{"id":35,"date":"2012-01-21T16:39:04","date_gmt":"2012-01-21T21:39:04","guid":{"rendered":"http:\/\/educacioncristianaalternativa.wordpress.com\/?p=35"},"modified":"2012-01-21T16:39:04","modified_gmt":"2012-01-21T21:39:04","slug":"aprender-matematica-cuestion-de-burocracia-o-de-principios-parte-2","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/homeschoolperu.com\/educacioncristianaalternativa\/2012\/01\/21\/aprender-matematica-cuestion-de-burocracia-o-de-principios-parte-2\/","title":{"rendered":"Aprender matem\u00e1tica: \u00bfCuesti\u00f3n de burocracia o de principios? – Parte 2"},"content":{"rendered":"

La ense\u00f1anza burocr\u00e1tica sigue las exigencias del estado, pero no los principios de una buena pedagog\u00eda.<\/strong><\/em><\/p>\n

En la actualidad, los profesores ya no son educadores. Son funcionarios del gobierno que tienen que implementar las pol\u00edticas del gobierno en el aula. Y aun si han entendido lo que es una buena pedagog\u00eda – no pueden aplicarla, porque las exigencias del curr\u00edculo estatal tienen que cumplirse primero.<\/p>\n

Aqu\u00ed en el Per\u00fa por lo menos, este curr\u00edculo no toma en cuenta ni lo que se sabe acerca del desarrollo del ni\u00f1o, ni los principios did\u00e1cticos m\u00e1s elementales – especialmente para las matem\u00e1ticas. En particular deseo resaltar los siguientes puntos:<\/p>\n

– Seg\u00fan el desarrollo cerebral del ni\u00f1o promedio, la ense\u00f1anza escolar formal no es provechosa antes de los 8 a 10 a\u00f1os de edad.<\/strong> Estos ni\u00f1os est\u00e1n reci\u00e9n entrando a la etapa de las operaciones concretas, y por tanto las operaciones matem\u00e1ticas todav\u00eda no les parecen l\u00f3gicas, ni pueden formarse un concepto de ellas en su mente. (Vea m\u00e1s detalles sobre esto en \u00abMejor tarde que temprano\u00bb<\/a>.) Por tanto, antes de esta edad, la ense\u00f1anza de la matem\u00e1tica deber\u00eda centrarse en los principios fundamentales y en las operaciones b\u00e1sicas con n\u00fameros peque\u00f1os, de tal manera que el alumno puede reproducirlos manipulando objetos concretos. Lo que va m\u00e1s all\u00e1 de esto, a una edad temprana, les hace m\u00e1s da\u00f1o que bien a los ni\u00f1os.<\/p>\n

– Cada ni\u00f1o tiene su propio ritmo de desarrollo<\/strong> y debe ser ense\u00f1ado seg\u00fan el estado de desarrollo que alcanz\u00f3, no seg\u00fan su edad cronol\u00f3gica. Si intentamos hacer caminar a la fuerza a un beb\u00e9 de tres meses, le hacemos da\u00f1o. De la misma manera le hacemos da\u00f1o a un ni\u00f1o cuando lo forzamos a resolver tareas que seg\u00fan su estado de desarrollo no puede entender todav\u00eda.
\n(Siempre se podr\u00e1 encontrar a uno u otro ni\u00f1o precoz que llega a entender operaciones abstractas a una edad temprana. Pero estas son excepciones y no deben tomarse como norma para un sistema escolar generalizado. A estos ni\u00f1os precoces se les deber\u00eda permitir saltar grados escolares o recibir cursos especiales seg\u00fan sus intereses, pero sin obligar a los otros ni\u00f1os a seguir el paso acelerado de ellos.)<\/p>\n

– Cada nuevo conocimiento debe basarse sobre un conocimiento previo<\/strong> con el cual el ni\u00f1o ya est\u00e1 familiarizado. Esto es de particular importancia para la matem\u00e1tica, porque cada principio m\u00e1s avanzado se basa sobre una multitud de otros principios m\u00e1s sencillos. Por tanto, es necesario que el ni\u00f1o entienda bien los principios sencillos, antes de ense\u00f1arle principios m\u00e1s dif\u00edciles. (Por ejemplo, un ni\u00f1o no puede entender las potencias si no ha entendido primero la suma y despu\u00e9s la multiplicaci\u00f3n.)<\/p>\n

– Cantidad no es calidad.<\/strong> Cu\u00e1nto m\u00e1s conocimientos un ni\u00f1o tiene que absorber en un tiempo dado, tanto m\u00e1s es la cantidad de conocimientos anteriores que olvida. Por tanto, aumentar las horas acad\u00e9micas y acelerar el paso no hace que los ni\u00f1os aprendan m\u00e1s. Al contrario, cuando se sobrepasa cierto l\u00edmite, los ni\u00f1os olvidan m\u00e1s de lo que aprenden. Una buena pedagog\u00eda le da al ni\u00f1o el tiempo que necesita para asimilar un nuevo conocimiento, y lo profundiza hasta que el ni\u00f1o est\u00e9 seguro en ello. Y una buena pedagog\u00eda mantiene un equilibrio sano entre estudio intelectual, actividad f\u00edsica, trabajo manual, juego y descanso.<\/p>\n

En completa contradicci\u00f3n contra todos estos principios, dice el Proyecto Educativo Nacional (PEN) del Per\u00fa:<\/p>\n

\u00abPrevenir la deserci\u00f3n y la repetici\u00f3n en la educaci\u00f3n primaria<\/strong>
\nLa repetici\u00f3n de grado agrava la extraedad -superaci\u00f3n de la edad normada para el grado- desalentando a los ni\u00f1os e incrementando el riesgo de fracaso o abandono. Pero la promoci\u00f3n de grado con bajo rendimiento acumula el d\u00e9ficit y habit\u00faa a la mediocridad. Las escuelas no tienen mecanismos que prevengan estas situaciones o las corrijan con rapidez, dejando a cada ni\u00f1o librado a su suerte. Esta pol\u00edtica busca disminuir y suprimir los \u00edndices de abandono y repetici\u00f3n escolar, en especial en zonas urbanas y rurales con mayor riesgo de fracaso, mediante la creaci\u00f3n de sistemas de apoyo y acompa\u00f1amiento educativo.<\/p>\n

PRINCIPALES MEDIDAS
\na) Sistemas de detecci\u00f3n oportuna de ni\u00f1os y ni\u00f1as en riesgo de repetici\u00f3n y abandono escolar, bajo la responsabilidad de los docentes en cada grado y secci\u00f3n.
\nb) Institucionalizaci\u00f3n de estrategias pedag\u00f3gicas diferenciadas de recuperaci\u00f3n, atenci\u00f3n educativa y tutor\u00eda a estudiantes en riesgo de repetir y abandonar el a\u00f1o, que incluya el empleo de horas adicionales.
\n(…)\u00bb<\/p><\/blockquote>\n

(Proyecto Educativo Nacional al 2021, Ministerio de Educaci\u00f3n del Per\u00fa, 2007)<\/p><\/blockquote>\n

Esto significa, hablando claramente: Todos los ni\u00f1os son forzados a comenzar la escuela primaria a los seis (o cinco) a\u00f1os y terminarla a los once a\u00f1os, sin considerar su desarrollo individual. Un ni\u00f1o que no alcanza las metas del a\u00f1o, es obligado a pasar horas extra en la escuela hasta ya no poder m\u00e1s, porque obligatoriamente tiene que pasar de grado a la \u00abedad normada\u00bb, dictada por la burocracia. (La situaci\u00f3n actual es que gracias a esta pol\u00edtica, muchos ni\u00f1os ya no tienen fines de semana libres ni vacaciones.) El Ministerio de Educaci\u00f3n no considera el hecho de que algunos ni\u00f1os se desarrollan m\u00e1s tarde que otros, ni el hecho de que el exceso de horas acad\u00e9micas les hace un da\u00f1o serio. En vez de dejar que los ni\u00f1os sean ni\u00f1os, son obligados a convertirse en \u00abcalculadoras humanas\u00bb, a una edad en la que deber\u00edan disfrutar del calor de un hogar y jugar sin preocupaciones. La mayor\u00eda de los ni\u00f1os no pueden<\/em> cumplir con estas exigencias que se les imponen de manera burocr\u00e1tica, sin ninguna consideraci\u00f3n pedag\u00f3gica. Esta es una situati\u00f3n muy tr\u00e1gica: Estos mismos ni\u00f1os podr\u00edan rendir muy bien, y con mucho menos horas acad\u00e9micas y mucho menos sufrimiento, si tan solamente les fuera permitido ser ni\u00f1os por dos o tres a\u00f1os m\u00e1s. Existen cientas de evidencias para ello, de investigaciones realizadas alrededor del mundo entero. El Dr.Raymond Moore recopil\u00f3 muchas de ellas en su libro \u00abMejor tarde que temprano\u00bb<\/a>. Pero los planificadores de la educaci\u00f3n simplemente no toman en cuenta lo que es lo mejor para los ni\u00f1os.<\/p>\n

Aun los mejores profesores tienen que fracasar con una tal pol\u00edtica, porque no se les permite<\/em> ense\u00f1ar a los ni\u00f1os de acuerdo a su propio desarrollo. Ni\u00f1os de cinco, seis, siete a\u00f1os est\u00e1n siendo sofocados bajo una tal avalancha de conocimientos y tareas que nunca pueden asimilarla. No les queda otra salida que \u00abaparentar\u00bb y \u00abadivinar\u00bb. Para cuando llegan a cuarto o quinto grado, la mayor\u00eda ya est\u00e1 completamente desconectada de los conocimientos matem\u00e1ticos que se exigen de ellos. Su \u00abmatem\u00e1tica\u00bb es un castillo en el aire sin fundamento, porque se les exige entender fracciones, potencias y ra\u00edces, cuando todav\u00eda no han asimilado ni los principios fundamentales de la suma, resta y multiplicaci\u00f3n. Por ejemplo, son muy, muy escasos los alumnos de primaria que son capaces de solucionar correctamente un problema como este:<\/p>\n

\u00abUn cocodrilo mide 3,50 m (con cola). Su cuerpo mide un metro m\u00e1s que su cola. \u00bfCu\u00e1nto mide la cola del cocodrilo?\u00bb<\/p><\/blockquote>\n

Sin embargo, este problema no requiere nada m\u00e1s que las operaciones b\u00e1sicas, y un poco de razonamiento l\u00f3gico. Pero los mismos ni\u00f1os que todav\u00eda no pueden entender esto, tienen que aprender a calcular con decimales y a sacar ra\u00edces cuadradas. Puesto que no tienen fundamento, todo esto no hace sentido para ellos, y tan pronto como lo aprenden, lo vuelven a olvidar. Entran a la escuela secundaria sin siquiera haber tenido tiempo para aprender bien la tabla de multiplicaci\u00f3n; y en la secundaria tienen que volver a aprender lo que ya se les ense\u00f1\u00f3 en la primaria. (Esto no es ning\u00fan chiste. Un d\u00eda tuve en la ma\u00f1ana una alumna de refuerzo que estaba en tercer grado de primaria, y en la tarde otra que estaba en tercero de secundaria. Sus tareas que hab\u00edan recibido en la escuela, eran casi id\u00e9nticas.)<\/p>\n

Tanto profesores como alumnos est\u00e1n bajo tal presi\u00f3n de \u00abalcanzar las metas educativas\u00bb (ilusorias), que tienen que cubrir una multitud de temas, pero no tienen tiempo para aprender bien ninguno de ellos. Entonces los alumnos lo olvidan, y en el a\u00f1o siguiente tienen que volver a aprender lo mismo de nuevo.<\/p>\n

Mencionar\u00e9 solamente dos temas matem\u00e1ticos que los alumnos est\u00e1n obligados a aprender mucho antes de que puedan realmente comprenderlos:<\/p>\n

– Sumar llevando y restar prestando, con n\u00fameros de tres cifras. Esto se ense\u00f1a ahora en primer grado, cuando muchos todav\u00eda no saben ni sumar n\u00fameros menores de 10. Como procedimiento mec\u00e1nico, un ni\u00f1o de esta edad puede hacerlo – pero de ninguna manera entiende lo que hace. Para poder entenderlo, tendr\u00eda que entender c\u00f3mo funciona el sistema decimal – y esto a su vez presupone entender la multiplicaci\u00f3n. Adem\u00e1s tendr\u00eda que ser capaz de relacionar un n\u00famero de tres cifras con un concepto concreto; pero la imaginaci\u00f3n de un ni\u00f1o de esta edad todav\u00eda no puede distinguir entre \u00abcincuenta\u00bb y \u00abquinientos\u00bb.<\/p>\n

– Fracciones. Imaginarse algo m\u00e1s peque\u00f1o que una unidad, es algo muy dif\u00edcil para un ni\u00f1o de ocho a\u00f1os (a esta edad se ense\u00f1an actualmente las fracciones). Se le puede mostrar un c\u00edrculo dividido en partes, y el ni\u00f1o puede contar las partes; pero si tiene muchas partes, entonces \u00bfc\u00f3mo pueden todas estas partes juntas ser \u00ab1\u00bb? Esta es una paradoja irresoluble para la mayor\u00eda de los ni\u00f1os de esta edad. – Por supuesto, las fracciones presuponen entender las leyes de la multiplicaci\u00f3n y divisi\u00f3n. Y no solo esto: simplificar, sumar y restar fracciones se basa sobre los conceptos del m\u00e1ximo com\u00fan divisor (MCD) y m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo (MCM). Esto a su vez presupone el concepto de m\u00faltiplos, divisores, n\u00fameros compuestos y n\u00fameros primos, y factores primos. Todo esto deber\u00eda ense\u00f1arse antes – y no solo ense\u00f1ar; habr\u00eda que asegurarse de que los ni\u00f1os lo entiendan. Y habr\u00eda que relacionar estos conceptos al nivel de principios<\/em>. Pero la ense\u00f1anza burocr\u00e1tica exige que los ni\u00f1os calculen con fracciones sin tener nada de este fundamento. No es de extra\u00f1ar que los alumnos no entiendan nada.<\/p>\n

La ense\u00f1anza burocr\u00e1tica es incapaz ante los desaf\u00edos de la vida real y del sentido com\u00fan.<\/strong><\/em><\/p>\n\n\n\n
Qued\u00e9monos un poco m\u00e1s con las fracciones. Los alumnos aprenden un procedimiento que llaman \u00abCC\u00bb o \u00abC doble\u00bb para tratar con fracciones dobles:<\/td>\n\"\"<\/a><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Mientras este procedimiento rinde el resultado correcto, no ense\u00f1a nada acerca de los principios que rigen las fracciones. Los alumnos saben aplicarlo mec\u00e1nicamente, pero se quedan perplejos ante expresiones como las siguientes:<\/p>\n

\n\n\n\n
\n

\"\"<\/a><\/p>\n<\/td>\n

\n

\"\"<\/a><\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/div>\n

En el caso a), a algunos todav\u00eda se les ocurre que 3 es igual a tres enteros, entonces lo escriben as\u00ed y aplican su acostumbrada \u00abCC\u00bb (aunque es un exceso innecesario de trabajo):<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

Pero el caso b) ya no permite esto. La ense\u00f1anza burocr\u00e1tica no puede preparar al alumno para una situaci\u00f3n como esta, porque tendr\u00eda que prescribir un nuevo procedimiento para cada caso especial que se podr\u00eda presentar.<\/p>\n

Pero un alumno que ha aprendido los principios<\/em> de la matem\u00e1tica, no tendr\u00e1 muchos problemas aqu\u00ed. Para \u00e9l, los mismos principios que rigen una fracci\u00f3n doble, se pueden aplicar tambi\u00e9n a una fracci\u00f3n triple, cuadruple o m\u00e1s complicada. Primeramente, para este alumno ser\u00e1 claro como el agua que una fracci\u00f3n es solamente otra forma de escribir una divisi\u00f3n. Entonces, la expresi\u00f3n b) es equivalente a: 4 : 3 : (5 : ((7 : 8) : 11)). Y este alumno entender\u00e1 tambi\u00e9n qu\u00e9 efecto tiene un signo de divisi\u00f3n : ante un par\u00e9ntesis. (Incluso entender\u00e1 que estos principos son equivalentes a las leyes de signos en la suma y resta.) Aplicando estos principios, y un poco de sentido com\u00fan, resolver\u00e1 el problema de la misma manera como resolver\u00eda una fracci\u00f3n doble – sabiendo lo que hace.<\/p>\n

Pero \u00absentido com\u00fan\u00bb es incompatible con \u00abburocracia\u00bb. El sencillo problema del cocodrilo, que cit\u00e9 m\u00e1s arriba, se puede resolver con un poco de sentido com\u00fan y con muy poco de matem\u00e1ticas (incluso sin recurrir a una ecuaci\u00f3n). La mayor\u00eda de los alumnos actuales no pueden resolverlo porque la burocracia no cultiva el sentido com\u00fan. Los problemas que exigen sentido com\u00fan son el mayor desaf\u00edo a la burocracia: no existe ning\u00fan procedimiento reglamentario para resolverlos.<\/p>\n

Este es otro ejemplo, de la vida diaria y ordinaria:<\/p>\n

\u00abMam\u00e1 compr\u00f3 papas por S\/.1.80, un queso por seis soles, y un coliflor. Pag\u00f3 con un billete de diez soles y recibi\u00f3 60 centavos de vuelto. \u00bfCu\u00e1nto cost\u00f3 el coliflor?\u00bb<\/p><\/blockquote>\n

Ante un problema como este, la mayor\u00eda de los ni\u00f1os (aun en sexto grado) no saben si deben sumar, restar, multiplicar o dividir. Esto indica \u00a1que todav\u00eda no comprendieron ni aun los principios de la suma y resta! – Cierto, saben sumar y restar mec\u00e1nicamente n\u00fameros de siete y m\u00e1s cifras. Pero esto todav\u00eda no es \u00abcomprender\u00bb la suma y la resta. Estos conceptos son \u00abcomprendidos\u00bb solamente cuando el alumno es capaz de relacionarlos con los sucesos de la vida diaria. Pero esto es algo que la escuela no les puede ense\u00f1ar, porque la escuela es burocr\u00e1tica y por tanto es desconectada de la vida real y del sentido com\u00fan.<\/p>\n

Una muy buena alumna en matem\u00e1tica que conoc\u00ed, pasaba muchas horas ayudando a sus padres en atender su negocio. Esta fue la mejor preparaci\u00f3n en matem\u00e1tica que pod\u00eda recibir. Se acostumbraba a calcular los precios y dar el cambio correcto, y a pagar facturas correctamente. Esto es aplicar principios en la vida diaria, y esto le ayud\u00f3 m\u00e1s que cualquier ense\u00f1anza que pod\u00eda recibir en la escuela.<\/p>\n

La ense\u00f1anza burocr\u00e1tica tiene que capitular ante esta clase de problemas. Algunos profesores se esfuerzan por sistematizarlos y mecanizarlos y proveer alguna \u00abpauta de burro\u00bb a sus alumnos: \u00abSi son varias compras juntas, hay que sumar. Si es dar cambio, hay que restar. Si son tres de la misma cosa, hay que multiplicar por tres …\u00bb – Estos son esfuerzos vanos. La vida real no se deja mecanizar de esta forma; siempre aparecer\u00e1 un caso que no encaja en ninguna de las categor\u00edas preformuladas por el profesor. Pero la vida real puede comprenderse a base de principios<\/em>. Y el que ha comprendido los principios, ya no necesita las \u00abpautas de burro\u00bb.<\/p>\n

Rebeca Wild explica ante el trasfondo de las investigaciones de Jean Piaget, como se destruye el verdadero aprendizaje cuando la ense\u00f1anza consiste en tales memorizaciones de reglas. Dice acerca de la \u00abetapa de las operaciones concretas\u00bb (que dura en la mayor\u00eda de los ni\u00f1os aproximadamente desde los siete u ocho a\u00f1os hasta los trece a quince a\u00f1os de edad):<\/p>\n

\u00abLa comprensi\u00f3n solo est\u00e1 asegurada si el ni\u00f1o tiene los objetos en la mano o si los conoce muy bien de experiencias anteriores. … Si en esta etapa … se intenta utilizar s\u00edmbolos, por mucho que se los haya simplificado, el ni\u00f1o se ve obligado a tomar una especie de medida de defensa: tendr\u00e1 que utilizar su memoria para poder repetir, cuando se lo pidan, el saber requerido. (…) Clapar\u00e8de formul\u00f3 la siguiente ley: todo lo que en su d\u00eda fue aprendido de memoria, m\u00e1s tarde es mucho m\u00e1s dif\u00edcil de entender.<\/strong><\/em> No es extra\u00f1o que observemos con tanta frecuencia lo mucho que esta pr\u00e1ctica del aprender reglas dificulta una aplicaci\u00f3n inteligente.\u00bb
\n(Rebeca Wild, \u00abEducar para ser\u00bb, Barcelona 1999)<\/em><\/p><\/blockquote>\n

(Para los curiosos: La aplicaci\u00f3n correcta de suma y resta es concisamente resumida en este axioma, formulado asi por Euclides: \u00abEl entero es m\u00e1s grande que su parte.\u00bb El que ha comprendido<\/em> esto (\u00a1no digo \u00abmemorizado\u00bb!), ya no tendr\u00e1 el problema de si debe sumar o restar. Pero hall\u00e9 que es asombrosamente dif\u00edcil para alumnos educados en un sistema burocr\u00e1tico, comprender un axioma tan sencillo como este.)<\/p>\n

Entre los problemas un poco m\u00e1s \u00abescolares\u00bb, unos que tambi\u00e9n desaf\u00edan la ense\u00f1anza burocr\u00e1tica son los criptogramas. Es imposible prescribir un procedimiento mecanizado para la soluci\u00f3n de criptogramas. Cada criptograma se basa en una propiedad distinta que debe ser descubierta – a base de principios<\/em>. Por eso, los criptogramas est\u00e1n entre los ejercicios m\u00e1s excelentes para entrenar la capacidad de razonar. Pero encuentro que justo este tipo de ejercicios es omitido por casi todos los cursos de (mal llamado) \u00abrazonamiento matem\u00e1tico\u00bb. Estos cursos, por lo general, se limitan a tareas que se pueden mecanizar m\u00e1s f\u00e1cilmente, tales como el conteo de segmentos y figuras, continuar secuencias, etc.<\/p>\n

.<\/p>\n

Algunos procedimientos de la ense\u00f1anza burocr\u00e1tica son incluso contrarios a los principios matem\u00e1ticos.<\/strong><\/em><\/p>\n

A la burocracia no le interesa si se respetan los principios o no. Sus procedimientos deben llevarse a cabo, aun si gu\u00edan al alumno por un camino falso. Mencionar\u00e9 dos procedimientos con los que me encuentro casi diariamente, que efectivamente hacen que los alumnos aprendan principios equivocados. El procedimiento en s\u00ed rinde el resultado correcto – pero lo alcanza por un camino que ense\u00f1a algo equivocado:<\/p>\n\n\n\n
1. Poner el signo al lado equivocado.<\/strong>
\nEn la mayor\u00eda de los libros de matem\u00e1tica para primaria, encuentro restas verticales escritas as\u00ed:<\/td>\n		\"\"<\/a><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Esto da la impresi\u00f3n de que el signo \u00abmenos\u00bb (-) estar\u00eda asociado con el n\u00famero 345. Pero el n\u00famero que se resta es 238 y no 345. Hablando en sentido vectorial, 345 es el n\u00famero que tiene direcci\u00f3n positiva, y 238 es el n\u00famero que tiene direcci\u00f3n negativa. Por tanto, el signo \u00ab-\u00bb debe estar delante de 238 y no detr\u00e1s de 345.<\/p>\n

Esto puede parecer un detalle sin mayor significado, pero no lo es. En realidad, este error \u00abinsignificante\u00bb les causa a los alumnos un dolor de cabeza que perseguir\u00e1 a algunos hasta el fin de su educaci\u00f3n secundaria. Es que m\u00e1s adelante tendr\u00e1n que reducir expresiones algebraicas como esta:<\/p>\n

3a + 5b – 7 + 4b – 6a<\/strong><\/em><\/p>\n

Muchos alumnos, (mal) acostumbrados durante a\u00f1os a escribir el signo \u00ab-\u00bb a la derecha del n\u00famero, asocian instintivamente en su mente las expresiones as\u00ed:<\/p>\n

\n\n\n\n
3a +<\/strong><\/em><\/td>\n5b –<\/strong><\/em><\/td>\n7 +<\/strong><\/em><\/td>\n4b –<\/strong><\/em><\/td>\n6a<\/strong><\/em><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/div>\n

Entonces agrupar\u00e1n la expresi\u00f3n de una de las siguientes formas, que son ambas equivocadas:<\/p>\n

\n\n\n\n
3a +<\/strong><\/em><\/td>\n6a +? (-?)<\/strong><\/em><\/td>\n5b –<\/strong><\/em><\/td>\n4b –<\/strong><\/em><\/td>\n7<\/strong><\/em><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/div>\n
\n\n\n\n
\u00f3: 3a<\/strong><\/em><\/td>\n+ 6a<\/strong><\/em><\/td>\n– 5b<\/strong><\/em><\/td>\n– 4b<\/strong><\/em><\/td>\n+ 7<\/strong><\/em><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/div>\n

A diferencia de los casos que mencion\u00e9 anteriormente, poner el signo al lado correcto no<\/em> es una exigencia burocr\u00e1tica sin sentido. Es una cuesti\u00f3n de principios que afecta el aprendizaje de las leyes de la matem\u00e1tica. Pero a la burocracia no le interesa si se aprenden principios correctos o equivocados o ning\u00fan principio. Por eso, este<\/em> error parece no molestar a nadie.<\/p>\n\n\n\n
En s\u00ed, poner el signo al lado derecho o izquierdo no es ning\u00fan principio; es una convenci\u00f3n. O sea, es un acuerdo mutuo entre los matem\u00e1ticos. Podr\u00edamos cambiar la convenci\u00f3n y ponernos de acuerdo en que desde aqu\u00ed en adelante pondremos el signo a la derecha del n\u00famero. Pero entonces, la resta citada al inicio tendr\u00eda que escribirse as\u00ed (vea a la derecha)<\/em>:<\/td>\n\"\"<\/a><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

En este ejemplo, ning\u00fan principio de la matem\u00e1tica nos permite asociar el signo negativo con el n\u00famero 345, sea a la derecha o a la izquierda. Es simplemente un error, y uno que tiene consecuencias, como vimos arriba. No por cuestiones burocr\u00e1ticas, sino por una cuesti\u00f3n de principios.<\/p>\n

2. \u00abLlevar algo al otro lado\u00bb en una ecuaci\u00f3n.<\/strong>
\nAqu\u00ed tenemos una ecuaci\u00f3n sencilla. A veces pido a un alumno que me explique c\u00f3mo resolverla:<\/p>\n

x + 5 = 18<\/strong><\/em><\/p>\n

Casi siempre recibo la siguiente explicaci\u00f3n: \u00abLlevo el 5 al otro lado y le cambio el signo.\u00bb<\/em> – Esta explicaci\u00f3n es t\u00e9cnicamente correcta, pero contradice completamente los principios matem\u00e1ticos.<\/p>\n

El principio general de las ecuaciones es el principio de la igualdad<\/strong><\/em>. La mejor ilustraci\u00f3n visual de una ecuaci\u00f3n es la imagen de una balanza en equilibrio:<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

Para resolver una ecuaci\u00f3n, es necesario mantener este equilibro durante el proceso entero. Solamente as\u00ed puedo asegurar que al final, cuando tengamos despejada la inc\u00f3gnita \u00abx\u00bb, el signo de igualdad \u00ab=\u00bb siga siendo verdadero.
\nAhora, si \u00abllevo algo al otro lado\u00bb, la balanza obviamente ya no est\u00e1 en equilibrio:<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

Entonces, este no puede ser<\/strong><\/em> el camino correcto para resolver una ecuaci\u00f3n. – Igualmente, si \u00abcambio de signo\u00bb a algo en la ecuaci\u00f3n, la balanza pierde su equilibro, porque -5 no es igual a 5. El que \u00ablleva algo al otro lado y cambia su signo\u00bb, est\u00e1 cometiendo dos graves errores a la vez (cuyos efectos felizmente se anulan).<\/p>\n

El principio correcto para transformar y resolver una ecuaci\u00f3n, es este:
\nToda operaci\u00f3n que se efect\u00faa al lado izquierdo de la ecuaci\u00f3n, debe efectuarse de igual forma al lado derecho.<\/strong><\/em><\/p>\n

Si al lado izquierdo sumo 5, tambi\u00e9n tengo que sumar 5 al lado derecho. Si el lado izquierdo lo divido entre 3, tambi\u00e9n tengo que dividir el lado derecho entre 3. Si elevo al cuadrado el lado izquierdo, tambi\u00e9n tengo que elevar al cuadrado el lado derecho. – Este es el principio correcto que lleva a resultados correctos y no causa confusiones<\/em>.<\/p>\n

(Este principio debe complementarse con el principio de que cada operaci\u00f3n matem\u00e1tica se anula por la operaci\u00f3n inversa:<\/strong><\/em> una suma se anula con una resta y viceversa; una multiplicaci\u00f3n con una divisi\u00f3n, y una potencia con una ra\u00edz.)<\/p>\n

En nuestro ejemplo del inicio, la aplicaci\u00f3n de este principio ser\u00eda: Restamos 5 a ambos lados de la ecuaci\u00f3n<\/em>.<\/p>\n

Claro, la soluci\u00f3n final es la misma como con el \u00abprocedimiento escolar\u00bb. Entonces, \u00bfqu\u00e9 tiene de malo el \u00abllevarlo al otro lado\u00bb?<\/p>\n

El da\u00f1o sucede, una vez m\u00e1s, al nivel de los principios<\/em>. El \u00abprocedimiento escolar\u00bb es un manejo mec\u00e1nico sin sentido, que tiene que \u00abhacerse as\u00ed porque as\u00ed se hace, y punto.\u00bb Si alguien pregunta \u00ab\u00bfpor qu\u00e9?\u00bb, no recibir\u00e1 explicaci\u00f3n, porque matem\u00e1ticamente este procedimiento no tiene explicaci\u00f3n<\/em>. Como hemos visto, es un procedimiento que contradice<\/em> los principios matem\u00e1ticos. Una vez m\u00e1s, el alumno solo aprende una t\u00e9cnica, pero no aprende matem\u00e1tica. Aun peor, aprende principios equivocados<\/em>: que en una ecuaci\u00f3n se pueda \u00abllevar un n\u00famero al otro lado\u00bb y que se pueda \u00abcambiar de signo a un n\u00famero\u00bb, sin que esto afecte la veracidad de la ecuaci\u00f3n.<\/p>\n

Adem\u00e1s, el \u00abprocedimiento escolar\u00bb causa confusi\u00f3n. Tan solamente si avanzamos a ecuaciones con multiplicaci\u00f3n o divisi\u00f3n como estas:<\/p>\n

\n\n\n\n
\n

a) 5x = 45<\/strong><\/em><\/p>\n<\/td>\n

\n

b) x \/ 5 = 13<\/strong><\/em><\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/div>\n

El alumno dir\u00e1 que en estos casos tambi\u00e9n hay que \u00abllevar el 5 al otro lado\u00bb, pero \u00bfhay que cambiarle el signo o no? \u00bfNo? \u00bfPor qu\u00e9 no? – Nuevamente, esto no se puede explicar de manera l\u00f3gica<\/em>, porque el procedimiento en s\u00ed mismo no es l\u00f3gico. Con esta clase de ense\u00f1anza, el alumno tiene que aprender un nuevo procedimiento por separado para cada nueva operaci\u00f3n. Cuando llega a potencias y ra\u00edces, otra vez tendr\u00e1 que aprender un procedimiento nuevo (mientras en alg\u00fan rinc\u00f3n de su cerebro sigue cavilando por qu\u00e9 en la suma hab\u00eda que \u00abcambiar de signo\u00bb al 5 y en la multiplicaci\u00f3n no.)<\/p>\n

Una confusi\u00f3n adicional ocurre en un caso como este:<\/p>\n

x \/ 5 = 13 + a<\/strong><\/em><\/p>\n

El alumno \u00absabe\u00bb (o sea, cree equivocadamente) que tiene que \u00abllevar el 5 al otro lado\u00bb, pero \u00bfc\u00f3mo exactamente? \u00bfHay que multiplicar el 13<\/strong><\/em> por 5, o la a<\/strong><\/em>, o ambos? – El profesor puede decirle que hay que multiplicar ambos, pero \u00bfpor qu\u00e9? Aqu\u00ed tampoco hay explicaci\u00f3n l\u00f3gica.<\/p>\n

Si nuestro alumno hubiera aprendido el principio correcto desde el principio, no tendr\u00eda toda esta confusi\u00f3n. (La palabra \u00abprincipio\u00bb por s\u00ed misma indica que con esto hay que comenzar: los principios deben ir al principio, no al final.) El principio de la balanza le dice al alumno inequ\u00edvocamente que puede anular una multiplicaci\u00f3n por medio de una divisi\u00f3n (y es obvio que al dividir, nadie cambia el signo del divisor as\u00ed por as\u00ed). A la luz de este principio, tambi\u00e9n es obvio que al multiplicar la ecuaci\u00f3n (ambos lados de la ecuaci\u00f3n), hay que multiplicar el contenido completo de los platillos de la balanza, y no solamente una parte. (De otra forma no se mantendr\u00eda la igualdad.) Adem\u00e1s, el principio es general, o sea, se aplica a cualquier operaci\u00f3n matem\u00e1tica. El alumno no tiene necesidad de aprender un procedimiento nuevo para cada operaci\u00f3n aparte. As\u00ed se evitan muchas confusiones cuando se ense\u00f1a matem\u00e1tica basada en principios, en vez de procedimientos burocr\u00e1ticos.<\/p>\n

(Continuar\u00e1)<\/em><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

La ense\u00f1anza burocr\u00e1tica sigue las exigencias del estado, pero no los principios de una buena pedagog\u00eda. En la actualidad, los profesores ya no son educadores. Son funcionarios del gobierno que tienen que implementar las pol\u00edticas del gobierno en el aula. Y aun si han entendido lo que es una buena pedagog\u00eda – no pueden aplicarla, […]<\/p>\n","protected":false},"author":4,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[6,11],"tags":[92,269,343,590],"class_list":["post-35","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-el-sistema-escolar-y-sus-problemas","category-matematica","tag-burocracia","tag-ensenanza","tag-fe","tag-principios"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/homeschoolperu.com\/educacioncristianaalternativa\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/35","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/homeschoolperu.com\/educacioncristianaalternativa\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/homeschoolperu.com\/educacioncristianaalternativa\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/homeschoolperu.com\/educacioncristianaalternativa\/wp-json\/wp\/v2\/users\/4"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/homeschoolperu.com\/educacioncristianaalternativa\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=35"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/homeschoolperu.com\/educacioncristianaalternativa\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/35\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/homeschoolperu.com\/educacioncristianaalternativa\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=35"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/homeschoolperu.com\/educacioncristianaalternativa\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=35"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/homeschoolperu.com\/educacioncristianaalternativa\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=35"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}