios<\/strong><\/p>\n

Ahora ya debe estar claro el contraste entre una ense\u00f1anza burocr\u00e1tica y una ense\u00f1anza basada en principios. Sin embargo, deseo a\u00f1adir unos puntos m\u00e1s acerca de los principios.<\/p>\n

Hemos visto que los principios de la matem\u00e1tica son universales y eternos. Adem\u00e1s, no son arbitrarios ni caprichosos. Las leyes de la matem\u00e1tica est\u00e1n inseparablemente ligadas a la realidad tal como es (creada por Dios, a\u00f1ado como cristiano). Por eso, las leyes matem\u00e1ticas no son meras construcciones mentales. Las leyes de la matem\u00e1tica nos ense\u00f1an algo acerca de la estructura del universo tal como es. Esta es una raz\u00f3n m\u00e1s para hacer el esfuerzo de entenderlas.<\/p>\n

Un principio universal tiene muchas aplicaciones. No como un procedimiento burocr\u00e1tico, que tiene aplicaci\u00f3n solamente en los casos especiales para los que fue creado. Por ejemplo, un alumno que ha entendido el principio de la conmutabilidad, lo puede aplicar a toda clase de operaciones. Pero un alumno que es ense\u00f1ado burocr\u00e1ticamente, tiene que aprender la ley conmutativa por lo menos diez veces: Primero para la suma horizontal, despu\u00e9s para la suma vertical. (Pueden pasar varios a\u00f1os hasta que se d\u00e9 cuenta de que la suma horizontal y vertical son exactamente lo mismo.) Despu\u00e9s, cuando aprende fracciones, tiene que aprender tambi\u00e9n \u00abla propiedad conmutativa de la suma de fracciones\u00bb. Despu\u00e9s tiene que aprenderla nuevamente para los n\u00fameros irracionales, y finalmente (si no se desanima antes de llegar a este nivel) para los n\u00fameros complejos. Y adem\u00e1s, todo lo mencionado tambi\u00e9n para la multiplicaci\u00f3n.<\/p>\n

En cambio, el alumno que entiende principios, puede aplicar por s\u00ed mismo la ley conmutativa a toda clase de sumas y multiplicaciones. Tambi\u00e9n puede entender la conmutaci\u00f3n de sumas y restas mixtas (p.ej. 13 + 9 – 3 = 13 – 3 + 9), y de multiplicaciones y divisiones mixtas (p.ej. 60 x 13 : 5 = 60 : 5 x 13), y lo aprender\u00e1 sin dificultad, porque podr\u00e1 ver estos casos como variaciones de un mismo principio que ya entiende. Si es inteligente, podr\u00e1 incluso descubrir por s\u00ed mismo por qu\u00e9 la potencia no es conmutativa.<\/p>\n

Los principios matem\u00e1ticos permiten tambi\u00e9n comprender las relaciones y conexiones entre temas distintos, no como en la ense\u00f1anza burocr\u00e1tica donde cada tema queda como un trozo suelto y aislado. Como hemos mencionado arriba, una ense\u00f1anza basada en principios hace entender p.ej. que la multiplicaci\u00f3n y divisi\u00f3n larga se basa en la ley distributiva; que la simplificaci\u00f3n de fracciones se basa en el MCD; y que el denominador com\u00fan de varias fracciones es el MCM.<\/p>\n

Los principios matem\u00e1ticos ense\u00f1an cualidades del car\u00e1cter, como p.ej. el orden. Pero no un orden que se impone por un mandamiento autoritario del profesor; mas bien un orden que permite relacionar y dominar las materias m\u00e1s distintas, entendi\u00e9ndolas desde sus principios correspondientes.
\nLos principios matem\u00e1ticos ense\u00f1an obediencia. Pero no una obediencia ciega hacia \u00f3rdenes arbitrarias; mas bien una obediencia hacia principios superiores, comprendiendo tambi\u00e9n\u00a0por qu\u00e9<\/em>\u00a0es bueno obedecer. Y esta clase de obediencia, al final de cuentas trae libertad.<\/p>\n

La libertad de la matem\u00e1tica consiste en que es universal. La matem\u00e1tica no depende de autoridades cient\u00edficas, ni tiene que someterse a los caprichos de alg\u00fan gobernante. La matem\u00e1tica es de dominio p\u00fablico; cada uno est\u00e1 en la libertad de practicarla y de descubrir cosas nuevas. (As\u00ed fue posible por ejemplo, que el ingl\u00e9s Newton y el alem\u00e1n Leibniz, trabajando cada uno por su cuenta y separados por miles de kil\u00f3metros, descubrieran ambos, independientemente el uno del otro, el c\u00e1lculo infinitesimal.)
\nDe esta manera, la matem\u00e1tica en s\u00ed es una protesta fuerte contra dos corrientes dominantes de nuestro tiempo: el\u00a0relativismo<\/a>\u00a0(que ense\u00f1a que no existen verdades absolutas), y el\u00a0totalitarismo<\/a>\u00a0(que ense\u00f1a que el estado debe controlar todos los aspectos de la vida).<\/p>\n

Los principios matem\u00e1ticos permiten al alumno aplicarlos por su cuenta y aun desarrollar sus propios procedimientos. As\u00ed podr\u00e1n incluso desarrollar su creatividad en la matem\u00e1tica. Acerca de esto tambi\u00e9n un ejemplo hist\u00f3rico:<\/p>\n

Cierto profesor exig\u00eda a sus alumnos de primaria, que sumaran todos los n\u00fameros de 1 a 100. Posiblemente quer\u00eda pasar un rato tranquilo sin ser interrumpido por los alumnos. Pero su tranquilidad no dur\u00f3 mucho tiempo, porque al cabo de pocos minutos se le acerc\u00f3 un alumno con el resultado correcto escrito en su hoja. \u00ab\u00bfC\u00f3mo lo has podido calcular tan r\u00e1pidamente?\u00bb, pregunt\u00f3 el profesor. – \u00abF\u00e1cil\u00bb, respondi\u00f3 el alumno. \u00abCuando sumo 1+100, da 101. Sumo 2+99 y tambi\u00e9n da 101. 3+98 tambi\u00e9n es 101. Contin\u00fao as\u00ed hasta 50+51, son 50 pares de n\u00fameros, entonces la suma es 50 x 101 = 5050.\u00bb – M\u00e1s tarde, este alumno se convirti\u00f3 en uno de los matem\u00e1ticos m\u00e1s famosos de todos los tiempos. Su nombre fue Carl Friedrich Gauss.<\/p>\n

\u00bfQu\u00e9 hubiera dicho un profesor burocr\u00e1tico de nuestros tiempos al peque\u00f1o Gauss? – \u00abNo, no puedes hacerlo as\u00ed, tienes que sumar los n\u00fameros uno por uno.\u00bb – \u00abNo puedes usar este procedimiento, esto viene m\u00e1s tarde en el curr\u00edculo.\u00bb – \u00bfCu\u00e1ntos j\u00f3venes Gausses de nuestros tiempos se habr\u00e1n echado a perder por culpa del sistema escolar actual?<\/p>\n

Los principios matem\u00e1ticos pueden incluso ense\u00f1arnos a admirar la belleza en las matem\u00e1ticas. Como un peque\u00f1o ejemplo, vea estas dos tablas:<\/p>\n

\n\n\n\n
Pinta los m\u00faltiplos de 9 con verde,
\nlos m\u00faltiplos de 10 con amarillo,
\nlos m\u00faltiplos de 11 con rojo.<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n
1<\/td>\n2<\/td>\n3<\/td>\n4<\/td>\n5<\/td>\n6<\/td>\n7<\/td>\n8<\/td>\n9<\/td>\n10<\/td>\n<\/tr>\n
11<\/td>\n12<\/td>\n13<\/td>\n14<\/td>\n15<\/td>\n16<\/td>\n17<\/td>\n18<\/td>\n19<\/td>\n20<\/td>\n<\/tr>\n
21<\/td>\n22<\/td>\n23<\/td>\n24<\/td>\n25<\/td>\n26<\/td>\n27<\/td>\n28<\/td>\n29<\/td>\n30<\/td>\n<\/tr>\n
31<\/td>\n32<\/td>\n33<\/td>\n34<\/td>\n35<\/td>\n36<\/td>\n37<\/td>\n38<\/td>\n39<\/td>\n40<\/td>\n<\/tr>\n
41<\/td>\n42<\/td>\n43<\/td>\n44<\/td>\n45<\/td>\n46<\/td>\n47<\/td>\n48<\/td>\n49<\/td>\n50<\/td>\n<\/tr>\n
51<\/td>\n52<\/td>\n53<\/td>\n54<\/td>\n55<\/td>\n56<\/td>\n57<\/td>\n58<\/td>\n59<\/td>\n60<\/td>\n<\/tr>\n
61<\/td>\n62<\/td>\n63<\/td>\n64<\/td>\n65<\/td>\n66<\/td>\n67<\/td>\n68<\/td>\n69<\/td>\n70<\/td>\n<\/tr>\n
71<\/td>\n72<\/td>\n73<\/td>\n74<\/td>\n75<\/td>\n76<\/td>\n77<\/td>\n78<\/td>\n79<\/td>\n80<\/td>\n<\/tr>\n
81<\/td>\n82<\/td>\n83<\/td>\n84<\/td>\n85<\/td>\n86<\/td>\n87<\/td>\n88<\/td>\n89<\/td>\n90<\/td>\n<\/tr>\n
91<\/td>\n92<\/td>\n93<\/td>\n94<\/td>\n95<\/td>\n96<\/td>\n97<\/td>\n98<\/td>\n99<\/td>\n100<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/td>\nPinta los n\u00fameros que terminan en 0 con amarillo,
\nlos que terminan en 5 con anaranjado,
\nlos que terminan en 3 con azul,
\nlos que terminan en 7 con verde.<\/p>\n
\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n
0<\/td>\n0<\/td>\n0<\/td>\n0<\/td>\n0<\/td>\n0<\/td>\n0<\/td>\n0<\/td>\n0<\/td>\n0<\/td>\n0<\/td>\n<\/tr>\n
0<\/td>\n1<\/td>\n2<\/td>\n3<\/td>\n4<\/td>\n5<\/td>\n6<\/td>\n7<\/td>\n8<\/td>\n9<\/td>\n10<\/td>\n<\/tr>\n
0<\/td>\n2<\/td>\n4<\/td>\n6<\/td>\n8<\/td>\n10<\/td>\n12<\/td>\n14<\/td>\n16<\/td>\n18<\/td>\n20<\/td>\n<\/tr>\n
0<\/td>\n3<\/td>\n6<\/td>\n9<\/td>\n12<\/td>\n15<\/td>\n18<\/td>\n21<\/td>\n24<\/td>\n27<\/td>\n30<\/td>\n<\/tr>\n
0<\/td>\n4<\/td>\n8<\/td>\n12<\/td>\n16<\/td>\n20<\/td>\n24<\/td>\n28<\/td>\n32<\/td>\n36<\/td>\n40<\/td>\n<\/tr>\n
0<\/td>\n5<\/td>\n10<\/td>\n15<\/td>\n20<\/td>\n25<\/td>\n30<\/td>\n35<\/td>\n40<\/td>\n45<\/td>\n50<\/td>\n<\/tr>\n
0<\/td>\n6<\/td>\n12<\/td>\n18<\/td>\n24<\/td>\n30<\/td>\n36<\/td>\n42<\/td>\n48<\/td>\n54<\/td>\n60<\/td>\n<\/tr>\n
0<\/td>\n7<\/td>\n14<\/td>\n21<\/td>\n28<\/td>\n35<\/td>\n42<\/td>\n49<\/td>\n56<\/td>\n63<\/td>\n70<\/td>\n<\/tr>\n
0<\/td>\n8<\/td>\n16<\/td>\n24<\/td>\n32<\/td>\n40<\/td>\n48<\/td>\n56<\/td>\n64<\/td>\n72<\/td>\n80<\/td>\n<\/tr>\n
0<\/td>\n9<\/td>\n18<\/td>\n27<\/td>\n36<\/td>\n45<\/td>\n54<\/td>\n63<\/td>\n72<\/td>\n81<\/td>\n90<\/td>\n<\/tr>\n
0<\/td>\n10<\/td>\n20<\/td>\n30<\/td>\n40<\/td>\n50<\/td>\n60<\/td>\n70<\/td>\n80<\/td>\n90<\/td>\n100<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/div>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/div>\n

Cuando un alumno completa correctamente una tarea como esta, es premiado con un dibujo armonioso y se da cuenta de que la matem\u00e1tica tiene tambi\u00e9n un valor est\u00e9tico. El patr\u00f3n de colores que surge en estas tareas, no es uno que el profesor tuviera que inventar de manera arbitraria: Este patr\u00f3n ya est\u00e1 dentro de la estructura de la tabla de multiplicaci\u00f3n (por ejemplo); los colores solamente ayudan a hacerlo visible.
\nExisten muchos principios matem\u00e1ticos que se pueden visualizar de una manera parecida. Muchas figuras geom\u00e9tricas se prestan para formar dibujos que son armoniosas, est\u00e9ticas, y a la vez expresiones de verdades matem\u00e1ticas. Mis hijos todav\u00eda no han estudiado las propiedades de las secciones c\u00f3nicas, pero observaron fascinados un programa de computadora que construye elipses e hip\u00e9rbolas paso por paso. Observaciones como estas invitan a seguir investigando y a descubrir propiedades matem\u00e1ticas por uno mismo. Me imagino el asombro y deleite que debe haber experimentado Gauss al descubrir que las ra\u00edces de la ecuaci\u00f3n\u00a0x<\/strong><\/em>n<\/strong><\/em><\/sup>\u00a0= a<\/strong><\/em>, en el plano complejo, est\u00e1n ubicadas en los v\u00e9rtices de un pol\u00edgono regular de\u00a0n<\/strong><\/em>\u00a0lados. (Y desde all\u00ed dedujo c\u00f3mo se puede construir un pol\u00edgono regular de 17 lados, un heptadec\u00e1gono, solamente con comp\u00e1s y regla. Gauss hizo este descubrimiento a los 19 a\u00f1os de edad, siendo todav\u00eda estudiante.) Aunque este tema ya no est\u00e1 dentro del curr\u00edculo escolar; pero ilustra que la armon\u00eda de las verdades matem\u00e1ticas se manifiesta en todos los niveles, desde el m\u00e1s elemental hasta el m\u00e1s avanzado.<\/p>\n

Encontramos tales patrones matem\u00e1ticos armoniosos aun en la naturaleza. \u00bfQui\u00e9n no admira la estructura hexagonal de un panal de abejas? No solamente es est\u00e9tica; tambi\u00e9n expresa la verdad matem\u00e1tica de que el hex\u00e1gono es uno de los pocos pol\u00edgonos regulares que pueden llenar un plano perfectamente; y de entre estos pol\u00edgonos, es aquel que tiene la relaci\u00f3n m\u00e1s favorable entre per\u00edmetro y \u00e1rea. – Se ha descubierto que las semillas de girasol dentro de la flor forman un patr\u00f3n de dos conjuntos de espirales, en sentido contrario; y que el n\u00famero de espirales que giran hacia la derecha resp. a la izquierda, forma siempre un par de n\u00fameros de la secuencia de Fibonacci (p.ej. 21:34, 34:55, \u00f3 55:89.) – Ya mencionamos brevemente el descubrimiento de Kepler acerca de las \u00f3rbitas de los planetas. Las leyes de Kepler revelan una armon\u00eda asombrosa en las leyes matem\u00e1ticas que rigen aun el movimiento de los cuerpos celestiales.<\/p>\n

Existen unos pocos temas matem\u00e1ticos que desaf\u00edan esta impresi\u00f3n general de armon\u00eda. Uno de ellos es el de los n\u00fameros primos, que al parecer no siguen ning\u00fan orden. Es muy f\u00e1cil encontrar un algoritmo que produce con seguridad un n\u00famero compuesto. (P.ej. se toman dos n\u00fameros naturales cualesquieras, excepto el 1, y se multiplican.) Pero hasta hoy no se ha descubierto ning\u00fan algoritmo que produce con seguridad un n\u00famero primo; aunque algunos matem\u00e1ticos han dedicado grandes esfuerzos a encontrar uno. Los n\u00fameros primos est\u00e1n en el n\u00facleo de algunos de los problemas matem\u00e1ticos m\u00e1s fascinantes que quedan hasta la fecha sin resolver. \u00bfPor qu\u00e9 se esfuerzan tanto los matem\u00e1ticos por encontrar un orden en los n\u00fameros primos? Es que alguien que ha entendido los principios de la matem\u00e1tica, no puede aceptar que alg\u00fan objeto matem\u00e1tico sea \u00abarbitrario\u00bb o \u00abdesordenado\u00bb.\u00a0Tiene que existir<\/em>\u00a0alguna clase de \u00aborden\u00bb, aunque quiz\u00e1s no es la clase de orden que los matem\u00e1ticos est\u00e1n buscando hasta ahora. De hecho, se han encontrado algunas propiedades sorprendentemente regulares en cuanto a la distribuci\u00f3n estad\u00edstica promedia de los n\u00fameros primos; solamente hace falta encontrar alguna que permita hallar n\u00fameros primos particulares. Probablemente este es uno de estos problemas donde la ciencia espera todav\u00eda la llegada de alg\u00fan genio que se atreve a romper las limitaciones de las \u00abrespuestas de selecci\u00f3n m\u00faltiple\u00bb que las generaciones anteriores han propuesto.<\/p>\n

Al mismo tiempo, los problemas relacionados con los n\u00fameros primos nos se\u00f1alan lo que ya dijimos antes: que la matem\u00e1tica es m\u00e1s grande que nuestras propias mentes y nuestro mundo visible. La matem\u00e1tica viene de Dios quien no se deja controlar por el hombre. Por tanto, siempre quedar\u00e1n problemas matem\u00e1ticos sin resolver. Nunca podremos dominar la matem\u00e1tica completa con nuestra mente limitada – y mucho menos con nuestros procedimientos burocr\u00e1ticos. Siempre habr\u00e1 un \u00abm\u00e1s all\u00e1\u00bb a descubrir.<\/p>\n

\u00bfC\u00f3mo escapar de la ense\u00f1anza burocr\u00e1tica?<\/strong><\/p>\n

He dibujado dos cuadros en contraste: la ense\u00f1anza burocr\u00e1tica y la ense\u00f1anza por principios. Queda la pregunta: \u00bfC\u00f3mo llegamos desde \u00abaqu\u00ed\u00bb hasta \u00aball\u00e1\u00bb? La ense\u00f1anza burocr\u00e1tica es la \u00abrealidad\u00bb que domina gran parte del mundo en la actualidad. Pero \u00e9sta no corresponde a la \u00abRealidad\u00bb (la voluntad del Rey) de la matem\u00e1tica y del universo. \u00bfC\u00f3mo llegamos desde esta \u00abrealidad\u00bb (con min\u00fascula) a aquella \u00abRealidad\u00bb (con may\u00fascula)?<\/p>\n

Primeramente, tenemos que entender que la \u00abrealidad\u00bb de aqu\u00ed es incompatible con la verdadera \u00abRealidad\u00bb. Con palabras m\u00e1s claras: Dentro del marco del sistema escolar dominante de la actualidad, es imposible ense\u00f1ar y comprender la matem\u00e1tica desde sus principios. La \u00fanica soluci\u00f3n verdadera consistir\u00eda en salir de este sistema escolar, y comenzar con un\u00a0nuevo sistema\u00a0escolar fundamentado en principios<\/em>. Para los valientes, esto es posible, aunque sea solamente en el marco de una peque\u00f1a escuela privada independiente, o del propio hogar.<\/p>\n

Pero aun aquellos que se lanzan a un nuevo experimento educativo, han sido educados ellos mismos (en su mayor\u00eda) dentro del sistema actual, y necesitan sacudirse de muchas costumbres y de muchos prejuicios que han adquirido all\u00ed. Y por el otro lado, hay profesores, padres y alumnos que est\u00e1n dentro del sistema actual, pero est\u00e1n viendo las debilidades de este sistema y tienen la esperanza de hacer por lo menos algunas cosas de manera diferente, hasta donde tengan la libertad de hacerlo. Para ambos grupos, los de afuera y los de adentro del sistema, se plantea la misma pregunta: \u00bfQu\u00e9 puedo hacer, en la labor diaria, para volver a los principios?<\/p>\n

Dar\u00e9 solamente algunas peque\u00f1as ideas, y cada uno que est\u00e9 interesado en ellas, podr\u00e1 ampliarlas.<\/p>\n

El lector atento ya se habr\u00e1 dado cuenta de que me gusta la pregunta\u00a0\u00ab\u00bfPor qu\u00e9?\u00bb<\/strong><\/em>. Esta pregunta es una muy buena herramienta para golpear las paredes de una c\u00e1rcel burocr\u00e1tica, y para abrir mentes cerradas (hasta donde lo permiten). Como profesor, exija explicaciones de sus estudiantes, explicaciones basadas en principios. El alumno dice p.ej: \u00abEste n\u00famero es divisible entre 5.\u00bb – Pregunte: \u00ab\u00bfPor qu\u00e9? \u00bfDe d\u00f3nde lo deduces?\u00bb (Y hay que hacer esta pregunta, independientemente de si la respuesta del alumno es correcta o equivocada. Si la respuesta es correcta, ayudamos al alumno a ver m\u00e1s claramente en qu\u00e9 principios se basa la respuesta. Si es equivocada, podemos guiar al alumno a reconocer \u00e9l mismo su error, aplicando principios de manera correcta.) – Algunos alumnos se molestan cuando les hago muchas preguntas de este tipo, pero yo les digo: \u00ab\u00bfC\u00f3mo puedes saber que has entendido algo? Solamente cuando puedes explicarlo a otra persona. Por eso te hago preguntas, hasta que t\u00fa mismo puedas explicarme lo que haces.\u00bb – Puesto que no trabajo dentro del sistema escolar, tengo la libertad de seguir con este proceso hasta su conclusi\u00f3n, o sea, hasta que el alumno sea capaz de explicar no solamente lo que hace, sino tambi\u00e9n el\u00a0por qu\u00e9<\/em>. Y en este momento, los procedimientos incomprensibles y misteriosos que ha aprendido, empiezan a adquirir sentido.<\/p>\n

Tambi\u00e9n como estudiante, no se contente con las exposiciones del profesor. P\u00eddale explicaciones. \u00abEste n\u00famero va all\u00ed.\u00bb – \u00ab\u00bfPor qu\u00e9?\u00bb – O: \u00abAqu\u00ed hay que multiplicar.\u00bb – \u00ab\u00bfPor qu\u00e9 no sumar? \u00bfo dividir?\u00bb. Un buen profesor se alegrar\u00e1 de esta clase de preguntas y las tomar\u00e1 como una ocasi\u00f3n para ense\u00f1ar principios. Si el profesor se molesta con esta clase de preguntas, entonces no espere de \u00e9l que sea capaz de ense\u00f1arle matem\u00e1tica. Los bur\u00f3cratas no nos permiten preguntar \u00bfPor qu\u00e9?: \u00abPorque as\u00ed se hace, y punto.\u00bb Si no haces caso, el bur\u00f3crata no atiende tu tr\u00e1mite. El bur\u00f3crata solo desea demostrar que \u00e9l es la autoridad y que \u00e9l puede hostigarte de cualquier manera que desea. Pero un verdadero educador, un pedagogo, te ayudar\u00e1 a llegar hasta el fondo de los asuntos, y a aplicar t\u00fa mismo los principios que descubres.<\/p>\n

Como padre de familia interesado, haga esta pregunta\u00a0\u00bfPor qu\u00e9?<\/em>\u00a0a ambas partes: a sus hijos, y a los profesores de sus hijos. Ay\u00fadeles a ambos a razonar: Al ni\u00f1o, para que pueda ver m\u00e1s all\u00e1 del cerco de los procedimientos prescritos. Y al profesor, para que se atreva a abrir la c\u00e1rcel en la que el sistema escolar lo encerr\u00f3 a \u00e9l y a sus alumnos.<\/p>\n

La estrategia del\u00a0\u00bfPor qu\u00e9?<\/em>\u00a0requiere tiempo. Una ense\u00f1anza basada en principios tomar\u00e1 mucho m\u00e1s tiempo para sentar bien los fundamentos m\u00e1s elementales de la matem\u00e1tica. No se contentar\u00e1 con que el alumno pueda\u00a0reproducir<\/em>\u00a0algo; profundizar\u00e1 hasta que el alumno llegue a la\u00a0comprensi\u00f3n<\/em>\u00a0de lo que hace. Algunos alumnos que entraron a la escuela demasiado temprano, demorar\u00e1n varios a\u00f1os hasta que puedan explicar por s\u00ed mismos c\u00f3mo desplazarse por la recta num\u00e9rica, y por qu\u00e9 en una situaci\u00f3n hay que sumar y en otra restar. Pero si invertimos tiempo y paciencia hasta que comprendan esto, entonces estos alumnos ya no cometer\u00e1n errores de signos m\u00e1s adelante en ecuaciones y en operaciones complicadas. – Por el otro lado, aquellos alumnos que son apresurados a temprana edad a sumar mec\u00e1nicamente n\u00fameros de tres cifras, a multiplicar y a calcular con fracciones,\u00a0nunca<\/em>\u00a0tendr\u00e1n el tiempo necesario para llegar a la comprensi\u00f3n de los principios fundamentales, y por tanto tendr\u00e1n dificultades mayores m\u00e1s adelante.<\/p>\n

– Otra estrategia buena es demostrar a los alumnos las\u00a0conexiones entre temas aparentemente distintos, pero que se basan en los mismos principios<\/strong>. Ya mencion\u00e9 algunos ejemplos al hablar de la ley distributiva, y de las fracciones. Dar\u00e9 otro ejemplo:<\/p>\n\n\n\n
Unos alumnos dificultaban en resolver problemas con \u00e1reas, tales como este:\u00bbCalcula el \u00e1rea sombreada (en el dibujo a la derecha), si el lado del cuadrado mide 6 cm.\u00bbAhora, estos alumnos estaban familiarizados con representaciones gr\u00e1ficas de fracciones, como en los dibujos abajo:<\/td>\n\"\"<\/a><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

Cuando se les ense\u00f1aba estos dibujos en el contexto de las fracciones, no ten\u00edan ninguna dificultad para reconocer que el \u00e1rea sombreada en el dibujo izquierdo era 3\/8 del c\u00edrculo, y en el dibujo a la derecha 5\/8 del cuadrado. Solamente que nunca se les hab\u00eda ocurrido la idea de interpretar tales dibujos en el contexto de \u00ab\u00e1reas\u00bb. Una vez que reconocieron la similitud entre estos dibujos y el problema planteado arriba, f\u00e1cilmente entendieron que all\u00ed el \u00e1rea sombreada es 2\/8, o sea 1\/4, del cuadrado. Los dos temas se basan en un principio com\u00fan: la divisi\u00f3n de un \u00e1rea en partes iguales.<\/p>\n

Entonces, no se limite a seguir los procedimientos presentados en el libro escolar. Identifique los principios en los que se basa el procedimiento (preguntando\u00bfPor qu\u00e9?<\/em>). Y tan pronto como haya avistado un principio matem\u00e1tico, apl\u00edquelo a las situaciones m\u00e1s variadas. Al inicio, a los alumnos les parecer\u00e1 como un salto inexplicable de un tema al otro. Pero si les podemos hacer entender el principio com\u00fan de estos temas variados, su comprensi\u00f3n se ensancha, y pueden dar el paso desde una matem\u00e1tica basada en \u00abt\u00e9cnicas\u00bb, hacia una matem\u00e1tica basada en principios.<\/p>\n

Un ejemplo m\u00e1s: Los problemas de longitudes de segmentos en una misma recta (que actualmente se encuentran en libros escolares de cuarto y quinto grado), se basan en los mismos principios como la suma y resta en la recta num\u00e9rica (que se trata desde el primer grado). Estos principios a su vez son los mismos como los que rigen los problemas con el equilibrio de fuerzas en f\u00edsica, y la geometr\u00eda vectorial (que se tratan en los grados m\u00e1s avanzados de la secundaria); solamente que all\u00ed se ampl\u00edan a un espacio de dos y de tres dimensiones, en vez del espacio unidimensional de la recta num\u00e9rica. As\u00ed vemos que temas muy \u00abelementales\u00bb son conectados por principios comunes con temas muy \u00abavanzados\u00bb. Entonces, si el alumno de primer grado comprende los\u00a0principios<\/em>\u00a0de la representaci\u00f3n gr\u00e1fica de sumas y restas, ya tiene una primera base para poder comprender m\u00e1s adelante la geometr\u00eda vectorial y el equilibrio de fuerzas – a diferencia de un alumno que aprendi\u00f3 solamente un procedimiento mec\u00e1nico y nunca ver\u00e1 alguna conexi\u00f3n entre lo uno y lo otro.<\/p>\n

– Otra buena estrategia es\u00a0relacionar los principios matem\u00e1ticos con la vida diaria<\/strong>. Ahora, esto es algo que la escuela nunca podr\u00e1 hacer de verdad. A lo m\u00e1ximo puede brindar una representaci\u00f3n diluida y artificial del mundo real. Aun \u00abjugar a la tienda\u00bb en el sal\u00f3n de clases, no tiene el mismo efecto de aprendizaje como atender en una tienda verdadera. (Aunque todav\u00eda es mejor que resolver \u00abc\u00e1lculos con dinero\u00bb abstractos en un libro escolar.) Muchos principios matem\u00e1ticos se entienden mejor \u00abhaciendo algo juntos\u00bb. Por ejemplo, hacer compras en el mercado y comparar precios. O preparar una torta de cumplea\u00f1os y calcular las medidas indicadas en la receta (incluso calcular las proporciones correctas si la receta es para 6 personas y tenemos 15 invitados.) O medir todas las habitaciones de la casa y calcular su \u00e1rea.
\nEste es el campo de acci\u00f3n para los padres de familia, en primer lugar. Dentro del sistema escolar no hay mucho lugar para la vida real. All\u00ed, a lo m\u00e1ximo se pueden usar imitaciones o ejemplos de la vida real, para demostrar como se aplican ciertos principios. A veces, esto ya es una ayuda. Por ejemplo, cuando un alumno quiere incluir el n\u00famero 5 en el conjunto de \u00abn\u00fameros mayores que 5\u00bb, en vez de decirle simplemente \u00abEsto es equivocado\u00bb, puedo preguntarle (suponiendo que el alumno se llama Pedro): \u00abA ver, \u00bft\u00fa eres mayor que Pedro?\u00bb – Si el alumno es por lo menos medianamente inteligente, responder\u00e1: \u00abNo, si yo mismo soy Pedro.\u00bb – As\u00ed tiene un ejemplo menos abstracto, para entender que si dos cosas son \u00abiguales\u00bb, no puede a la vez uno de ellos ser \u00abmayor\u00bb. Y esto le puede ayudar (quiz\u00e1s) a ver que los conceptos de \u00abmayor\u00bb y \u00abmenor\u00bb no son simplemente inventos del libro de matem\u00e1tica, sino que tienen un significado real en la vida real.<\/p>\n

–\u00a0Animar los descubrimientos propios y la creatividad.<\/strong>
\nNing\u00fan conocimiento se recuerda tanto como el que uno mismo ha descubierto. Para que esto suceda, es necesario dar al alumno la oportunidad y el tiempo necesario para\u00a0observar<\/em>\u00a0y\u00a0crear<\/em>, en vez de solamente reproducir. Por ejemplo, una tarea como la mencionada anteriormente, de colorear la tabla de multiplicaci\u00f3n con distintos colores, puede dar lugar a una serie de observaciones y descubrimientos sucesivos: \u00bfPor qu\u00e9 la tabla del 5 es distinta de las dem\u00e1s, considerando su \u00faltimo d\u00edgito? \u00bfD\u00f3nde se ubican los n\u00fameros pares en la tabla de multiplicaci\u00f3n, y d\u00f3nde los impares? \u00bfQu\u00e9 sucede si me desplazo horizontalmente o verticalmente de un n\u00famero a otro? \u00bfy qu\u00e9, si me desplazo diagonalmente? \u00bfPor qu\u00e9 en el centro de la tabla de multiplicaci\u00f3n no se encuentra el 50 (la mitad de 100), sino el 25? Etc. – Una vez que un ni\u00f1o desarrolla cierta \u00abcuriosidad matem\u00e1tica\u00bb, ya no es necesario hacerle tantas preguntas para guiarlo. Har\u00e1 sus propios descubrimientos (aunque no siempre aquellos que el padre o profesor espera – pero esto no debe preocuparnos. Recordemos al peque\u00f1o Gauss.)<\/p>\n\n\n\n
A menudo se desarrolla la mayor creatividad al hacer lo que es \u00abprohibido\u00bb por el libro escolar (pero no por los principios de la matem\u00e1tica). Hay un viejo problemita que dice: \u00abUne estos 9 puntos por medio de un m\u00edmino de rectas sucesivas que se puedan dibujar en un solo trazo.\u00bb<\/td>\n\"\"<\/a><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

La soluci\u00f3n \u00abcl\u00e1sica\u00bb ya es un poco dif\u00edcil de encontrar para la mayor\u00eda de los ni\u00f1os (y adultos), porque no se les ocurre la idea de que las rectas podr\u00edan sobrepasar los l\u00edmites del cuadrado encerrado por los nueve puntos. Esta soluci\u00f3n usa 4 rectas:<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

Pero existen soluciones m\u00e1s creativas, que logran unir los 9 puntos con\u00a0una sola recta<\/em>. \u00bfAlguien dijo que el papel debe quedarse en una sola pieza? Puedo cortarlo en tres tiras, con tres puntos en cada una, formar una tira larga con ellas, y entonces puedo trazar una sola recta a trav\u00e9s de todos los nueve puntos. – \u00bfAlguien dijo algo acerca del grosor de la recta? Puedo agarrar una brocha y trazar una recta gruesa (del grosor del cuadrado entero), que cubre todos los nueve puntos. – \u00bfAlguien dijo que el problema tiene que limitarse a un plano de dos dimensiones? Puedo doblar el papel de tal manera que los nueve puntos se quedan uno sobre otro, y punzarlo en el medio con un l\u00e1piz o lapicero puntiagudo. Esta es una recta vertical (en la tercera dimensi\u00f3n) que atraviesa todos los nueve puntos.
\n(Confieso que esta \u00abtravesura\u00bb no es mi propio invento; pero ya no me acuerdo de la fuente donde la encontr\u00e9.)<\/p>\n

Una educaci\u00f3n \u00abburocr\u00e1tica\u00bb no permite esta clase de soluciones. Pero esto es exactamente lo que trunca la creatividad de los alumnos. Mientras no estoy violando ning\u00fan principio de la matem\u00e1tica, puedo crear mis propios procedimientos. Existen muchas formas diferentes de aplicar un principio en la pr\u00e1ctica. Una ense\u00f1anza basada en principios da al alumno la libertad de usar diferentes formas – mientras los principios se mantienen intactos. Esta variaci\u00f3n y creatividad ayuda al alumno a diferenciar entre un principio (que no puede cambiar), y un procedimiento arbitrario (que se puede hacer tambi\u00e9n de otra forma).<\/p>\n

– Ser una PERSONA con principios.<\/strong>
\nEsto es lo m\u00e1s importante. Las mejores estrategias no sirven, si con nuestra propia vida contradecimos lo que ense\u00f1amos. Y con esto vuelvo a lo que dije al inicio: Muchas personas no entienden los principios de la matem\u00e1tica,\u00a0porque no tienen principios en su propia vida<\/em>. As\u00ed como la matem\u00e1tica se basa en principios eternos que no se pueden quebrantar, Dios nos ha dado principios eternos para nuestra vida, y nos hacemos un da\u00f1o serio a nosotros mismos y a nuestros pr\u00f3jimos, si no vivimos seg\u00fan estos principios.<\/p>\n

Por tanto, ense\u00f1ar y aprender matem\u00e1tica es una cuesti\u00f3n de principios y de fe.<\/p>\n

 <\/p>\n

\n

Para familias educadoras y escuelas alternativas, los libros de la serie \u00abMatem\u00e1tica activa\u00bb<\/a> proveen un m\u00e9todo de proveer a los ni\u00f1os un aprendizaje seg\u00fan las ideas esbozadas en este art\u00edculo.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Matem\u00e1tica basada en principios Ahora ya debe estar claro el contraste entre una ense\u00f1anza burocr\u00e1tica y una ense\u00f1anza basada en principios. Sin embargo, deseo a\u00f1adir unos puntos m\u00e1s acerca de los principios. Hemos visto que los principios de la matem\u00e1tica son universales y eternos. Adem\u00e1s, no son arbitrarios ni caprichosos. Las leyes de la matem\u00e1tica […]<\/p>\n","protected":false},"author":4,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[6,11],"tags":[92,269,343,590],"class_list":["post-46","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-el-sistema-escolar-y-sus-problemas","category-matematica","tag-burocracia","tag-ensenanza","tag-fe","tag-principios"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/homeschoolperu.com\/educacioncristianaalternativa\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/46","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/homeschoolperu.com\/educacioncristianaalternativa\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/homeschoolperu.com\/educacioncristianaalternativa\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/homeschoolperu.com\/educacioncristianaalternativa\/wp-json\/wp\/v2\/users\/4"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/homeschoolperu.com\/educacioncristianaalternativa\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=46"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/homeschoolperu.com\/educacioncristianaalternativa\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/46\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/homeschoolperu.com\/educacioncristianaalternativa\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=46"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/homeschoolperu.com\/educacioncristianaalternativa\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=46"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/homeschoolperu.com\/educacioncristianaalternativa\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=46"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}