En la primera parte de este art\u00edculo expliqu\u00e9 por qu\u00e9 las \u00abolimpiadas de matem\u00e1tica\u00bb no incentivan mucho el pensamiento matem\u00e1tico. En cambio, incentivan otras capacidades que no tienen mucho que ver con pensar matem\u00e1ticamente: Memorizar una gran cantidad de f\u00f3rmulas y datos matem\u00e1ticos; y resolver ejercicios prescritos en un m\u00ednimo de tiempo (lo cual induce una forma de pensar superficial).<\/p>\n
El verdadero pensamiento matem\u00e1tico consiste en encontrar soluciones nuevas y creativas para un problema que uno nunca antes ha encontrado. Y como vimos en la parte anterior, esto requiere tiempo. Entonces, una olimpiada matem\u00e1tica que realmente incentive el pensamiento matem\u00e1tico, no puede consistir en un examen que debe resolverse dentro de un tiempo muy limitado. Consistir\u00eda en un problema novedoso, y se debe dar mucho tiempo para resolverlo. Adem\u00e1s, no se calificar\u00eda simplemente la soluci\u00f3n final. Se calificar\u00eda el razonamiento que el estudiante emple\u00f3 para llegar a la soluci\u00f3n. O sea, el estudiante debe ser capaz de explicar de manera l\u00f3gica y coherente, c\u00f3mo lleg\u00f3 a la soluci\u00f3n.<\/strong><\/em><\/p>\n Esto es lo que se hace tambi\u00e9n en la matem\u00e1tica profesional. No es suficiente que un matem\u00e1tico presente una soluci\u00f3n a un problema, o que establezca un nuevo teorema. El matem\u00e1tico tiene que explicar l\u00f3gicamente c\u00f3mo lleg\u00f3 a la soluci\u00f3n, y tiene que demostrar de manera convincente que su soluci\u00f3n o teorema es correcto. Y los matem\u00e1ticos profesionales no hacen esto en sesiones con l\u00edmite de tiempo, donde tienen que entregar su respuesta dentro de noventa minutos. No, ellos demoran semanas, meses, a veces hasta a\u00f1os reflexionando acerca del mismo problema, intentando las m\u00e1s diversas maneras de resolverlo, hasta que finalmente encuentren una soluci\u00f3n.<\/p>\n Ahora, yo no s\u00e9 si alguna vez estar\u00e9 en la situaci\u00f3n de organizar un concurso de matem\u00e1tica. Pero qui\u00e9n sabe si alg\u00fan d\u00eda alg\u00fan lector de este blog tenga esta oportunidad. Para este caso, presento aqu\u00ed mi sugerencia.<\/p>\n Una olimpiada de matem\u00e1tica que realmente incentive el pensamiento matem\u00e1tico, requerir\u00e1 la entrega de un trabajo escrito acerca de un problema matem\u00e1tico novedoso, inusual, de una clase que no figure dentro de los curr\u00edculos escolares; de preferencia un problema que permita una multitud de soluciones posibles. Para la elaboraci\u00f3n de este trabajo se debe dar suficiente tiempo – por lo menos un mes a partir del momento en que se conoce el tema. Como tema se pueden dar varios problemas para elegir entre ellos, o se puede dar libertad para que el estudiante proponga un tema propio. En su trabajo escrito, el estudiante presentar\u00e1 no solamente su soluci\u00f3n del problema. Explicar\u00e1 tambi\u00e9n detalladamente los pasos que lo llevaron a su soluci\u00f3n, y dar\u00e1 una demostraci\u00f3n l\u00f3gica de que su soluci\u00f3n es correcta. Este trabajo escrito tendr\u00e1 entonces un formato comparable con un ensayo o una tesis acad\u00e9mica.<\/p>\n Entre los trabajos entregados, se seleccionar\u00e1n los mejores para que participen en una sustentaci\u00f3n p\u00fablica. Los autores de estos trabajos expondr\u00e1n ante un jurado el contenido de su trabajo y responder\u00e1n a preguntas del jurado (y puede que aun del p\u00fablico), para demostrar su dominio del tema. Ser\u00e1n premiados los estudiantes que presenten el razonamiento m\u00e1s l\u00f3gico y coherente, y las soluciones m\u00e1s ingeniosas y novedosas, tomando en cuenta tambi\u00e9n la dificultad del problema.<\/p>\n Hasta se podr\u00eda publicar un libro con los mejores trabajos de un tal concurso.<\/p>\n Por supuesto que esta forma de concurso de matem\u00e1tica impone mayores exigencias al jurado. El jurado tiene que integrarse por personas que sepan pensar matem\u00e1ticamente ellos mismos – y muchos profesores de matem\u00e1tica no cumplen con este requisito. (\u00bfSer\u00e1 por eso que no se organizan olimpiadas matem\u00e1ticas de esta forma?) Tambi\u00e9n tendr\u00e1n que invertir m\u00e1s tiempo en la calificaci\u00f3n, y en la preparaci\u00f3n de preguntas para la sustentaci\u00f3n. No podr\u00e1n maquinalmente asignar puntos a un examen de selecci\u00f3n m\u00faltiple. Pero la recompensa consistir\u00e1 en un nivel m\u00e1s elevado de pensamiento matem\u00e1tico por parte de los participantes. Uno podr\u00eda decir que la calificaci\u00f3n de tales trabajos y sustentaciones puede ser subjetiva. S\u00ed, existe cierto elemento subjetivo en esto. Al igual como en las calificaciones de tesis y sustentaciones en toda universidad. Y en una universidad, esto tiene aun mayores consecuencias: El participante de una olimpiada de matem\u00e1tica recibe solamente un premio para esta \u00fanica oportunidad; pero el estudiante que sustenta su tesis en la universidad, gana o pierde la aprobaci\u00f3n de su carrera entera. Sin embargo, ninguna universidad renunciar\u00eda por ello a este proceso \u00absubjetivo\u00bb de calificar tesis y sustentaciones. Mas bien se esfuerzan por hacer el proceso lo m\u00e1s objetivo posible. Es que los educadores universitarios saben que esta es una de las mejores maneras de incentivar el pensamiento independiente del estudiante, y su capacidad de investigaci\u00f3n. Entonces no hay raz\u00f3n para no hacer lo mismo con estudiantes de niveles inferiores que quieren destacar en el pensamiento matem\u00e1tico. Si las universidades logran calificar a sus estudiantes de manera justa con este sistema, los organizadores de una olimpiada de matem\u00e1tica lo pueden lograr tambi\u00e9n.<\/p>\n Dar\u00e9 unos ejemplos de problemas apropiados para esta clase de olimpiadas matem\u00e1ticas:<\/p>\n 1. Investiga las propiedades de sucesiones aritm\u00e9ticas de n\u00fameros primos, tales como:<\/p>\n 11, 41, 71, 101, 131<\/strong><\/p><\/blockquote>\n (131 es el \u00faltimo miembro de esta sucesi\u00f3n, porque 161 ya no es primo.) 2. Investiga diversas clases de ecuaciones diofantinas* de segundo grado, tales como:<\/p>\n ax + b = y<\/strong>2<\/strong><\/sup> etc. (donde a, b<\/strong> representan n\u00fameros conocidos; x, y, z <\/strong>son inc\u00f3gnitas.) (Note que la tarea anterior es intencionalmente formulada de manera abierta: Se dan algunos ejemplos de formas que puede asumir una ecuaci\u00f3n diofantina de segundo grado, pero el \u00abetc.\u00bb incentiva al estudiante a ampliar el tema con formas adicionales de su propia creaci\u00f3n.)<\/p>\n 3. Prop\u00f3n una forma de construir un reloj solar que indique no solamente las horas del d\u00eda, sino tambi\u00e9n los d\u00edas del a\u00f1o; y que pueda funcionar en distintas latitudes geogr\u00e1ficas. Presenta un dise\u00f1o, y fundamenta tu soluci\u00f3n geom\u00e9tricamente.<\/p>\n 4. (Para alumnos de grados inferiores):<\/em> Problemas como estos no figuran en los libros escolares, ni en las olimpiadas matem\u00e1ticas convencionales. Son problemas que requieren una investigaci\u00f3n profunda y prolongada, y que no tienen una \u00ab\u00fanica soluci\u00f3n\u00bb que se podr\u00eda marcar en un cuadro de selecci\u00f3n m\u00faltiple. Y es exactamente por estas caracter\u00edsticas, que tales problemas incentivan el pensamiento matem\u00e1tico mucho m\u00e1s que las tareas convencionales.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" En la primera parte de este art\u00edculo expliqu\u00e9 por qu\u00e9 las \u00abolimpiadas de matem\u00e1tica\u00bb no incentivan mucho el pensamiento matem\u00e1tico. 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\nY, de paso sea dicho: No se generar\u00eda el trabajo administrativo excesivo de tener que calificar miles de trabajos de estudiantes que sacar\u00e1n \u00abcero puntos\u00bb como en las olimpiadas convencionales; porque estos estudiantes de \u00abcero puntos\u00bb, si no entienden el tema, ya se dar\u00e1n cuenta de ello en el proceso de escribir su trabajo, y se retirar\u00e1n del concurso. Pero quiz\u00e1s \u00bfesta es otra raz\u00f3n por la cual no se organizan olimpiadas matem\u00e1ticas de esta forma – porque los muchos participantes con \u00abcero puntos\u00bb generan ingresos adicionales para los organizadores? De ser cierto, esto comprobar\u00eda que el dinero les importa m\u00e1s que el incentivar el pensamiento matem\u00e1tico…<\/p>\n
\n
\nEn particular:
\n– Investiga y describe c\u00f3mo se pueden encontrar tales sucesiones de longitud m\u00e1xima con valores num\u00e9ricos m\u00ednimos.
\n– Demuestra o refuta la hip\u00f3tesis: Existen sucesiones aritm\u00e9ticas de n\u00fameros primos de longitudes arbitrariamente largas.<\/em>
\n– Describe y fundamenta cualquier otra propiedad de tales sucesiones que encuentres.<\/p>\n
\n
\nax + by = xy
\nx<\/strong>2<\/strong><\/sup> + y<\/strong>2<\/strong><\/sup> = z<\/strong>2<\/strong><\/sup><\/p><\/blockquote>\n
\nAnaliza casos especiales; busca tambi\u00e9n soluciones generalizadas donde fuera posible. Toma en cuenta que una ecuaci\u00f3n diofantina por lo general tiene m\u00faltiples soluciones.
\n* \u00abEcuaciones diofantinas\u00bb son ecuaciones que deben resolverse de tal manera que las inc\u00f3gnitas representen n\u00fameros naturales.<\/em><\/p>\n
\n
\n
\nInvestiga el juego de \u00abMichi\u00bb:
\n– \u00bfCu\u00e1l es la mejor jugada para el primer jugador?
\n– Para cada jugada posible del primer jugador, \u00bfcu\u00e1l es la mejor jugada para el segundo jugador?
\n– \u00bfC\u00f3mo terminar\u00e1 un juego de \u00abMichi\u00bb donde ambos jugadores juegan de manera \u00f3ptima, o sea, eligiendo siempre la mejor jugada posible?
\nFundamenta tus respuestas l\u00f3gicamente. Describe cualquier otra propiedad interesante que descubras acerca de este juego.<\/p>\n
\n