{"id":111,"date":"2012-09-21T08:24:09","date_gmt":"2012-09-21T13:24:09","guid":{"rendered":"http:\/\/educacioncristianaalternativa.wordpress.com\/?p=111"},"modified":"2012-09-21T08:24:09","modified_gmt":"2012-09-21T13:24:09","slug":"ensenanza-de-matematica-por-principios-no-por-burocracia-un-ejemplo-concreto","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/homeschoolperu.com\/educacioncristianaalternativa\/2012\/09\/21\/ensenanza-de-matematica-por-principios-no-por-burocracia-un-ejemplo-concreto\/","title":{"rendered":"Ense\u00f1anza de matem\u00e1tica por principios, no por burocracia: Un ejemplo concreto"},"content":{"rendered":"

En un art\u00edculo anterior (\u00abEnse\u00f1anza de matem\u00e1tica: \u00bfCuesti\u00f3n de burocracia o de principios?\u00bb<\/a>) he contrastado la ense\u00f1anza escolar usual de la matem\u00e1tica (o sea, la ense\u00f1anza burocr\u00e1tica) con una ense\u00f1anza basada en principios. Deseo a\u00f1adir a este art\u00edculo un ejemplo para ilustrar un poco m\u00e1s estas dos formas de ense\u00f1anza.<\/p>\n

Tomar\u00e9 como un ejemplo un tema que causa dificultades a un buen n\u00famero de alumnos: Las sumas y restas con n\u00fameros negativos, y las leyes de signos relacionadas con estas operaciones.<\/p>\n

Ejemplo de una ense\u00f1anza burocr\u00e1tica<\/strong><\/em><\/p>\n

En los libros escolares, este tema es com\u00fanmente presentado de una manera parecida a lo siguiente:<\/p>\n

\u00abSuma de dos n\u00fameros positivos:<\/strong><\/em>
\nSe suman los dos sumandos, y el resultado recibe el signo positivo.<\/p>\n

Suma de un n\u00famero positivo con un n\u00famero negativo:<\/strong><\/em>
\nSe toman los valores absolutos de los dos sumandos y se resta el menor del mayor. Despu\u00e9s hay que distinguir dos casos:
\nSi el valor absoluto del sumando positivo es mayor, el resultado recibe el signo positivo.
\nSi el valor absoluto del sumando negativo es mayor, el resultado recibe el signo negativo.<\/p>\n

Suma de un n\u00famero negativo con un n\u00famero positivo:<\/strong><\/em>
\nSe toman los valores absolutos de los dos sumandos y se resta el menor del mayor. Despu\u00e9s hay que distinguir dos casos:
\nSi el valor absoluto del sumando positivo es mayor, el resultado recibe el signo positivo.
\nSi el valor absoluto del sumando negativo es mayor, el resultado recibe el signo negativo.<\/p>\n

Suma de dos n\u00fameros negativos:<\/strong><\/em>
\nLos valores absolutos de los dos sumandos se suman, y el resultado recibe el signo negativo.<\/p>\n

Resta de dos n\u00fameros positivos:<\/strong><\/em>
\nSi el minuendo es mayor, se resta el sustraendo del minuendo, y el resultado recibe el signo positivo.
\nSi el sustraendo es mayor, se resta el minuendo del sustraendo, y el resultado recibe el signo negativo.<\/p>\n

Restar un n\u00famero positivo de un n\u00famero negativo:<\/strong><\/em>
\nSe toman los valores absolutos del minuendo y del sustraendo, y se suman. El resultado recibe el signo negativo.<\/p>\n

Restar un n\u00famero negativo de un n\u00famero positivo:<\/strong><\/em>
\nSe toman los valores absolutos del minuendo y del sustraendo, y se suman. El resultado recibe el signo positivo.<\/p>\n

Resta de dos n\u00fameros negativos:<\/strong><\/em>
\nSe toman los valores absolutos del minuendo y del sustraendo.
\nSi el valor absoluto del minuendo es mayor, se resta el valor absoluto del sustraendo del valor absoluto del minuendo, y el resultado recibe el signo negativo.
\nSi el valor absoluto del sustraendo es mayor, se resta el valor absoluto del minuendo del valor absoluto del sustraendo, y el resultado recibe el signo positivo.\u00bb<\/p><\/blockquote>\n

As\u00ed procede la ense\u00f1anza burocr\u00e1tica. El alumno tiene que memorizar ocho casos distintos, cada uno con un procedimiento diferente. Algunos de estos casos incluso requieren distinguir entre dos sub-casos, de manera que en total tenemos doce prodecimientos distintos<\/em>, y desconectados los unos de los otros. La ense\u00f1anza burocr\u00e1tica exige que el alumno memorice estos doce procedimientos, y despu\u00e9s los aplique mec\u00e1nicamente a los ejercicios.<\/p>\n

Para evitar todo malentendido, tengo que decir enf\u00e1ticamente que esta es la peor forma de presentar este tema<\/em>. Si por casualidad usted tom\u00f3 el ejemplo arriba como un ejemplo positivo, entonces tengo que diagnosticar que usted ha sido malformado por una ense\u00f1anza excesivamente burocr\u00e1tica. Tendr\u00e1 que estudiar detenidamente el art\u00edculo original, \u00abEnse\u00f1anza de matem\u00e1tica: \u00bfCuesti\u00f3n de burocracia o de principios?\u00bb<\/a><\/p>\n

\u00bfQu\u00e9 sucede si los alumnos son ense\u00f1ados de esta manera?
\nPrimeramente, reciben la impresi\u00f3n de que se trata de un tema sumamente dif\u00edcil. \u00a1Doce procedimientos diferentes! Hay que aprenderlos todos, y adem\u00e1s saber como distinguir entre los distintos casos que se presentan en los ejercicios. As\u00ed que desde el inicio, el alumno se siente desanimado y est\u00e1 predispuesto a equivocarse.
\nMuchos alumnos ni siquiera entienden el lenguaje en el cual se presenta el tema. \u00bfQu\u00e9 es un \u00absumando negativo\u00bb? \u00bfQu\u00e9 es un \u00abvalor absoluto\u00bb? (Algunos libros escolares emplean aun mucho m\u00e1s palabras que yo en mi peque\u00f1o ejemplo.) Para un alumno que todav\u00eda no ha llegado a la etapa del pensamiento abstracto, una tal descripci\u00f3n es como si fuera en chino o en japon\u00e9s.
\nSupongamos que nuestro alumno logra, con mucho esfuerzo, memorizar estos procedimientos y aplicarlos correctamente. Aun despu\u00e9s de esto, todav\u00eda no ha entendido realmente<\/em> como funciona la suma y la resta, porque nunca se le ense\u00f1a la conexi\u00f3n de estos distintos casos entre s\u00ed. Aun si sabe estos procedimientos de memoria, todav\u00eda le parecen incomprensibles y dif\u00edciles. Cuando se a\u00f1ade alg\u00fan nuevo aspecto a las operaciones (p.ej. introduciendo par\u00e9ntesis, o aplicando la ley conmutativa), el alumno quedar\u00e1 nuevamente perdido y no sabr\u00e1 qu\u00e9 hacer. (Hasta que haya memorizado otros tantos procedimientos distintos y desconectados de los anteriores.)
\nPuesto que le falta el verdadero entendimiento, el alumno lo vuelve a olvidar todo, tan pronto como el examen sobre el tema pas\u00f3. Con toda su memorizaci\u00f3n no ha adquirido ning\u00fan \u00absentir\u00bb de lo que es la suma y la resta.<\/p>\n

Ejemplo de una ense\u00f1anza basada en principios<\/strong><\/em><\/p>\n

Para profesores y alumnos que han aprendido a pensar matem\u00e1ticamente, dos principios sencillos<\/em> son suficientes para abarcar este tema completamente – aun incluyendo conmutaciones, par\u00e9ntesis y todo eso. Estos principios pueden visualizarse f\u00e1cilmente usando movimientos \u00abhacia adelante\u00bb y \u00abhacia atr\u00e1s\u00bb, por ejemplo en una recta num\u00e9rica:<\/p>\n

El signo positivo significa <\/strong>avanzar en la misma direcci\u00f3n.<\/strong><\/em><\/p>\n

El signo negativo significa <\/strong>invertir la direcci\u00f3n.<\/strong><\/em><\/p><\/blockquote>\n

Solamente tenemos que acordar adicionalmente que \u00abla misma direcci\u00f3n\u00bb por defecto (o sea, cuando no est\u00e1 definida por ning\u00fan signo) es la direcci\u00f3n \u00abhacia adelante\u00bb, o sea, aumentando. Pero esto es algo que se entiende por s\u00ed mismo, porque cada alumno aprendi\u00f3 a sumar y a restar primero con los n\u00fameros positivos. Eso es lo m\u00e1s natural del mundo; por eso se llaman \u00abn\u00fameros naturales\u00bb.<\/p>\n

(Nota al margen: La ense\u00f1anza burocr\u00e1tica est\u00e1 obsesionada con definir las cosas m\u00e1s sencillas con palabras complicadas. Algo que se entiende por s\u00ed mismo, no necesita definici\u00f3n. Las definiciones innecesarias solamente oscurecen el sentido de las cosas, en vez de explicarlas.)<\/p>\n

Estos dos principios sencillos son mucho m\u00e1s f\u00e1ciles de comprender y recordar, que los doce procedimientos del primer ejemplo. Adem\u00e1s, contienen algo de la \u00abesencia\u00bb de lo que es la suma y la resta. Estos dos principios dan a entender algo de la unidad<\/em> inherente de las leyes de la matem\u00e1tica.<\/p>\n

Por ejemplo, las reglas del primer ejemplo distinguen entre un signo ‘-‘ que significa \u00abrestar\u00bb, y otro signo ‘-‘ que significa \u00abn\u00famero negativo\u00bb. As\u00ed se complica el asunto. Pero en realidad, esta distinci\u00f3n es innecesaria. Matem\u00e1ticamente, el signo ‘-‘ significa en ambos casos exactamente lo mismo: Invertir la direcci\u00f3n acostumbrada.
\nAs\u00ed por ejemplo, 4 – 3 es exactamente lo mismo como 4 + (-3). El signo ‘-‘ delante del n\u00famero 3 significa \u00abMu\u00e9vete hacia atr\u00e1s, en vez de ir adelante\u00bb; y el signo ‘+’ no cambia nada en esto. Por eso, en la forma \u00ab4 – 3\u00bb, se sobreentiende el signo ‘+’ delante de los n\u00fameros. (Podr\u00edamos tambi\u00e9n escribir 4 – (+3), o incluso (+4) – (+3), y seguir\u00eda siendo lo mismo.)<\/p>\n

Adem\u00e1s, las reglas del primer ejemplo colocan al resultado a veces un signo positivo, y a veces un signo negativo – aparentemente sin ning\u00fan motivo particular. \u00bfEs esto por el capricho de alg\u00fan profesor de matem\u00e1tica que quiere dificultarnos la vida? – No, aqu\u00ed hay tambi\u00e9n una raz\u00f3n l\u00f3gica. Despu\u00e9s de hacer todos los movimientos prescritos por los signos ‘+’ y ‘-‘, nos quedaremos finalmente en uno de los lados de la recta num\u00e9rica – a la derecha o a la izquierda del cero. Al visualizar y probar algunos ejemplos, el alumno pronto se dar\u00e1 cuenta de qu\u00e9 depende si el resultado cae al lado positivo o al lado negativo. Por ejemplo, al calcular (-8) – 4, comenzamos por el lado negativo, y nos desplazamos aun m\u00e1s hacia la izquierda. Entonces es l\u00f3gico que al final seguimos a la izquierda del cero, o sea, en el lado negativo.<\/p>\n

Con los dos principios mencionados queda tambi\u00e9n claro por qu\u00e9 restar un n\u00famero negativo equivale a sumar un n\u00famero positivo: El primer signo ‘-‘ invierte la direcci\u00f3n de \u00abavanzar\u00bb a \u00abretroceder\u00bb. Si aplicamos un segundo signo ‘-‘ al mismo n\u00famero, la direcci\u00f3n se invierte otra vez a \u00abavanzar\u00bb. Por tanto, dos signos ‘-‘ combinados equivalen a un signo ‘+’.<\/p>\n

Ahora, la idea no es que estos principios se aprendan \u00abmemorizando\u00bb o \u00abcopiando\u00bb. Mucho mejor se aprenden experimentando con ellos<\/em>. Por ejemplo, que el alumno dibuje diferentes \u00abviajes\u00bb sobre la recta num\u00e9rica, indicando sus movimientos con flechas hacia adelante y hacia atr\u00e1s. O que manipule flechas cortadas de cart\u00f3n sobre una recta num\u00e9rica grande dibujada en la mesa. O que camine sobre una recta num\u00e9rica aun m\u00e1s grande dibujada en el piso, contando sus pasos. Y esto no solamente con unos ejercicios prefabricados del libro escolar: es mucho mejor incentivar al alumno que \u00e9l se plantee y resuelva sus propios problemas. As\u00ed se acostumbrar\u00e1 a investigar por s\u00ed mismo. Los conocimientos que uno investiga y descubre por s\u00ed mismo, son mucho m\u00e1s duraderos que los que se reciben pasivamente por dictado o copiado.
\nEn el transcurso de estas experiencias se puede transmitir la idea de que, seg\u00fan nuestros principios, \u00abtres pasos hacia atr\u00e1s\u00bb puede escribirse como \u00ab-3\u00bb, \u00ab+(-3)\u00bb \u00f3 \u00ab-(+3)\u00bb, y \u00abcinco pasos hacia adelante\u00bb se puede escribir como \u00ab+5\u00bb, \u00ab+(+5)\u00bb, \u00f3 \u00ab-(-5)\u00bb. (Ense\u00f1ados de esta manera, los alumnos inteligentes pronto se dar\u00e1n cuenta de que existen todav\u00eda m\u00e1s formas de escribir sumas y restas. Por ejemplo, \u00abtres pasos hacia atr\u00e1s\u00bb se podr\u00eda tambi\u00e9n escribir as\u00ed: \u00ab-(+(-(-3)))\u00bb. )<\/p>\n

Otra forma de \u00abexperimentar\u00bb con estos principios, consiste en aplicarlos a los conceptos financieros de ingresos, gastos y deudas. Por ejemplo, se puede jugar a la tienda y encargar a unos alumnos que compren ciertos art\u00edculos, pero proveerlos con menos dinero de lo que cuesta. As\u00ed tendr\u00e1n que contraer una deuda; o sea, poseen ahora una \u00abcantidad negativa\u00bb de dinero. Despu\u00e9s se les puede dar un monto adicional para que cancelen su deuda; y que observen: \u00bfQu\u00e9 sucede si la cantidad de dinero adicional es mayor que la deuda que ten\u00edan? \u00bfy qu\u00e9 si es menor? – \u00bfQu\u00e9 sucede si ya estoy endeudado, pero sigo gastando dinero? – \u00bfQu\u00e9 sucede si me condonan (o disminuyen) una deuda? (Obviamente es lo mismo como si me regalasen la cantidad correspondiente de dinero.)<\/p>\n

Alumnos que en su desarrollo todav\u00eda no han llegado al pensamiento abstracto (o sea, hasta los 12 a 14 a\u00f1os en la mayor\u00eda de los casos), necesitan primero hacer una buena cantidad de tales experiencias (\u00a1m\u00e1s de lo que los profesores tradicionales asumen!). Despu\u00e9s de hacer estas experiencias<\/em>, se puede junto con ellos formular los principios descubiertos con palabras, y aplicarlos a operaciones m\u00e1s abstractas.<\/p>\n

La ense\u00f1anza por principios tiene varias ventajas:<\/p>\n

– Los principios son m\u00e1s f\u00e1ciles de entender y de aprender, porque son sencillos.<\/p>\n

– Los principios son m\u00e1s b\u00e1sicos y universales que las reglas burocr\u00e1ticas. O sea, tienen aplicaci\u00f3n general. Una vez entendidos, los principios de los signos pueden aplicarse a situaciones de la vida real, y a operaciones m\u00e1s complicadas. Por ejemplo, si se introducen par\u00e9ntesis, es f\u00e1cil de entender que un signo ‘-‘ delante de un par\u00e9ntesis invierte la direcci\u00f3n de todo<\/em> lo que est\u00e1 dentro del par\u00e9ntesis.
\nLas reglas burocr\u00e1ticas, en cambio, tienen aplicaci\u00f3n solamente para el caso especial para el cual fueron creadas.<\/p>\n

– La ense\u00f1anza basada en principios incentiva y entrena el pensamiento l\u00f3gico y el razonamiento. La ense\u00f1anza burocr\u00e1tica, en cambio, entrena solamente el \u00abfuncionamiento\u00bb mec\u00e1nico y rutinario.<\/p>\n

– La ense\u00f1anza basada en principios provee una motivaci\u00f3n para que el alumno siga investigando por su cuenta. Una vez que el alumno ha entendido el principio, \u00e9l mismo puede aplicarlo a los distintos casos, y puede descubrir por s\u00ed mismo como \u00abfunciona\u00bb cada caso<\/em>.<\/p>\n

– Y no por \u00faltimo: La ense\u00f1anza basada en principios prepara al alumno a entrar en una relaci\u00f3n correcta con Dios; porque Dios ha ordenado el universo, y la vida humana, a base de principios. Por tanto, existe una armon\u00eda y uni\u00f3n entre los distintos aspectos de la creaci\u00f3n de Dios. Los principios ayudan a ver esta armon\u00eda y uni\u00f3n dentro de la matem\u00e1tica, y en la creaci\u00f3n entera de Dios. El que aprende a hacer matem\u00e1tica, basado en principios, aprende tambi\u00e9n a ser fiel, honesto y consecuente en su vida personal.
\nLa ense\u00f1anza burocr\u00e1tica, en cambio, ense\u00f1a solamente una obediencia ciega a \u00f3rdenes arbitrarias.<\/p>\n

Unas notas adicionales:<\/em><\/p>\n

– Cuando se presenta el significado del signo negativo como \u00abinvertir la direcci\u00f3n\u00bb, puede suceder un peque\u00f1o \u00abchoque mental\u00bb en los alumnos que anteriormente aprendieron que el signo negativo significa \u00abcaminar hacia atr\u00e1s\u00bb (resp. \u00abrestar\u00bb). Se puede aliviar un poco este choque, explicando que anteriormente ellos conoc\u00edan solamente los n\u00fameros positivos, o sea la direcci\u00f3n \u00abhacia adelante\u00bb, y cuando se invierte esta direcci\u00f3n, necesariamente resulta un movimiento \u00abhacia atr\u00e1s\u00bb. O sea, se explica el caso del \u00abrestar\u00bb como un caso especial<\/em> del principio m\u00e1s general, de que el signo ‘-‘ \u00abinvierte la direcci\u00f3n\u00bb.
\nEs cierto que entender esto, requiere ya un desarrollo mental bastante avanzado. Por eso no es recomendable introducir las operaciones con n\u00fameros negativos en los grados inferiores. (Aun en sexto grado puede todav\u00eda ser demasiado temprano para un buen n\u00famero de los alumnos.) Es mejor esperar hasta que puedan realmente entenderlo, en vez de forzarlos a realizar operaciones que mentalmente no entienden. Seg\u00fan observo en mis alumnos, aquellos que fueron obligados a aprender estos temas a una edad demasiado temprana, siguen teniendo dificultades de entenderlo aun en los grados avanzados de la escuela secundaria. Vea <\/em>\u00abEsas neuronas mal conectadas\u00bb<\/em><\/a>.<\/em><\/p>\n

– Algunos alumnos tienen dificultades de entender que el signo se aplica siempre, y \u00fanicamente, a la expresi\u00f3n que le sigue<\/em>. Por ejemplo, en la operaci\u00f3n 17 – 9, el signo ‘-‘ se aplica al n\u00famero 9, pero no al n\u00famero 17. A menudo este problema se origina porque profesores y libros escolares presentan ejemplos mal escritos, donde el signo est\u00e1 colocado al lado equivocado. (Vea en la segunda parte de \u00abEnse\u00f1anza de matem\u00e1tica: \u00bfCuesti\u00f3n de burocracia o de principios?\u00bb<\/a>.) Es importante ser consecuente en esto desde el primer grado, y asociar el signo siempre con el n\u00famero que le sigue. Incluso para ni\u00f1os que reci\u00e9n empiezan a sumar y a restar, se pueden introducir expresiones como \u00ab-6\u00bb, como expresiones matem\u00e1ticas v\u00e1lidas. Solamente que para ni\u00f1os de esta edad no se interpretar\u00e1 como un n\u00famero negativo. En su lugar, se interpretar\u00e1 como una instrucci\u00f3n \u00abCamina seis pasos hacia atr\u00e1s.\u00bb El resultado de esta instrucci\u00f3n depender\u00e1 del n\u00famero de donde uno empieza. Por ejemplo, si me encuentro en el n\u00famero 10 y llevo a cabo esta instrucci\u00f3n, el resultado ser\u00e1 4. Esto corresponde a la operaci\u00f3n 10 – 6 = 4. Pero el significado de la instrucci\u00f3n \u00ab-6\u00bb es siempre el mismo, independientemente del lugar de partida. Si la representamos con una flecha, ser\u00e1 siempre una flecha hacia la izquierda y de longitud 6, sin importar en qu\u00e9 lugar de la recta num\u00e9rica la colocamos. As\u00ed el ni\u00f1o puede entender que el signo afecta \u00fanicamente el n\u00famero que le sigue, pero no el n\u00famero que le precede.<\/p>\n

– En una operaci\u00f3n como (-5) – 9, algunos alumnos concluyen err\u00f3neamente que el resultado debe ser positivo porque \u00abmenos menos<\/em> es igual a m\u00e1s<\/em>\u00ab. Pero este problema tambi\u00e9n se resuelve f\u00e1cilmente, una vez que el alumno entiende que el signo se aplica \u00fanicamente a la expresi\u00f3n que le sigue. As\u00ed podr\u00e1 entender que en este ejemplo, el n\u00famero 5 tiene un \u00fanico signo ‘-‘ por delante, y el n\u00famero 9 tambi\u00e9n. Ning\u00fan n\u00famero en este ejemplo tiene el signo \u00abmenos menos\u00bb<\/em>, o sea, una combinaci\u00f3n de dos<\/em> signos ‘-‘. Por tanto, ninguno de estos n\u00famero invierte su direcci\u00f3n dos veces<\/em>. El caso es diferente en este ejemplo: (-12) – (-7); aqu\u00ed s\u00ed el n\u00famero 7 tiene el signo \u00abmenos menos\u00bb<\/em> (pero el 12 no).<\/p>\n

 <\/p>\n

\n

Para familias educadoras y escuelas alternativas, los libros de la serie \u00abMatem\u00e1tica activa\u00bb<\/a> proveen un m\u00e9todo de proveer a los ni\u00f1os un aprendizaje seg\u00fan las ideas esbozadas en este art\u00edculo.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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